Enunciado

Uma refinaria pode comprar dois tipos de petróleo bruto: leve ou pesado. Os custos por barril desses tipos são respectivamente 110   e   90 (unidade adotada: reais). As seguintes quantidades de gasolina ( G ) , querosene ( Q ) e combustível de avião ( C A ) são produzidas a partir de um barril de cada tipo de petróleo:

Note que 5 %   e   8 % do petróleo bruto, leve e pesado, são perdidos respectivamente durante o processo de refinamento. A refinaria deve entregar 100 barris de Gasolina, 40 barris de Querosene e 25 barris de Combustível para aviões, sendo que há disponibilidade de 20 mil reais para a compra de petróleo bruto leve e pesado. O objetivo é determinar tais quantidades. Assim, denotando por x a quantidade de petróleo bruto leve e por y a quantidade de petróleo bruto pesado, em barris chegamos ao sistema:

110 x + 90 y = 20000 0,4 x + 0,32 y = 100 0,2 x + 0,4 y = 40 0,35 x + 0,2 y = 25

que é um sistema incompatível.

a) Usando o método dos mínimos quadrados determine x   e   y .

b) Pode-se obter x   e   y como quantidades não inteiras?

c) Calcule o resíduo, isto é:

∑ i = 1 4 b i - a i 1 x - a 12 y 2

onde a i j são os elementos da matriz do sistema e b i é o vetor independente.

d) Quais as quantidades de gasolina, querosene e combustível para aviões produzidas?

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide Uma refinaria pode comprar dois tipos de petróleo bruto: leve ou pesado. Os custos por barril desses tipos são respectivamente 110   e   90 (unidade adotada: reais). As seguintes quantidades de gasolina ( G ) , querosene ( Q ) e combustível de avião ( C A ) são produzidas a partir de um barril de cada tipo de petróleo:

Note que 5 %   e   8 % do petróleo bruto, leve e pesado, são perdidos respectivamente durante o processo de refinamento. A refinaria deve entregar 100 barris de Gasolina, 40 barris de Querosene e 25 barris de Combustível para aviões, sendo que há disponibilidade de 20 mil reais para a compra de petróleo bruto leve e pesado. O objetivo é determinar tais quantidades. Assim, denotando por x a quantidade de petróleo bruto leve e por y a quantidade de petróleo bruto pesado, em barris chegamos ao sistema:

110 x + 90 y = 20000 0,4 x + 0,32 y = 100 0,2 x + 0,4 y = 40 0,35 x + 0,2 y = 25

que é um sistema incompatível.

a) Usando o método dos mínimos quadrados determine x   e   y .

b) Pode-se obter x   e   y como quantidades não inteiras?

c) Calcule o resíduo, isto é:

∑ i = 1 4 b i - a i 1 x - a 12 y 2

onde a i j são os elementos da matriz do sistema e b i é o vetor independente.

d) Quais as quantidades de gasolina, querosene e combustível para aviões produzidas?

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera na letra (a) para determinarmos o método dos mínimos quadrados no sistema,

110 x + 90 y = 20000 0,4 x + 0,32 y = 100 0,2 x + 0,4 y = 40 0,35 x + 0,2 y = 25

Temos,

110 90 2000 0,4 0,32 100 0,2 0,4 40 0,35 0,2 25

Ficando,

x = 110.0,32 = 35,2

y = 100.0,4 = 40

Já na letra (b) podemos dizer que sim x   e   y podem ter resultados não inteiros como o de x foi encontrado 35,2

Já na letra ( c ) para calcular,

∑ i = 1 4 b i - a i 1 x - a 12 y 2

Temos,

∑ i = 1 4 4 - 2 x - 1 2 - 16 - 4 x 2 → x = 8

E por fim na letra (d) temos que a quantidade de combustível pode ser definida por,

0,4   x   0,2 + 0,35 = 0,43

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) x = 35,2

y = 40

b) sim x   e   y podem ter resultados não inteiros como o de x foi encontrado 35,2

c) x = 8

d) 0,43

Exercícios de Livros Relacionados

Resolver, pelo método dos mínimos quadrados, o sistema:
Sejam f ( x )eg ( x ) , funções reais distintas não identicamente nulas. Suponha que, usando o método dos mínimos quadrados, aproximamos f ( x ) em [ a , b ] por: F x = a 0 f x + a 1 g ( x ) a) Quais
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