Enunciado

8. A regra dos Retângulos repetida é obtida quando aproximamos f ( x ) , em cada subintervalo, por um polinômio de interpolação de grau zero. Encontre a regra dos Retângulos bem como a expressão do erro, fazendo:

a) p 0 j x = f ( x j - 1 ) j = 1,2 , … m

b) p 0 j x = f x j - 1 + x j 2 j = 1,2 , … , m

Esta é a regra do ponto médio e é uma fórmula de Newton-Cotes

Passo 1

E aí meu bom! Se liga só! Vamos tentar aí desvendar a regra dos retângulos!

Seja o intervalo finito [ a , b ] no eixo x que é particionado em n subintervalos igualmente espaçados [   x i   ,   x i + 1   ] , com x 0 = a e x n = b   e h i = x i + 1 - x i .

Seja f uma função contínua ou simplesmente Riemann integrável, cuja integral não é conhecida

Nosso objetivo é calcular A = ∫ a b f x d x pelo método da área dos retângulos.

Passo 2

Tem três modos da gente fazer isso...

Nesse primeiro caso, a área de cada retângulo é f x i ⋅ h i . Outra hipótese seria que...

Aí em cima, a área de cada retângulo é f x i + 1 ⋅ h i ! E há também o caso onde a área do é dada por...

A = f x i + x i + 1 2 ⋅ h i

Passo 3

Em todo caso, a soma das áreas dos retângulos será uma aproximação para:

A = ∫ a b f x d x

Subdividindo o intervalo [ a , b ] em n subintervalos, pela regra dos retângulos, que será indicado por R ( h ) , é dada pelas fórmulas:

R h n = ∑ i = 0 n - 1 f x i ⋅ h i → ( c a s o   a )

R h n = ∑ i = 0 n - 1 f x i + 1 ⋅ h i → ( c a s o   b )

R h n = ∑ i = 0 n - 1 f x i + x i + 1 2 ⋅ h i → ( c a s o   c )

Como h i é constante, então...

h = b - a n

E obtemos que...

R h n = h ∑ i = 0 n - 1 f x i → ( c a s o   a )

R h n = h ∑ i = 0 n - 1 f x i + 1 → ( c a s o   b )

R h n = h ∑ i = 0 n - 1 f x i + x i + 1 2 → ( c a s o   c )

Mas em geral, se usa a seguinte fórmula...

R h n = h ∑ i = 0 n - 1 f x - i ,   x - i = x i + x i + 1 2

Resposta

R h n = h ∑ i = 0 n - 1 f x - i ,   x - i = x i + x i + 1 2

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