Enunciado

25.

a) Aplique analítica e algebricamente os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel no sistema:

2 x 1 + 5 x 2 = - 3 3 x 1 + x 2 = 2

b) Repita o item (a) para o sistema obtido usando permutações

c) Analise os resultados

Passo 1

a) E ai meu bom!

Se liga só! Vamos começar nossa resolução usando o método de Gauss-Jacobi. Calculemos o α 1 :

α 1 = 2 5 = 0.6

E depois, o α 2 :

α 2 = 3 1 = 3

Como podemos ver aí, o maior dos alfas é o α 2 que é bem maior do que 1 . Logo, pelo método de Gauss-Jacobi o método não vai convergir não, hein!

Passo 2

b) Vamos ver agora, em relação ao método de Gauss-Seidel...

Calculemos o β 1 :

β 1 = 2 5 = 0.6

E depois, o β 2 :

β 2 = 0.6 ⋅ 3 1

β 2 = 1.8

O maior valor de beta, que é o β 2 ainda é maior que 1 . Pelo que também o sistema não vai convergir pra solução.

Passo 3

b) Agora vamos recorrer às permutações...

Para o nosso sistema, temos o exposto na seguinte matriz...

2 5 3 1 - 3 2  

Trocando as linhas e dividindo a primeira linha por 3 ...

3 1 2 5 2 - 3 L 1 → L 1 3

1 1 3 2 5 2 3 - 3

Fazendo L 2 receber L 2 - 2 L 1 :

1 1 3 2 5 2 3 - 3 L 2 → L 2 - 2 L 1

1 1 3 0 13 3 2 3 - 13 3

E depois, dividindo L 2 por 13 3 :

1 1 3 0 13 3 2 3 - 13 3 L 2 → L 2 13 3

1 1 3 0 1 2 3 - 1

Por último, basta fazer L 1 receber L 1 - 1 3 L 2 :

1 1 3 0 1 2 3 - 1 L 1 → L 1 - 1 3 L 2

1 0 0 1 1 - 1

Obtemos então, sequências convergentes e a seguinte solução abaixo:

x * = 1 - 1 T

Passo 4

c) E como podemos ver aí, apesar de trabalhoso, o método permutativo de Gauss-Jordan ainda é bem eficiente na resolução de sistemas lineares.

Quanto ao método de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi tem a condição suficiente de convergência que a matriz seja estritamente diagonal dominante, i. e., de modo que fica garantida a convergência da sucessão de valores gerados para a solução exata do sistema linear. Como nosso sistema segundo o critério de convergência desses dois, não deu certo, então babou!

Nisso é que o Gauss-Jordan às vezes, quebra o galho!

Resposta

a)

N ã o   s ã o   c o n v e r g e n t e s

b) x * = 1 - 1 T

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