Enunciado

Usando o método de Newton, com erro inferior a 10−2, determinar uma raiz das seguintes equações:

d) 𝑥 4 − 8 = 0

Passo 1

Opa, coleguinha! Tudo certo? O exercício pede para usarmos o método de Newton para encontrar uma raiz aproximada da função fornecida. Você lembra como é o método de Newton? Vamos refrescar a memória:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑥 𝑘 − 𝑓 𝑥 𝑘 𝑓 ′ 𝑥 𝑘

Passo 2

Precisamos chutar um intervalo e verificar a existência de raiz no mesmo, lembre-se que para existir raiz precisamos que 𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏 < 0 em um intervalo 𝑎 ,   𝑏 :

Chutando intervalo [ 1,2 ] :

𝑓 1 = 1 4 − 8 = − 7 < 0

𝑓 2 = 2 4 − 8 = 8 > 0

Logo existe raiz no intervalo 1 ,   2 .

Passo 3

Com isso, agora devemos realizar as iterações com o método de Newton, considerando que a derivada da função é dada por 𝑓 ′ 𝑥 = 4 𝑥 3 e considerando 𝑥 0   =   1   .

𝑥 1 = 1 − 𝑓 1 𝑓 ′ 1 = 1 − − 7 4 = 2.75

𝑥 2 = 2.75 − 𝑓 2.75 𝑓 ′ 2.75 = 2.1587

𝑥 3 = 2.1587 − 𝑓 2.1587 𝑓 ′ 2.1587 = 1.8178

Continuando as iterações vamos obter os seguintes valores:

𝑥 4 = 1.6963  

𝑥 5 = 1.6820  

𝑥 6 = 1.6818  

Analisando o erro das iterações:

𝑒 𝑟 𝑒 𝑙 𝑎 𝑡 𝑖 𝑣 𝑜 = 𝑥 6 − 𝑥 5 𝑥 6 = 1.6818 − 1.6820 1.6818 = 0.00011 … < 10 − 2

Com isso, fizemos tudo o que o exercício pediu!

Resposta

𝑥 _ = 1.6818

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Considere a fórmula para determinar a raiz cúbica de Q: 𝑥 𝑘 + 1 = 1 3 2 𝑥 𝑘 + 𝑄 𝑥 𝑘 2 ,   𝑘 = 0,1 …   b) Usando a fórmula, calcule 4 3 com precisão de 10 − 2 , determinando o valor inicial atr