Lista de Exercícios Resolvidos de Método de Newton

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Dado o sistema não linear

x + y = 1 x 2 + 2 y = 2

aplique uma iteração do Método de Newton para encontrar uma solução do sistema, a partir do ponto x 0 , y 0 T = 0,0 T . Calcule os erros absoluto e relativo. O ponto calculado é uma boa aproximação para a solução do sistema?

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Considere o sistema não linear

e x 1 - 1 = 0 e x 2 - 1 = 0

que tem como solução x 1 = x 2 = 0 .

a Verifique que a matriz Jacobiana é invertível em x = 0,0 T

b Resolva esse sistema através do método de Newton com x 0 = - 10 , - 10 T

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Use o método de Newton com x 0 = 0 para calcular x 2 nos sistemas não-lineares abaixo:

a 4 x 1 2 - 20 x 1 + 1 4 x 2 2 + 8 = 0 1 2 x 1 x 2 2 + 2 x 1 - 5 x 2 + 8 = 0

b sin ⁡ 4 π x 1 x 2 - 2 x 2 - x 1 = 0 4 π - 1 4 π e 2 x 1 - e + 4 e x 2 2 - 2 e x 1 = 0

c x 1 1 - x 1 + 4 x 2 = 12 x 1 - 2 2 + 2 x 2 - 3 2 = 25

d 5 x 1 2 - x 2 2 = 0 x 2 - 0.25 sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2 = 0

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Use o método de Newton com x 0 = 0 para calcular x 2 nos sistemas não-lineares abaixo:

a x 1 2 + x 2 - 37 = 0 x 1 - x 2 2 - 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 - 3 = 0

b 15 x 1 + x 2 2 - 4 x 3 = 13 x 1 2 + 10 x 2 - x 3 = 11 x 3 3 - 25 x 3 = - 22

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Se aplicarmos o método de Newton para sistemas não lineares para resolver um sistema linear A x = b ,   A ∈ R n × n ,   x , b ∈ R n , em quantas iterações o método irá convergir? Justifique sua resposta.

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