Métodos preditor-corretor

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Teoria

Introdução

Faaaaaaaaaaaaala aí meu jovem, tudo certinho?

Vamos começar a estudar mais um tópico sobre resolução de EDO. Mas... aqui estamos tratando mais de uma definição em si.

O que podemos pensar quando falamos em previsor-corretor?

Não hahahaha não estamos falando desse tipo de previsão!

Analisando a origem da palavra previsor e corretor, induzimos que um método visa prevenir alguma coisa e outro método visa corrigir. Até aí tudo bem né?

Isso significa que a cada passo será calculado um valor previsto e um valor corrigido, e para calcular o erro incluso teremos que usar diretamente esses dois conceitos e a cada passo calculado nós aumentamos a precisão. Para isso, nós usamos uma técnica denominada explicita (para prever) e uma técnica implícita (para corrigir) e aí chamamos o método de preditor-corretor.

Método Explícito:

Obtemos os métodos dessa classe trabalhando com x n , x n - 1 , … , x n - m ou seja o cálculo de y n + 1 tem forma explícita em função dos outros (para calcular y n + 1 uso somente y n , y n - 1 , y n - 2 , y n - 3 ) .

Método Implícito:

Aqui quando queremos calcular y n + 1 já temos que usar o valor de y n + 1 e a fórmula não é explícita.

Preditor-Corretor:

Os melhores exemplos de métodos implícitos e explícitos são os métodos de Adams. O método implícito de Adams-Moulton e o método explícito de Adams-Bashforth de mesma ordem. O segredo do método preditor-corretor é a combinação entre métodos.

Assim, vemos as coisas por mais ângulos do que estamos habituados. Existem uma série de combinações de métodos possíveis, que levam a gerar um modelo matemático preditor-corretor.

Outro exemplo disso é empregando um método de Euler como implícito e outro como explícito.

Também podemos usar métodos como de Newton ou da secante para fazer uma aproximação... maaaaaaaaaaaaaaaaaas, dificultaria um pouco o nosso processo de cáculo.

Usando o modelo Adams-Moulton-Bashforth podemos gerar um método de três passos com essa aparência:

y 0 = α 0

y 1 = α 1

y 2 = α 2

y n + 1 p = y n + h 12 23 f n - 16 f n - 1 + 5 f n - 2

y n + 1 = y n + h 24 ( 9 f n + 1 p + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2 )

Onde :

f n + 1 p = f ( t n + 1 , y n + 1 p )

Com o método explícito nós conseguimos fazer a aproximação que chamamos de y n + 1 p (de ordem 3) e essa aproximação é usada na equação explícita para obter y n + 1 .

Então... como pode ver, basicamente nós usamos dois métodos já conhecidos para desempenhar papéis diferentes na resolução de um único problema.

É isso!! Bora fazer exercício para fixar esse conteúdo.

Método Explícito:

Método Implícito:

Preditor-Corretor:

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Defina as entradas e saídas para implementação de um algoritimo para o método previsor corretor:

Passo 1

Entrada: extremidades a ,   b ; número inteiro N e condição inicial .

Passo 2

Saída: aproximação x   para y nos ( n + 1 ) valores.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Discuta a variação da ordem no método previsor-corretor.

Passo 1

Algumas modificações são feitas para variar ordem e o tamanho da etapa no método previsor-corretor.

Essas modificações produzem um tratamento mais suave e eficiente dos problemas. Introduz um método com maior estabilidade.

Resposta

Variações de ordem no método previsor-corretor produzem um tratamento mais suave e eficiente dos problemas. Introduz um método com maior estabilidade.

Exercício Resolvido #3

Em um método preditor-corretor, em geral há apenas uma correção usando um método implícito. Discuta a possibilidade de corrigir mais de uma vez, usando a correção anterior como um novo preditor.

Resposta

Aumentar a quantidade de correções funcionaria como um funil, aumentando a precisão e estabilidade de informação calculada para a próxima etapa.

Exercício Resolvido #4

Esboce um modelo de método de método preditor corretor usando regra dos trapézios e outra técnica conhecida para resolver uma integral:

Passo 1

Usando a regra dos Trapézios para resolver a integral dada:

y ( x n + 1 ) = y ( x n ) + ∫ x n x n + 1 f x , y x d x

Utilizando a regra dos trapézios ficamos com:

y ( x n + 1 ) = y ( x n ) + h 2 [ f f ( x n , y n + f x n + 1 , y ( x n + 1 ) ]

Essa equaçap é a da regra dos trapézios e pode ser calculada implicitamente.

Passo 2

  1. Por meio de um método explícito obtido por diferenças finitas, encontramos a primeira aproximação y n + 1 ( 0 ) para y n + 1 ;
  2. Passo 3

  3. Calcula-se o valor de f ( x n + 1 , y n + 1 0 ) que representa o f n + 1 ;
  4. Pelo (2) encontra-se uma aproximação para y n + 1 ,   y n + 1 ( 1 ) , usando um método implícito, que é obtido por diferenças finitas atrasadas.
  5. O processo é repetido até o valor obtido ser menor que o erro.

Resposta

Exercício Resolvido #5

Analise a tabela abaixo e calcule o erro absoluto entre as etapas:

Passo 1

A fórmula do erro absoluto é:

E A = y i - w i

Para t = 0,0 :

E A = 0,5 - 0,5 = 0

Passo 2

Para t = 0 , 2 :

E A = 0 , 8292986 - 0 , 8292933 = 0 , 0000053

Passo 3

Para t = 0 , 4 :

E A = 1,2140877 - 1,2140762 = 0 , 0000114

Resposta

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