Inequações com TVM

Teoria Completa

Sabia que também dá para usar o TVM para demonstrar inequações? Existem dois tipos de problemas com inequações e que podem ser resolvidos usando TVM. O primeiro é aquele que envolve somente números, como:

π e < e π

E aqueles que envolvem incógnitas como x :

e x 1 ,     p /   x 0

Como somos pessoas bacanas e sensatas, vamos começar pela mais fácil, que é justamente a inequação que envolve apenas números, ou seja, π e < e π .

Quando temos problemas assim, devemos tentar construir a fórmula de TVM na inequação. Neste caso, começamos jogando tudo para o mesmo lado:

π e < e π e π - π e > 0

Agora, a gente tem que achar alguma função que seja igual a cada um dos termos para determinado valor. Ham? Precisamos achar uma função que tenha a e b tal que:

f b = e π ; f a = π e

Para que a gente comece a construir a fórmula do TVM a partir disso. Lembrando que a fórmula do TVM é

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Se escolhêssemos:

f x = e x

Temos que no ponto x = b = π :

f π = e π

Que satisfaz o primeiro termo. Agora, como satisfazer o segundo? Precisamos de um valor que altere a base de   e para π . Temos uma propriedade dos logaritmos que diz que:

n log n ( p ) = p

O seja, quando um número qualquer n está elevado a um logaritmo de base também n , o logaritmo se cancela com a base e sobra somente o argumento do logaritmo.

Podemos usar essa ideia para mudar a base, considerando:

x = a = log e ( π e ) = ln ( π e )

Pois, assim:

f ln ( π e ) = e ln ( π e ) = π e

Assim, podemos escrever:

e π - π e > 0 f π - f ln π e > 0

Se a gente chama a = ln π e e b = π , então temos o numerador da fórmula do TVM:

f π - f ln π e > 0 f b - f a > 0

Agora, é só dividir por b - a e teremos a fórmula em si:

f b - f a b - a > 0 f π - f ln π e π - ln π e > 0

Tá, beleza. Temos que agora a fórmula do TVM aplicada é menor que zero, mas e daí? Agora, gafanhoto, temos que lembrar que a fórmula do TVM diz que existe c pertencente a um intervalo ( a , b ) tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Para este caso, existirá c pertencente a um intervalo ( ln π e , π ) , que foram os valores de a e   b determinados, tal que:

f ' c = f π - f ln π e π - ln π e > 0

Podemos substituir isso na inequação e teremos que:

f ' c > 0

Ou seja, para provar a inequação, só precisamos provar que f ' c > 0 . Então vamos calcular f ( c ) a partir função que obtemos:

f ' x = e x ' = e x

No ponto c :

f ' c = e c

Como a função exponencial é sempre positiva, f ' c > 0 e provamos que a inequação é verdadeira.

Agora lembra de quando eu falei que quando temos incógnitas, o problema é mais difícil? Pois bem, eu menti!

A verdade é que a história não muda muito não. Começamos jogando tudo para o mesmo lado, como antes:

e x 1 e x - 1 0

Precisamos tirar a fórmula do TVM disso aí. A diferença é que, consideramos o termo x como um número x 0 maior que zero:

e x - 1 0 ,     p /   x 0 e x 0 - 1 0

Novamente, teremos que tentar transformar isso na fórmula de TVM. Para tal devemos encontrar f e b tal que f ( b ) = e x 0 e a tal que f a = 1 . No mais, nada muda em relação ao que nós já vimos. Aqui vamos ter igual ao exemplo anterior,

f x = e x

Agora

b = x 0

a = 0

E o raciocínio vai ficar todo igual, o TVM fica

f ' c = e x 0   - 1 x 0 - 0 0

De novo, temos

f x = e x f ' x = e x

Que é sempre maior que 0 . Beleza, mostramos a mesma coisa.

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 286-58.

Demonstre que para quaisquer números a e b a desigualdade sen b - sen ( a ) b - a é verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A primeira coisa a fazer é tentar deixar a inequação com o formato da fórmula do TVM. Para isso, dividimos tudo por b - a :

sen b - sen ( a ) b - a sen b - sen a b - a 1

Podemos usar uma linda propriedade dos módulos que diz:

a b = a | b |

Assim:

sen b - sen a b - a 1

Legal, como o módulo é sempre positivo, então a fração em si será limitada por:

- 1 sen b - sen a b - a 1

E, pelo TVM, existirá c ( a , b ) tal que:

f ' c = sen b - sen a b - a

Assim, substituindo: - 1 f ' c 1

Assim, para provar a desigualdade, só precisamos mostrar que f ' c é sempre maior ou igual a - 1 e menor ou igual a 1 .

Passo 2

-

Mas qual é será f ' c ? Comparando a fórmula que a gente achou com a fórmula geral do TVM:

f ' c = sen b - sen a b - a ;   f ' c = f ( b ) - f ( a ) b - a

Temos que:

f x = sen ( x )

Assim, derivando e substituindo c :

f ' x = cos x f ' c = cos ( c )

Sendo que o cosseno tem valores sempre entre - 1 e 1 , então, para qualquer c :

- 1 cos ( c ) 1

O que demonstra a inequação.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Mostre que:

x + 1 1 + x 2 ,           se   x 0

(Dica: Utilize o Teorema do Valor Médio)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos que tentar chegar ao TVM a partir disso aí. Um bom começo é jogar tudo para o mesmo lado:

x + 1 -   x 2 - 1 0 ,               se   x 0 .

Agora devemos substituir x por um x 0 que é uma constante maior que 0 :

x + 1 -   x 2 - 1 0 ,               se   x 0   x 0 + 1 -   x 0 2 - 1 0

Analisando essa inequação, temos que se: f x =   x + 1 -   x 2

Então:

f x 0 = x 0 + 1 -   x 0 2

E:

f 0 = 1

Assim, substituindo:

x 0 + 1 -   x 0 2 - 1 0 f x 0 - f 0 0

Para chegar na fórmula do TVM para o intervalo (0, x 0 ), é só dividir tudo por x 0 - 0 :

f x 0 - f 0 0 f x 0 - f 0 x 0 - 0 0 x 0 - 0 f x 0 x 0 0

O TVM também nos diz que existirá c pertencente ao intervalo (0, x 0 ) tal que:

f ' c = f x 0 x 0 0

Assim, para demonstrar a desigualdade, só precisamos mostrar que:

f ' c 0

Passo 2

Calculando a derivada da função, obtemos:

f ' x = x + 1 -   x 2 ' = 1 2 x + 1 1 2 - 1 - 1 2

f ' x = 1 2 1 x + 1 - 1

Portanto, segue que:

f ' c = 1 2 1 c + 1 - 1

Passo 3

Assim, substituindo

1 2 1 c + 1 - 1 0 1 c + 1 - 1 0 Então segue que:

1 c + 1 1

Como c tem que estar entre 0 e x 0 , o seu valor sempre será maior que zero. Olhando para inequação, vemos que 1 dividido por um valor maior que 1, c + 1 , é sempre menor que 1, então a inequação acima é verdadeira e demonstramos que:

x + 1 1 + x 2 ,           se   x 0

Resposta

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