Aplicações com TVM

Teoria Completa

No tipo anterior, vimos o que é TVM, mas vamos dar uma olhada na sua fórmula novamente:

f ' c = f b - f a b - a

Essa fórmula é familiar para você? Não? Ok. E se, ao invés de f , colocássemos uma função-posição ( s ) :

s ' ( c ) = s b - s a b - a

Sabendo que:

Δ s = s b - s a ; Δ t = b - a

A velocidade média no intervalo ( a , b ) seria:

v m é d = Δ s Δ t = s b - s a b - a

Temos novamente a fórmula do TVM para a função s . Dessa maneira, o teorema também diz que existe c no intervalo ( a , b ) tal que:

s ' c = v m e d

Ou seja, a velocidade instantânea (derivada, valor que aparece no velocímetro do carro), em algum instante, é igual à velocidade média no intervalo.

Então, para uma função geral f , o TVM nos diz que a variação instantânea da função deve ser igual à variação média em algum ponto do intervalo.

Então não dê bobeira. Toda vez que a questão te der um intervalo e pedir para você mostrar que a derivada da função é igual à variação média da função nesse mesmo intervalo, não tem outra: é só aplicar a fórmula do TVM.

Entendeu legal, entendeu bonito? Então vamos continuar falando das utilidades do TVM como um bom vendedor fala das utilidades de um celular que chegará quebrado na sua casa.

Voltando a função-posição, imagine que um carro verde andava na estrada seguindo a trajetória (em km):

s t = t ² + 2 t

Em que ponto do intervalo ( 1,2 ) (em horas), a velocidade instantânea é igual à média?

O TVM nos diz que existe um ponto c no qual a velocidade instantânea é igual à média:

s ' c = s b - s a b - a = s 2 - s 1 2 - 1 = 8 - 3 ⟹ s ' c = v c = 5 k m / h = v m e d

Agora, a chave para calcular o ponto onde a velocidade média instantânea é igual à média (instante c ) está no fato da função s ( t ) ser fornecida, pois podemos calcular, através dela, o valor de s ’ c :

s ' t = 2 t + 2 ⟹ s ' c = 2 c + 2

Substituindo na equação anterior:

2 c + 2 = 5 ⟹ c = 3 2 h o r a s  

Repare ainda que 3/2 está entre 1 e 2, como era de se esperar. Assim, quando o enunciado te der a expressão da função e pedir para calcular o valor de c , é só você calcular f ’ ( c ) derivando a expressão da função e substituir f ’ ( c ) na fórmula do TVM.

Mas e se não houver uma solução para c? Quando não há solução para c , a função será descontínua. Assim, se a questão pedir para você mostrar que uma função é descontínua num intervalo, é só derivá-la, calcular f ’ ( c ) , substituir na expressão do TVM e mostrar que c não tem solução ;-).

Raiz de Derivada

Uma das aplicações do teorema é encontrar a raiz da derivada, ou seja, quando:

f ' c = 0

Pelo TVM, quando f ' c = 0 ? Quando ele está no formato do teorema de Rolle, ou seja, quando:

f a = f ( b )

Então, para mostrar que f ’ tem raiz num determinado intervalo ( a , b ) , basta que f ( a ) = f ( b ) e a função siga as condições do teorema de Rolle para que haja uma raiz para f ’ ( c ) ali no meio.

Partiu exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 285-45.

Passaram-se 14 s desde que um termômetro de mercúrio foi retirado do congelador que estava a - 19 º c de temperatura e colocado em água fervente a 100 º c . Demonstre que em algum lugar do trajeto a coluna de mercúrio estava subindo a uma taxa de 8,5 º c / s .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de tudo o que é estar “subindo a uma taxa de 8,5 º c / s ”? Isso diz que a temperatura varia a uma taxa de 8,5 º c / s , ou seja, queremos mostrar que, em algum momento do processo a derivada da temperatura foi:

f ' c = 8,5 º c / s

Passo 2

Passaram-se 14 s durante o processo. Assim, considerando que começou no tempo zero e terminou no tempo t = 14 :

Δ t = 14 = 14 - 0

Agora, a temperatura em t = 0 era de - 19 º c , logo:

f 0 = - 19

No final, o termômetro acabou fritado, coitado:

f 14 = 100

A taxa de variação média da função foi:

Δ f t Δ t = f 14 - f ( 0 ) 14 - 0 = 100 + 19 14 = 119 14 = 8,5 º c

Passo 3

Putz, jovem. A variação média da função é 8,5 º c que é justamente o valor que queremos mostrar que a derivada assume em algum momento. E qual teorema mostra que a derivada de uma função assume a taxa de variação média da função em algum momento? Hein? Hein?! Rufem os tambores!

É ele, o Teorema do valor médio. Então vamos aplicá-lo. Ele diz que existe c pertencente a ( 14,0 ) tal que a derivada é igual à taxa de variação média no intervalo:

f ' c = f 14 - f ( 0 ) 14 - 0 = 8,5 º c

Pronto! Está provado.

Então, fique atento! Quando a questão pedir para você mostrar que a derivada assume determinado valor num intervalo, aplique o TVM, se f ’ ( c ) der o valor que está sendo pedido, tá provado!

Resposta

Exercício Resolvido #2

UFRJ - Cálculo 1 - P1 2010.2 - 2b

Suponha a função f contínua para todo x ∈ 2 ,   5 e que:

f 2 = 7

f ' x ≥ 2

Qual o menor valor que f ( 5 ) pode ter?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aplicando o Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um número c ∈ [ 2 ,   5 ] tal que:

f ' c = f 5 - f ( 2 ) 5 - 2

Substituindo:

f ' c = f 5 - 7 3

Passo 2

Mas como a derivada é sempre maior que 2 , temos que isso tem que valer pro “ c ” também!

f ' c ≥ 2

Portanto:

f 5 - 7 3 ≥ 2

Passo 3

Resolvendo:

f 5 - 7 ≥ 6

f 5 ≥ 13

Segue que, menor que 13 , a f ( 5 ) não pode ser.

Resposta

O menor valor que f ( 5 ) pode assumir é 13 .

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Utilizando o teorema do Valor Médio, prove que a função f abaixo é descontínua no intervalo [ - 1 ,   1 ] .

f x = 1 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aplicando o Teorema:

f ' c = f 1 - f - 1 1 - - 1

Temos que:

f 1 - f - 1 = 1 1 - 1 - 1 = 2

Substituindo:

f ' c = 2 2 = 1

Passo 2

-

Agora, encontramos a derivada de f a partir da função para achar f ’ ( c ) e substituir na equação acima:

f ' x = x - 1 ' ⟹ f ' x = - 1 × x - 1 - 1 ⟹ f ' x = - x - 2 = - 1 x 2

No ponto x = c :

f ' c = - 1 c 2

Igualando a equação que veio do TVM com essa:

- 1 c 2 = 1

c 2 = - 1

Olha só! Não existe um número c real que satisfaz o teorema. A conclusão é que f não pode ser contínua no intervalo [ - 1 ,   1 ] . Lembre-se disso, hein?! Se não houver solução para c , então a função é descontínua no intervalo!

Resposta

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Seja a função f definida abaixo, ache o número “ c ” que satisfaz o teorema do Valor Médio no intervalo [ - 1 ,   3 ] .

f x = x 2 - 5 x + 6

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aplicando o teorema, temos:

f ' c = f 3 - f ( - 1 ) 3 - - 1

Substituindo os valores:

f ' c = 3 2 - 5 ⋅ 3 + 6 - - 1 2 - 5 ⋅ - 1 + 6 4 = 0 - 12 4 ⟹ f ' c = - 3

Passo 2

Calculamos agora a derivada para achar o f ' c e substituir na equação acima. Pense sempre no que e porque você está fazendo algo na questão, não vá na tentativa e erro!

f ' x = 2 x - 5 ⟹ f ' c = 2 c - 5

Igualando, obtemos:

2 c - 5 = - 3 ⟹ 2 c = 2 ⟹ c = 1

Resposta

c = 1

Exercício Resolvido #5

UFRJ - Cálculo 1 - P1 2015.1 – 4

Considere a função f x = x x + 1 x + 2 x + 3 . Mostre que a equação f ' x = 0 possui exatamente três raízes reais distintas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Novamente, temos que mostrar que há raiz de f ' , mas agora está pedindo não somente uma, mas EXATAMENTE TRÊS. Vamos fazer o seguinte. Vamos achando essas raízes primeiro:

Observando a expressão de f ( x ) , é notável que temos 4 raízes:

f x = x x + 1 x + 2 x + 3

Que são x = 0 , x = - 1 , x = - 2 e x = - 3 , pois esses valores zeram a função:

f 0 = 0 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 0

f - 1 = - 1 ⋅ 0 ⋅ 1 ⋅ 2 = 0

f - 2 = - 2 ⋅ - 1 ⋅ 0 ⋅ 1 = 0

f - 3 = - 3 ⋅ - 2 ⋅ - 1 ⋅ 0 = 0

Para mostrar as raízes na derivada, escolhemos duas raízes para o intervalo do TVM.

Passo 2

Começando com ( - 1,0 ) :

f ' c 1 = f 0 - f ( - 1 ) 0 - ( - 1 ) = 0 - 0 1 = 0

Assim, pelo TVM, existe c 1 pertencente a ( - 1,0 ) que é raiz de f ’ . Mostramos que há uma raiz, para mostrar a outra, escolhemos o intervalo seguinte de raízes, ou seja, ( - 2 , - 1 ) :

f ' c 2 = f - 1 - f ( - 2 ) - 1 - ( - 2 ) = 0 - 0 1 = 0

Assim, pelo TVM, existe c 2 pertencente a ( - 2 , - 1 ) que é raiz de f ’ . Mostramos que há duas raízes, para mostrar a última que o problema pede, escolhemos o intervalo seguinte de raízes, ou seja, ( - 3 , - 2 ) :

f ' c 3 = f - 2 - f ( - 3 ) - 2 - ( - 3 ) = 0 - 0 1 = 0

Assim, pelo TVM, existe c 3 pertencente a ( - 3 , - 2 ) que é raiz de f ’ . Legal, mostramos a que há três raízes para f ’ .

Passo 3

Está pensando que acabou? Nan Nan Não! Você tem que ter muito cuidado aqui. O problema não pediu somente para mostrar que existem três raízes para f ’ , pediu para mostrar que existe EXATAMENTE três raízes para f ’ , ou seja, temos que mostrar que não pode existir mais nenhuma. Essa última é mais fácil do que parece.

f x = x x + 1 x + 2 x + 3

É um polinômio de grau 4 que tem no máximo 4 raízes reais. Toda vez que derivamos um polinômio, ele cai um grau, ou seja, f ' é um polinômio de grau 3 , que terá no máximo 3 raízes reais. Pronto, é isso!

Resposta

Temos uma raiz c 1 ∈ - 1,0 , outra c 2 ∈ - 2 , - 1 e outra c 3 ∈ - 3 , - 2 .

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