Teoria Completa
Olá! Olha esse ponto dessa função maluca que esbocei para vocês. Agora, eu quero achar a melhor reta que descreve essa região próxima ao ponto Quando a gente tiver procurando essa reta, a gente estará fazendo uma aproximação linear.
Então, já vou entregar o ouro e te dizer uma coisa: a reta tangente é a reta que melhor aproxima a função no ponto!
Se você ainda não visualizou, olha ela ali em vermelho!
Vamos fazer um exemplo, para ficar mais clara a ideia!
Vamos fazer a aproximação linear da função em pontos perto de . Como eu já falei, a reta tangente é parecida com a função para valores próximos do ponto em que ela tangência.
A reta tangente tem a equação geral:
é o ponto em que estamos estudando, então
é a função no ponto . Então vamos substituir,
é a derivada no ponto . Derivando e substituindo teremos,
A nossa reta tangente ao ponto ficou assim:
Agora vamos fazer um teste! Nós temos duas equações, a reta tangente e a função original. Na aproximação linear nós temos uma reta que se aproxima da função original em um ponto . Então vamos escolher um valor próximo ao nosso , substituir nas duas equações e ver se eles são próximos.
Como, nosso ponto , vamos usar para se aproximar dele o valor de
Usando a função original temos,
Usando a reta tangente temos,
Repara que os dois valores encontrados são próximos! Então, o que você acabou de fazer foi a aproximação linear de uma função, ou seja, toda vez que te perguntarem por aproximação linear, você já sabe que tem que aproximar algo usando reta tangente ;-).
Achando a função ou ponto...
Então pessoal, agora vamos complicar um pouquinho as coisas. Pode ser que esse tipo de questão omita alguma informação para dificultar a nossa vida. Então vou passar com vocês alguns casos do que pode acontecer.
1º Caso: A questão te dá o ponto , mas não te dá a função . Exemplo:
“Aproxime usando ”
O que você faz? Espertamente, escolhe uma função que tem a ver com aquele ponto, no caso
2º Caso: A questão te dá a função , mas não te dá o ponto . Exemplo:
“Aproxime usando ”
O que você faz? Escolhe um valor próximo ao que ele deu. Neste caso, facilita muito se escolhermos um quadrado perfeito,
3º Caso: A questão não dá nenhum dos dois. Exemplo:
“Aproxime usando aproximação linear”
O que você faz? Quando isso acontece, pode ocorrer uma sensação estranha de que você voltou a ser criança e se perdeu da mãe no supermercado, mas não é bem assim. Você precisa determinar uma boa função e um bom ponto.
E como sei qual função e qual ponto são os bons? A boa função é aquela que você consegue avaliar no ponto que você escolher e, nesse ponto, tem valor próximo do valor pedido.
Nesse caso, poderíamos ter escolhido tanto e , como no exemplo.
Mas também poderíamos escolher outra função, como e , pois:
Só não poderíamos substituir na equação da reta tangente à depois, pois:
O melhor seria , pois:
Apesar deste último caso parecer vago, ele dá também uma gama maior de possibilidade de escolha para funções e pontos de referência.
Vamos ver cada uma dessas situações agora, nos exercícios de fixação ;-)
Exercício Resolvido #1
Encontre a aproximação linear local da função em e use-a para aproximar e .
Passo 1
Aqui ele quer a aproximação linear daquela função em torno daquele valor de que ele deu.
Então a primeira parte, que é achar essa aproximação é bem de boa, lembra da fórmula da aproximação linear? Ela vai ser:
A primeira coisa a fazer é achar a derivada de :
Passo 2
Agora que temos a derivada, vamos jogar na fórmula da nossa aproximação linear, lembrando que , a nossa aproximação linear vai ficar:
E essa é nossa aproximação linear. =D
Passo 3
Vamos agora estimar os valores que ele quer usando essa aproximação linear.
Começando com , a nossa função é , assim para esse valor que ele pediu vamos ter
Então vamos ter:
Passo 4
Vamos agora para o outro valor que ele pediu, , a nossa função é , assim para esse valor que ele pediu vamos ter
Então vamos ter
Resposta
Exercício Resolvido #2
Considere a curva definida pela equação . Calcule e encontre a aproximação linear à curva no ponto .
Passo 1
Temos ali uma função implícita. Para fazer a aproximação linear (que é a reta tangente à curva) no ponto precisamos do valor de , para o qual precisamos da fórmula implícita de . Para isso, vamos derivar implicitamente o termo pelas Regras do Produto e da Cadeia:
Eis o nosso em função de e de .
Passo 2
A aproximação linear terá o formato:
O ponto é o valor fornecido na questão:
E será o valor da implícita nesse ponto:
Agora é substituir os valores:
Que será nossa aproximação linear!
Resposta
Exercício Resolvido #3
A aproximação é frequentemente usada por engenheiros para cálculos rápidos.
Deduza esse resultado e use-o para fazer uma estimativa grosseira de
Passo 1
Aqui ele quer que verifiquemos aquela aproximação que ele deu. Ele está aproximando a equação por uma reta, então isso é uma aproximação linear.
A grande questão aqui é qual a função que ele usou para aproximar e qual o ponto de referência.
A função é mais de boa de achar, isso porque ele aproxima , e essa vai ser nossa função:
Passo 2
Agora temos que achar o ponto de referência, para isso vamos fazer a aproximação linear para um ponto de referência qualquer , primeiro precisamos da derivada de
A aproximação linear vai ser:
Trocando os valores de e vamos ter:
Arrumando isso:
Vamos comparar isso com a equação que ele deu ali em cima:
Isso nos diz que:
E:
Pela primeira equação vamos ter:
Vamos substituir isso na segunda expressão:
Assim, como pode ser qualquer valor:
E temos o nosso ponto de referência, e a aproximação linear foi como ele queria.
Passo 3
Vamos agora fazer a aproximação do valor que ele pediu, . Vamos ter, neste caso, . Além disso devemos achar qual valor de vamos usar na função, então vamos fazer
Assim:
A nossa aproximação linear vai ficar:
Resposta
Exercício Resolvido #4
A aproximação linear da função , no ponto de referência , é:
Determine o ponto de referência.
Passo 1
Opa, temos um exercício um pouco diferente aqui. Ele nos deu a aproximação linear e quer o ponto de referência. Vamos fazer a aproximação linear para um ponto qualquer e vamos comparar com essa aproximação que ele deu.
Passo 2
Para fazermos a aproximação linear precisamos da função , da sua derivada e do ponto de referência .
Primeiro vamos achar a derivada dessa parada
Assim nossa aproximação linear vai ser:
Trocando os valores de e temos:
Arrumando isso temos:
Passo 3
Vamos agora comparar isso que achamos com o que ele deu:
Para isso ser sempre igual devemos ter:
A segunda equação é impossível de resolver na mão, então vamos nos preocupar em resolver a primeira, e depois só verificar com a segunda.
Temos:
Lembra da relação entre secante e tangente?
Assim vamos ter, na nossa equação:
Colocando em evidência, vamos ter:
Assim vamos ter duas equações:
E:
Onde e são inteiros.
Resolvendo essas equações logarítmicas:
Passo 4
Achamos os possíveis valores de pela primeira equação, a parada agora é substituir esses valores na segunda equação e ver quais deles que servem para nós.
Substituindo o primeiro valor de , :
Nessa situação a secante de algum múltiplo inteiro de pode ser ou , mas como a secante está ao quadrado:
Assim temos:
E achamos um dos possíveis pontos de referência:
Passo 5
Para outra solução de , qual o valor de que serve nessa parada?
Substituindo o segundo valor de , , vamos ter:
Passo 6
Observa que
Além disso,
Portanto,
Só pode assumir dois valores ou . Como no nosso exercício ela está elevada ao quadrado, não faz diferença, vamos ter que
Passo 7
Assim, temos que
Queremos os valores de , então vou aplicar dos dois lados, vem comigo
Portanto, nosso outro ponto de referência será
Resposta
Exercício Resolvido #5
Determine o valor de usando aproximação linear em uma função da sua escolha em torno do ponto .
Com esse valor aproximado de determine o valor de .
Passo 1
Bem, aqui ele quer que calcule aquele valor:
Mas ele não diz qual a função que vamos usar, só diz o ponto que temos que usar. Neste caso podemos usar qualquer função que acharmos melhor. Vamos sempre tentar olhar a mais fácil possível.
Repara que ele quer elevado a algo, assim isso nos dá a dica de usarmos:
Até porque essa função no ponto de referência que ele deu é tranquila de calcular. Vamos ver se a derivada também é de boa:
Opa, também é tranquilo de calcular. Então vamos usar essa função mesmo.
Passo 2
Agora que escolhemos a função, agora vamos fazer a aproximação linear
Trocando o valor de , e vamos ter:
Passo 3
Agora que temos a nossa aproximação linear, vamos achar o valor que ele pediu. A primeira coisa é ver qual o valor de , nesse caso mesmo.
Nessas questões que nós vamos escolher a função, vamos tentar evitar coisas muito loucas e usar o mais simples para não se embolar depois.
Temos:
Passo 4
Agora que temos esse valor de , para acharmos basta elevar esse número a , então: