Aproximação Linear

Teoria Completa

Olá! Olha esse ponto P dessa função maluca que esbocei para vocês. Agora, eu quero achar a melhor reta que descreve essa região próxima ao ponto P . Quando a gente tiver procurando essa reta, a gente estará fazendo uma aproximação linear.

Então, já vou entregar o ouro e te dizer uma coisa: a reta tangente é a reta que melhor aproxima a função no ponto!

Se você ainda não visualizou, olha ela ali em vermelho!

Vamos fazer um exemplo, para ficar mais clara a ideia!

Vamos fazer a aproximação linear da função f x = x em pontos perto de x = 4 . Como eu já falei, a reta tangente é parecida com a função para valores próximos do ponto em que ela tangência.

A reta tangente tem a equação geral:

y - f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

x 0 é o ponto em que estamos estudando, então x 0 = 4 .

f ( x 0 ) é a função no ponto x 0 . Então vamos substituir,

f x 0 = x 0 →   f 4 = 4 = 2

f ' ( x 0 ) é a derivada no ponto x 0 . Derivando e substituindo teremos,

f ' x = x ' = 1 2 x ⟹ f ' x o = f ' 4 = 1 2 4 = 1 4

A nossa reta tangente ao ponto x = 4 ficou assim:

y - 2 = 1 4 ( x - 4 )

Agora vamos fazer um teste! Nós temos duas equações, a reta tangente e a função original. Na aproximação linear nós temos uma reta que se aproxima da função original em um ponto x 0 . Então vamos escolher um valor próximo ao nosso x 0 , substituir nas duas equações e ver se eles são próximos.

Como, nosso ponto x 0 = 4 , vamos usar para se aproximar dele o valor de x = 4.1 .

Usando a função original temos,

f 4.1 = 4.1 ≅ 2.0248

Usando a reta tangente temos,

y - 2 = 1 4 4.1 - 4 = 2.025

Repara que os dois valores encontrados são próximos! Então, o que você acabou de fazer foi a aproximação linear de uma função, ou seja, toda vez que te perguntarem por aproximação linear, você já sabe que tem que aproximar algo usando reta tangente ;-).

Achando a função ou ponto...

Então pessoal, agora vamos complicar um pouquinho as coisas. Pode ser que esse tipo de questão omita alguma informação para dificultar a nossa vida. Então vou passar com vocês alguns casos do que pode acontecer.

1º Caso: A questão te dá o ponto x 0 , mas não te dá a função f ( x ) . Exemplo:

“Aproxime 4.1 usando x 0 = 4

O que você faz? Espertamente, escolhe uma função que tem a ver com aquele ponto, no caso f x = x

2º Caso: A questão te dá a função f ( x ) , mas não te dá o ponto x 0 . Exemplo:

“Aproxime 4.1 usando f x = x

O que você faz? Escolhe um valor próximo ao que ele deu. Neste caso, facilita muito se escolhermos um quadrado perfeito,   x 0 = 4 .

3º Caso: A questão não dá nenhum dos dois. Exemplo:

“Aproxime 4.1 usando aproximação linear”

O que você faz? Quando isso acontece, pode ocorrer uma sensação estranha de que você voltou a ser criança e se perdeu da mãe no supermercado, mas não é bem assim. Você precisa determinar uma boa função e um bom ponto.

E como sei qual função e qual ponto são os bons? A boa função é aquela que você consegue avaliar no ponto que você escolher e, nesse ponto, tem valor próximo do valor pedido.

Nesse caso, poderíamos ter escolhido tanto f x = x e x = 4 , como no exemplo.

Mas também poderíamos escolher outra função, como g x = 2 x e x = 2 , pois:

g 2 = 2 ⋅ 2 = 4     q u e   e s t á   p r ó x i m o   a   4.1

Só não poderíamos substituir x = 4.1 na equação da reta tangente à g depois, pois:

g 4.1 = 2 ⋅ 4.1 = 8.2 ≠ 4.1

O melhor seria x   =   2.05 , pois:

g 2.05 = 2 ⋅ 2.05 = 4.1

Apesar deste último caso parecer vago, ele dá também uma gama maior de possibilidade de escolha para funções e pontos de referência.

Vamos ver cada uma dessas situações agora, nos exercícios de fixação ;-)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume I, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, pg 230 exercício 4 a

Encontre a aproximação linear local da função f x = 1 x em a = 4 e use-a para aproximar 1 3,9 e 1 4,1 .

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Passo 1

Aqui ele quer a aproximação linear daquela função em torno daquele valor de a que ele deu.

Então a primeira parte, que é achar essa aproximação é bem de boa, lembra da fórmula da aproximação linear? Ela vai ser:

f x ≅ f a + f ' a x - a

A primeira coisa a fazer é achar a derivada de f :

f ' x = 1 x ' = x - 1 / 2 ' = - 1 2 x - 3 / 2

Passo 2

Agora que temos a derivada, vamos jogar na fórmula da nossa aproximação linear, lembrando que a = 4 , a nossa aproximação linear vai ficar:

f x ≅ f 4 + f ' 4 x - 4

f x ≅ 1 4 - 1 2 4 - 3 / 2 x - 4

f x ≅ 1 2 - 1 2 2 - 3 x - 4

f x ≅ 1 2 - 1 16 x - 4

f x ≅ 1 2 - x 16 + 4 16

f x ≅ 3 4 - x 16

E essa é nossa aproximação linear. =D

Passo 3

Vamos agora estimar os valores que ele quer usando essa aproximação linear.

Começando com 1 3,9 , a nossa função é 1 x , assim para esse valor que ele pediu vamos ter

1 3,9 = 1 x

x = 3,9

Então vamos ter:

1 3,9 = f 3,9 ≅ 3 4 - 3,9 16

1 3,9 ≅ 12 - 3,9 16

1 3,9 ≅ 8,1 16

1 3,9 ≅ 0,50625

Passo 4

Vamos agora para o outro valor que ele pediu, 1 4,1 , a nossa função é 1 x , assim para esse valor que ele pediu vamos ter

1 4,1 = 1 x

x = 4,1

Então vamos ter

1 4,1 = f 4,1 ≅ 3 4 - 4,1 16

1 4,1 ≅ 12 - 4,1 16

1 4,1 ≅ 7,9 16

1 4,1 ≅ 0,49375

Resposta

1 x = f x ≅ 3 4 - x 16

1 3,9 ≅ 0,50625

1 4,1 ≅ 0,49375

Exercício Resolvido #2

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2015 Noturno Sexta – 1

Considere a curva definida pela equação x 6 + y 6 + 8 x y + 6 = 0 . Calcule y ' e encontre a aproximação linear à curva no ponto 1 , - 1 .

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Passo 1

Temos ali uma função implícita. Para fazer a aproximação linear (que é a reta tangente à curva) no ponto 1 , - 1 precisamos do valor de y ' 1 , - 1 , para o qual precisamos da fórmula implícita de y ' . Para isso, vamos derivar implicitamente o termo pelas Regras do Produto e da Cadeia:

x 6 ' + y 6 ' + 8 x y ' + 6 ' = 0 '

6 x 5 + 6 y 5 y ' + 8 x ' y + 8 x y ' + 0 = 0

6 x 5 + 6 y 5 y ' + 8 y + 8 x y ' = 0

y ' 6 y 5 + 8 x = - 6 x 5 + 8 y

y ' = - 6 x 5 + 8 y 6 y 5 + 8 x

Eis o nosso y ' em função de x e de y .

Passo 2

A aproximação linear terá o formato:

y - y ( x 0 ) = y ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

O ponto x 0 , y ( x 0 ) é o valor fornecido na questão:

x 0 , y ( x 0 ) = ( 1 , - 1 )

E y ' ( x 0 ) será o valor da implícita nesse ponto:

y ' = - 6 1 5 + 8 - 1 6 - 1 5 + 8 1

… = - 6 - 8 - 6 + 8 = - - 2 2

… = 1

Agora é substituir os valores:

y - y x 0 = y ' x 0 x - x 0 ⟹ y + 1 = 1 ( x - 1 )

y = x - 2

Que será nossa aproximação linear!

Resposta

y = x - 2

Exercício Resolvido #3

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume I, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005,Pg 230 exercício 28

A aproximação 1 + x k ≅ 1 + k x é frequentemente usada por engenheiros para cálculos rápidos.

Deduza esse resultado e use-o para fazer uma estimativa grosseira de 1,001 37

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Passo 1

Aqui ele quer que verifiquemos aquela aproximação que ele deu. Ele está aproximando a equação por uma reta, então isso é uma aproximação linear.

A grande questão aqui é qual a função que ele usou para aproximar e qual o ponto de referência.

A função é mais de boa de achar, isso porque ele aproxima 1 + x k , e essa vai ser nossa função:

f x = 1 + x k

Passo 2

Agora temos que achar o ponto de referência, para isso vamos fazer a aproximação linear para um ponto de referência qualquer