Aproximação Linear

Teoria Completa

Quando nós vimos retas tangentes, mostramos que elas são iguais à função no ponto de tangência. Para valores diferentes desse ponto a reta tangente pode se afastar bastante:

A função (em vermelho) é igual a tangente (azul) no ponto de tangência (verde) e se distância nos outros pontos.

Se nós quisermos aproximar a função f x = x em pontos perto de x = 4 , como fazemos?

A reta tangente é parecida com a função para valores próximos do ponto de tangência. Então que tal aproximar pela reta tangente? Acho uma boa!

A reta tangente tem a equação geral:

y - f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Precisamos determinar os valores de ( x 0 , f ( x 0 ) ) e f ’ ( x 0 ) para determiná-la. Com estamos usando a reta tangente a f em x = 4 como referência, então ela passa por esse ponto, logo:

( x 0 , f ( x 0 ) )   ⟹ ( 4 ,   f ( 4 ) ) ⟹ ( 4,2 )

Para f ’ ( x 0 ) , derivamos a função:

f ' x = x ' = 1 2 x ⟹ f ' x o = f ' 4 = 1 2 4 = 1 4

Substituindo tudo, obtemos a reta tangente ao ponto x = 4 :

y - 2 = 1 4 ( x - 4 )

Mas para que serve essa aproximação? Eu posso achar valor de raízes perto de 4 com essa fórmula. Suponha que eu queira calcular 4,1 por exemplo.

Usando-a para aproximar o valor de x = 4.1 :

y - 2 = 1 4 4.1 - 4 ⟹ y = 2.025 ≅ f 4.1 = 4.1

Se você usar sua calculadora malandra agora, você verá que 4.1 ≅ 2.0248 que é muito parecido com o que a gente achou. Não chega a ser um sorvete, mas ainda é delicioso.

O que você acabou de fazer foi a aproximação linear de uma função, ou seja, toda vez que te perguntarem por aproximação linear, você já sabe que tem que aproximar algo usando reta tangente ;-).

Achando a função ou ponto...

Há vários exercícios envolvendo aproximação linear nos quais o autor omite alguma informação no enunciado para que você a deduza.

Imagine que, como no exemplo do tipo anterior, quiséssemos aproximar 4.1 .

Poderia não ser dito qual era o melhor ponto para aproximar usando a função f x = x .

Neste caso, precisaríamos identificar o ponto mais próximo ao de interesse no qual o valor de f ( x ) é conhecido, como o ponto x = 4 que ele tinha dado.

Poderia também não ser dito qual função você deveria usar para aproximar 4.1 , mas ainda sim pedir para aproximar tomando como referência x = 4 . Nesse caso, você precisa identificar qual a melhor função que, no ponto x = 4 , fica próxima de 4.1 . Você já tem spoiler dela: f x = x , pois:

f 4 = 4   q u e   e s t á   p r ó x i m o   a   4.1

Por último, poderia não ser dito nada além de:

Aproxime 4.1 por aproximação linear.

Quando isso acontece, pode ocorrer uma sensação estranha de que você voltou a ser criança e se perdeu da mãe no supermercado, mas não é bem assim. Você precisa determinar uma boa função e um bom ponto.

E como sei qual função e qual ponto são os bons? A boa função é aquela que você consegue avaliar no ponto que você escolher e, nesse ponto, tem valor próximo do valor pedido.

Nesse caso, poderíamos ter escolhido tanto f x = x e x = 4 , quanto g x = 2 x e x = 2 , pois:

g 2 = 2 ⋅ 2 = 4     q u e   e s t á   p r ó x i m o   a   4.1

Só não poderíamos substituir x = 4.1 na equação da reta tangente à g depois, pois:

g 4.1 = 2 ⋅ 4.1 = 8.2 ≠ 4.1

O melhor seria x   =   2.05 , pois:

g 2.05 = 2 ⋅ 2.05 = 4.1

Apesar deste último caso parecer vago, ele dá também uma gama maior de possibilidade de escolha para funções e pontos de referência.

Vamos ver cada uma dessas situações agora, nos exercícios de fixação ;-)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume I, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, pg 230 exercício 4 a

Encontre a aproximação linear local da função f x = 1 x em a = 4 e use-a para aproximar 1 3,9 e 1 4,1 .

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Passo 1

Aqui ele quer a aproximação linear daquela função em torno daquele valor de a que ele deu.

Então a primeira parte, que é achar essa aproximação é bem de boa, lembra da fórmula da aproximação linear? Ela vai ser:

f x ≅ f a + f ' a x - a

A primeira coisa a fazer é achar a derivada de f :

f ' x = 1 x ' = x - 1 / 2 ' = - 1 2 x - 3 / 2

Passo 2

Agora que temos a derivada, vamos jogar na fórmula da nossa aproximação linear, lembrando que a = 4 , a nossa aproximação linear vai ficar:

f x ≅ f 4 + f ' 4 x - 4

f x ≅ 1 4 - 1 2 4 - 3 / 2 x - 4

f x ≅ 1 2 - 1 2 2 - 3 x - 4

f x ≅ 1 2 - 1 16 x - 4

f x ≅ 1 2 - x 16 + 4 16

f x ≅ 3 4 - x 16

E essa é nossa aproximação linear. =D

Passo 3

Vamos agora estimar os valores que ele quer usando essa aproximação linear.

Começando com 1 3,9 , a nossa função é 1 x , assim para esse valor que ele pediu vamos ter

1 3,9 = 1 x

x = 3,9

Então vamos ter:

1 3,9 = f 3,9 ≅ 3 4 - 3,9 16

1 3,9 ≅ 12 - 3,9 16

1 3,9 ≅ 8,1 16

1 3,9 ≅ 0,50625

Passo 4

Vamos agora para o outro valor que ele pediu, 1 4,1 , a nossa função é 1 x , assim para esse valor que ele pediu vamos ter

1 4,1 = 1 x

x = 4,1

Então vamos ter

1 4,1 = f 4,1 ≅ 3 4 - 4,1 16

1 4,1 ≅ 12 - 4,1 16

1 4,1 ≅ 7,9 16

1 4,1 ≅ 0,49375

Resposta

1 x = f x ≅ 3 4 - x 16

1 3,9 ≅ 0,50625

1 4,1 ≅ 0,49375

Exercício Resolvido #2

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2015 Noturno Sexta – 1

Considere a curva definida pela equação x 6 + y 6 + 8 x y + 6 = 0 . Calcule y ' e encontre a aproximação linear à curva no ponto 1 , - 1 .

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Passo 1

Temos ali uma função implícita. Para fazer a aproximação linear (que é a reta tangente à curva) no ponto 1 , - 1 precisamos do valor de y ' 1 , - 1 , para o qual precisamos da fórmula implícita de y ' . Para isso, vamos derivar implicitamente o termo pelas Regras do Produto e da Cadeia:

x 6 ' + y 6 ' + 8 x y ' + 6 ' = 0 '

6 x 5 + 6 y 5 y ' + 8 x ' y + 8 x y ' + 0 = 0

6 x 5 + 6 y 5 y ' + 8 y + 8 x y ' = 0

y ' 6 y 5 + 8 x = - 6 x 5 + 8 y

y ' = - 6 x 5 + 8 y 6 y 5 + 8 x

Eis o nosso y ' em função de x e de y .

Passo 2

A aproximação linear terá o formato:

y - y ( x 0 ) = y ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

O ponto x 0 , y ( x 0 ) é o valor fornecido na questão:

x 0 , y ( x 0 ) = ( 1 , - 1 )

E y ' ( x 0 ) será o valor da implícita nesse ponto:

y ' = - 6 1 5 + 8 - 1 6 - 1 5 + 8 1

… = - 6 - 8 - 6 + 8 = - - 2 2

… = 1

Agora é substituir os valores:

y - y x 0 = y ' x 0 x - x 0 ⟹ y + 1 = 1 ( x - 1 )

y = x - 2

Que será nossa aproximação linear!

Resposta

y = x - 2

Exercício Resolvido #3

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume I, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005,Pg 230 exercício 28

A aproximação 1 + x k ≅ 1 + k x é frequentemente usada por engenheiros para cálculos rápidos.

Deduza esse resultado e use-o para fazer uma estimativa grosseira de 1,001 37

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Passo 1

Aqui ele quer que verifiquemos aquela aproximação que ele deu. Ele está aproximando a equação por uma reta, então isso é uma aproximação linear.

A grande questão aqui é qual a função que ele usou para aproximar e qual o ponto de referência.

A função é mais de boa de achar, isso porque ele aproxima 1 + x k , e essa vai ser nossa função:

f x = 1 + x k

Passo 2

Agora temos que achar o ponto de referência, para isso vamos fazer a aproximação linear para um ponto de referência qualquer a , primeiro precisamos da derivada de f x