Aproximação Linear

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Teoria

Fala aí, você acaba de chegar no Responde Aí! E aqui vamos te explicar tudo sobre aproximação linear

Aproximação linear

Olha essa curva de função aqui. Agora eu quero achar a reta que descreve essa região próxima ao ponto . Uma aproximação linear consiste em achar essa reta!

Porém tem um detalhe a reta tangente é sempre a melhor reta!

Reta tangente ao ponto
Reta tangente ao ponto

Ou seja, toda vez que te perguntarem por aproximação linear, você já sabe que tem que aproximar algo usando reta tangente!

A reta tangente tem a equação geral:

E se o seu professor perguntar por uma definição formal de aproximação linear, você pode dizer assim:

Definição formal de aproximação linear
Definição formal de aproximação linear

Exemplo

Calcule a aproximação linear da função no ponto .

Passo 1: Pra começar, vamos descobrir o valor de :

Passo 2: Agora vamos calcular a derivada de

E calculamos o valor de

Passo 3: Agora é só aplicar na fórmula da reta tangente:

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Exemplo

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Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Encontre a aproximação linear local da função f x = 1 x em a = 4 e use-a para aproximar 1 3,9 e 1 4,1 .

Passo 1

Aqui ele quer a aproximação linear daquela função em torno daquele valor de a que ele deu.

Então a primeira parte, que é achar essa aproximação é bem de boa, lembra da fórmula da aproximação linear? Ela vai ser:

f x ≅ f a + f ' a x - a

A primeira coisa a fazer é achar a derivada de f :

f ' x = 1 x ' = x - 1 / 2 ' = - 1 2 x - 3 / 2

Passo 2

Agora que temos a derivada, vamos jogar na fórmula da nossa aproximação linear, lembrando que a = 4 , a nossa aproximação linear vai ficar:

f x ≅ f 4 + f ' 4 x - 4

f x ≅ 1 4 - 1 2 4 - 3 / 2 x - 4

f x ≅ 1 2 - 1 2 2 - 3 x - 4

f x ≅ 1 2 - 1 16 x - 4

f x ≅ 1 2 - x 16 + 4 16

f x ≅ 3 4 - x 16

E essa é nossa aproximação linear. =D

Passo 3

Vamos agora estimar os valores que ele quer usando essa aproximação linear.

Começando com 1 3,9 , a nossa função é 1 x , assim para esse valor que ele pediu vamos ter

1 3,9 = 1 x

x = 3,9

Então vamos ter:

1 3,9 = f 3,9 ≅ 3 4 - 3,9 16

1 3,9 ≅ 12 - 3,9 16

1 3,9 ≅ 8,1 16

1 3,9 ≅ 0,50625

Passo 4

Vamos agora para o outro valor que ele pediu, 1 4,1 , a nossa função é 1 x , assim para esse valor que ele pediu vamos ter

1 4,1 = 1 x

x = 4,1

Então vamos ter

1 4,1 = f 4,1 ≅ 3 4 - 4,1 16

1 4,1 ≅ 12 - 4,1 16

1 4,1 ≅ 7,9 16

1 4,1 ≅ 0,49375

Resposta

1 x = f x ≅ 3 4 - x 16

1 3,9 ≅ 0,50625

1 4,1 ≅ 0,49375

Exercício Resolvido #2

Considere a curva definida pela equação x 6 + y 6 + 8 x y + 6 = 0 . Calcule y ' e encontre a aproximação linear à curva no ponto 1 , - 1 .

Passo 1

Temos ali uma função implícita. Para fazer a aproximação linear (que é a reta tangente à curva) no ponto 1 , - 1 precisamos do valor de y ' 1 , - 1 , para o qual precisamos da fórmula implícita de y ' . Para isso, vamos derivar implicitamente o termo pelas Regras do Produto e da Cadeia:

x 6 ' + y 6 ' + 8 x y ' + 6 ' = 0 '

6 x 5 + 6 y 5 y ' + 8 x ' y + 8 x y ' + 0 = 0

6 x 5 + 6 y 5 y ' + 8 y + 8 x y ' = 0

y ' 6 y 5 + 8 x = - 6 x 5 + 8 y

y ' = - 6 x 5 + 8 y 6 y 5 + 8 x

Eis o nosso y ' em função de x e de y .

Passo 2

A aproximação linear terá o formato:

y - y ( x 0 ) = y ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

O ponto x 0 , y ( x 0 ) é o valor fornecido na questão:

x 0 , y ( x 0 ) = ( 1 , - 1 )

E y ' ( x 0 ) será o valor da implícita nesse ponto:

y ' = - 6 1 5 + 8 - 1 6 - 1 5 + 8 1

… = - 6 - 8 - 6 + 8 = - - 2 2

… = 1

Agora é substituir os valores:

y - y x 0 = y ' x 0 x - x 0 ⟹ y + 1 = 1 ( x - 1 )

y = x - 2

Que será nossa aproximação linear!

Resposta

y = x - 2

Exercício Resolvido #3

A aproximação 1 + x k ≅ 1 + k x é frequentemente usada por engenheiros para cálculos rápidos.

Deduza esse resultado e use-o para fazer uma estimativa grosseira de 1,001 37

Passo 1

Aqui ele quer que verifiquemos aquela aproximação que ele deu. Ele está aproximando a equação por uma reta, então isso é uma aproximação linear.

A grande questão aqui é qual a função que ele usou para aproximar e qual o ponto de referência.

A função é mais de boa de achar, isso porque ele aproxima 1 + x k , e essa vai ser nossa função:

f x = 1 + x k

Passo 2

Agora temos que achar o ponto de referência, para isso vamos fazer a aproximação linear para um ponto de referência qualquer a , primeiro precisamos da derivada de f x

f ' x = k 1 + x k - 1

A aproximação linear vai ser:

f x ≅ f a + f ' a x - a

Trocando os valores de f e f ' vamos ter:

f x ≅ 1 + a k + k 1 + a k - 1 x - a

Arrumando isso:

f x ≅ k 1 + a k - 1 x + 1 + a k - a k 1 + a k - 1

Vamos comparar isso com a equação que ele deu ali em cima:

k 1 + a k - 1 x + 1 + a k - a k 1 + a k - 1 = k x + 1

Isso nos diz que:

k 1 + a k - 1 = k

E:

1 + a k - a k 1 + a k - 1 = 1

Pela primeira equação vamos ter:

1 + a k - 1 = 1

Vamos substituir isso na segunda expressão:

1 + a k - 1 ⋅ 1 + a - a k 1 + a k - 1 = 1

1 + a - a k = 1

a - a k = 0

a = a k

Assim, como k pode ser qualquer valor:

a = 0

E temos o nosso ponto de referência, e a aproximação linear foi como ele queria.

Passo 3

Vamos agora fazer a aproximação do valor que ele pediu, 1,001 37 . Vamos ter, neste caso, k = 37 . Além disso devemos achar qual valor de x vamos usar na função, então vamos fazer

1,001 37 = 1 + x 37

Assim:

1 + x = 1,001

x = 0,001

A nossa aproximação linear vai ficar:

1,001 37 = f 0,001 ≅ 1 + 37 0,001

1,001 37 ≅ 1,037

Resposta

1,001 37 ≅ 1,037

Exercício Resolvido #4

A aproximação linear da função f x = tan ⁡ ln ⁡ x , no ponto de referência a , é:

f x ≅ x - 1

Determine o ponto de referência.

Passo 1

Opa, temos um exercício um pouco diferente aqui. Ele nos deu a aproximação linear e quer o ponto de referência. Vamos fazer a aproximação linear para um ponto qualquer a e vamos comparar com essa aproximação que ele deu.

Passo 2

Para fazermos a aproximação linear precisamos da função f x , da sua derivada f ' x e do ponto de referência a .

Primeiro vamos achar a derivada dessa parada

f ' x = sec 2 ⁡ ln ⁡ x ∙ 1 x = sec 2 ⁡ ln ⁡ x x

Assim nossa aproximação linear vai ser:

f x ≅ f a + f ' a x - a

Trocando os valores de f e f ' temos:

f x ≅ tan ⁡ ln ⁡ a + sec 2 ⁡ ln ⁡ a a x - a

Arrumando isso temos:

f x ≅ tan ⁡ ln ⁡ a + sec 2 ⁡ ln ⁡ a a x - sec 2 ⁡ ln ⁡ a

Passo 3

Vamos agora comparar isso que achamos com o que ele deu:

tan ⁡ ln ⁡ a + sec 2 ⁡ ln ⁡ a a x - sec 2 ⁡ ln ⁡ a = x - 1

Para isso ser sempre igual devemos ter:

tan ⁡ ln ⁡ a - sec 2 ⁡ ln ⁡ a = - 1

sec 2 ⁡ ln ⁡ a a = 1

A segunda equação é impossível de resolver na mão, então vamos nos preocupar em resolver a primeira, e depois só verificar com a segunda.

Temos:

tan ⁡ ln ⁡ a - sec 2 ⁡ ln ⁡ a = - 1

Lembra da relação entre secante e tangente?

tan 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

Assim vamos ter, na nossa equação:

tan ⁡ ln ⁡ a - tan 2 ⁡ ln ⁡ a + 1 = - 1

tan ⁡ ln ⁡ a - tan 2 ⁡ ln ⁡ a - 1 = - 1

tan ⁡ ln ⁡ a - tan 2 ⁡ ln ⁡ a = 0

Colocando tan ⁡ ln ⁡ a em evidência, vamos ter:

tan ⁡ ln ⁡ a tan ⁡ ln ⁡ a - 1 = 0

Assim vamos ter duas equações:

tan ⁡ ln ⁡ a = 0   o u   tan ⁡ ln ⁡ a - 1 = 0

tan ⁡ ln ⁡ a = 0   o u   tan ⁡ ln ⁡ a = 1

E:

ln ⁡ a = 0 + k 1 π   o u   ln ⁡ a = π 4 + k 2 π

Onde k 1 e k 2 são inteiros.

Resolvendo essas equações logarítmicas:

a = e k 1 π   o u   a = e π 4 + k 2 π

Passo 4

Achamos os possíveis valores de a pela primeira equação, a parada agora é substituir esses valores na segunda equação e ver quais deles que servem para nós.

sec 2 ⁡ ln ⁡ a a = 1

Substituindo o primeiro valor de a , a = e k 1 π :

sec 2 ⁡ ln ⁡ e k 1 π e k 1 π = 1

sec 2 ⁡ k 1 π e k 1 π = 1

Nessa situação a secante de algum múltiplo inteiro de π pode ser 1 ou - 1 , mas como a secante está ao quadrado:

1 e k 1 π = 1

e k 1 π = 1

k 1 π = 0

Assim temos:

k 1 = 0

E achamos um dos possíveis pontos de referência:

a = e 0 π = 1

Passo 5

Para outra solução de a , qual o valor de k 2 que serve nessa parada?

sec 2 ⁡ ln ⁡ a a = 1

Substituindo o segundo valor de a , a = e π 4 + k 2 π , vamos ter:

sec 2 ⁡ ln ⁡ e π 4 + k 2 π e π 4 + k 2 π = 1

sec 2 ⁡ π 4 + k 2 π e π 4 + k 2 π = 1

Passo 6

Observa que

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Além disso,

cos ⁡ π 4 + k 2 π 2 2 ,     s e   k 2   f o r   p a r     - 2 2 ,     s e   k 2   f o r   í m p a r

Portanto,

sec ⁡ π 4 + k 2 π

Só pode assumir dois valores 2 / 2 ou - 2 / 2 . Como no nosso exercício ela está elevada ao quadrado, não faz diferença, vamos ter que

sec 2 ⁡ π 4 + k 2 π = 2

Passo 7

Assim, temos que

2 e π 4 + k 2 π = 1 → e π 4 + k 2 π = 2

Queremos os valores de k 2 , então vou aplicar l n dos dois lados, vem comigo

π 4 + k 2 π = ln ⁡ 2 → k 2 = 1 π ln ⁡ 2 - π 4

Portanto, nosso outro ponto de referência será

a = e π 4 + k 2 π ,                   k 2 = 1 π ln ⁡ 2 - π 4  

Resposta

a = 1

a = e π 4 + k 2 π ,                   k 2 = 1 π ln ⁡ 2 - π 4

Exercício Resolvido #5

Determine o valor de e 1 / 4 usando aproximação linear em uma função da sua escolha em torno do ponto a = 0 .

Com esse valor aproximado de e 1 / 4 determine o valor de e .

Passo 1

Bem, aqui ele quer que calcule aquele valor:

e 1 / 4

Mas ele não diz qual a função que vamos usar, só diz o ponto que temos que usar. Neste caso podemos usar qualquer função que acharmos melhor. Vamos sempre tentar olhar a mais fácil possível.

Repara que ele quer e elevado a algo, assim isso nos dá a dica de usarmos:

f x = e x

Até porque essa função no ponto de referência que ele deu é tranquila de calcular. Vamos ver se a derivada também é de boa:

f ' x = e x

Opa, também é tranquilo de calcular. Então vamos usar essa função mesmo.

Passo 2

Agora que escolhemos a função, agora vamos fazer a aproximação linear

f x ≅ f a + f ' a x - a

Trocando o valor de f , f ' e a vamos ter:

f x ≅ e 0 + e 0 x - 0

f x ≅ 1 + x

Passo 3

Agora que temos a nossa aproximação linear, vamos achar o valor que ele pediu. A primeira coisa é ver qual o valor de x , nesse caso x = 1 / 4 mesmo.

Nessas questões que nós vamos escolher a função, vamos tentar evitar coisas muito loucas e usar o mais simples para não se embolar depois.

Temos:

e 1 / 4 = f 1 4 ≅ 1 + 1 4

e 1 / 4 ≅ 5 4

e 1 / 4 ≅ 1,25

Passo 4

Agora que temos esse valor de e 1 / 4 , para acharmos e basta elevar esse número a 4 , então:

e ≅ 1,25 4

e ≅ 2,441406525

Resposta

e 1 / 4 ≅ 1,25

e ≅ 2,441406525

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