Aproximação Linear

Teoria Completa

Quando nós vimos retas tangentes, mostramos que elas são iguais à função no ponto de tangência. Para valores diferentes desse ponto a reta tangente pode se afastar bastante:

A função (em vermelho) é igual a tangente (azul) no ponto de tangência (verde) e se distância nos outros pontos.

Se nós quisermos aproximar a função f x = x em pontos perto de x = 4 , como fazemos?

A reta tangente é parecida com a função para valores próximos do ponto de tangência. Então que tal aproximar pela reta tangente? Acho uma boa!

A reta tangente tem a equação geral:

y - f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Precisamos determinar os valores de ( x 0 , f ( x 0 ) ) e f ( x 0 ) para determiná-la. Com estamos usando a reta tangente a f em x = 4 como referência, então ela passa por esse ponto, logo:

( x 0 , f ( x 0 ) )   ( 4 ,   f ( 4 ) ) ( 4,2 )

Para f ( x 0 ) , derivamos a função:

f ' x = x ' = 1 2 x f ' x o = f ' 4 = 1 2 4 = 1 4

Substituindo tudo, obtemos a reta tangente ao ponto x = 4 :

y - 2 = 1 4 ( x - 4 )

Mas para que serve essa aproximação? Eu posso achar valor de raízes perto de 4 com essa fórmula. Suponha que eu queira calcular 4,1 por exemplo.

Usando-a para aproximar o valor de x = 4.1 :

y - 2 = 1 4 4.1 - 4 y = 2.025 f 4.1 = 4.1

Se você usar sua calculadora malandra agora, você verá que 4.1 2.0248 que é muito parecido com o que a gente achou. Não chega a ser um sorvete, mas ainda é delicioso.

O que você acabou de fazer foi a aproximação linear de uma função, ou seja, toda vez que te perguntarem por aproximação linear, você já sabe que tem que aproximar algo usando reta tangente ;-).

Achando a função ou ponto...

Há vários exercícios envolvendo aproximação linear nos quais o autor omite alguma informação no enunciado para que você a deduza.

Imagine que, como no exemplo do tipo anterior, quiséssemos aproximar 4.1 .

Poderia não ser dito qual era o melhor ponto para aproximar usando a função f x = x .

Neste caso, precisaríamos identificar o ponto mais próximo ao de interesse no qual o valor de f ( x ) é conhecido, como o ponto x = 4 que ele tinha dado.

Poderia também não ser dito qual função você deveria usar para aproximar 4.1 , mas ainda sim pedir para aproximar tomando como referência x = 4 . Nesse caso, você precisa identificar qual a melhor função que, no ponto x = 4 , fica próxima de 4.1 . Você já tem spoiler dela: f x = x , pois:

f 4 = 4   q u e   e s t á   p r ó x i m o   a   4.1

Por último, poderia não ser dito nada além de:

Aproxime 4.1 por aproximação linear.

Quando isso acontece, pode ocorrer uma sensação estranha de que você voltou a ser criança e se perdeu da mãe no supermercado, mas não é bem assim. Você precisa determinar uma boa função e um bom ponto.

E como sei qual função e qual ponto são os bons? A boa função é aquela que você consegue avaliar no ponto que você escolher e, nesse ponto, tem valor próximo do valor pedido.

Nesse caso, poderíamos ter escolhido tanto f x = x e x = 4 , quanto g x = 2 x e x = 2 , pois:

g 2 = 2 2 = 4     q u e   e s t á   p r ó x i m o   a   4.1

Só não poderíamos substituir x = 4.1 na equação da reta tangente à g depois, pois:

g 4.1 = 2 4.1 = 8.2 4.1

O melhor seria x   =   2.05 , pois:

g 2.05 = 2 2.05 = 4.1

Apesar deste último caso parecer vago, ele dá também uma gama maior de possibilidade de escolha para funções e pontos de referência.

Vamos ver cada uma dessas situações agora, nos exercícios de fixação ;-)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume I, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, pg 230 exercício 4 a

Encontre a aproximação linear local da função f x = 1 x em a = 4 e use-a para aproximar 1 3,9 e 1 4,1 .

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Passo 1

Aqui ele quer a aproximação linear daquela função em torno daquele valor de a que ele deu.

Então a primeira parte, que é achar essa aproximação é bem de boa, lembra da fórmula da aproximação linear? Ela vai ser:

f x f a + f ' a x - a

A primeira coisa a fazer é achar a derivada de f :

f ' x = 1 x ' = x - 1 / 2 ' = - 1 2 x - 3 / 2

Passo 2

Agora que temos a derivada, vamos jogar na fórmula da nossa aproximação linear, lembrando que a = 4 , a nossa aproximação linear vai ficar:

f x f 4 + f ' 4 x - 4

f x 1 4 - 1 2 4 - 3 / 2 x - 4

f x 1 2 - 1 2 2 - 3 x - 4

f x 1 2 - 1 16 x - 4

f x 1 2 - x 16 + 4 16

f x 3 4 - x 16

E essa é nossa aproximação linear. =D

Passo 3

Vamos agora estimar os valores que ele quer usando essa aproximação linear.

Começando com 1 3,9 , a nossa função é 1 x , assim para esse valor que ele pediu vamos ter

1 3,9 = 1 x

x = 3,9

Então vamos ter:

1 3,9 = f 3,9 3 4 - 3,9 16

1 3,9 12 - 3,9 16

1 3,9 8,1 16

1 3,9 0,50625

Passo 4

Vamos agora para o outro valor que ele pediu, 1 4,1 , a nossa função é 1 x , assim para esse valor que ele pediu vamos ter

1 4,1 = 1 x

x = 4,1

Então vamos ter

1 4,1 = f 4,1 3 4 - 4,1 16

1 4,1 12 - 4,1 16

1 4,1 7,9 16

1 4,1 0,49375

Resposta

1 x = f x 3 4 - x 16

1 3,9 0,50625

1 4,1 0,49375

Exercício Resolvido #2

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2015 Noturno Sexta – 1

Considere a curva definida pela equação x 6 + y 6 + 8 x y + 6 = 0 . Calcule y ' e encontre a aproximação linear à curva no ponto 1 , - 1 .

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Passo 1

Temos ali uma função implícita. Para fazer a aproximação linear (que é a reta tangente à curva) no ponto 1 , - 1 precisamos do valor de y ' 1 , - 1 , para o qual precisamos da fórmula implícita de y ' . Para isso, vamos derivar implicitamente o termo pelas Regras do Produto e da Cadeia:

x 6 ' + y 6 ' + 8 x y ' + 6 ' = 0 '

6 x 5 + 6 y 5 y ' + 8 x ' y + 8 x y ' + 0 = 0

6 x 5 + 6 y 5 y ' + 8 y + 8 x y ' = 0

y ' 6 y 5 + 8 x = - 6 x 5 + 8 y

y ' = - 6 x 5 + 8 y 6 y 5 + 8 x

Eis o nosso y ' em função de x e de y .

Passo 2

A aproximação linear terá o formato:

y - y ( x 0 ) = y ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

O ponto x 0 , y ( x 0 ) é o valor fornecido na questão:

x 0 , y ( x 0 ) = ( 1 , - 1 )

E y ' ( x 0 ) será o valor da implícita nesse ponto:

y ' = - 6 1 5 + 8 - 1 6 - 1 5 + 8 1

= - 6 - 8 - 6 + 8 = - - 2 2

= 1

Agora é substituir os valores:

y - y x 0 = y ' x 0 x - x 0 y + 1 = 1 ( x - 1 )

y = x - 2

Que será nossa aproximação linear!

Resposta

y = x - 2

Exercício Resolvido #3

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume I, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005,Pg 230 exercício 28

A aproximação 1 + x k 1 + k x é frequentemente usada por engenheiros para cálculos rápidos.

Deduza esse resultado e use-o para fazer uma estimativa grosseira de 1,001 37

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Passo 1

Aqui ele quer que verifiquemos aquela aproximação que ele deu. Ele está aproximando a equação por uma reta, então isso é uma aproximação linear.

A grande questão aqui é qual a função que ele usou para aproximar e qual o ponto de referência.

A função é mais de boa de achar, isso porque ele aproxima 1 + x k , e essa vai ser nossa função:

f x = 1 + x k

Passo 2

Agora temos que achar o ponto de referência, para isso vamos fazer a aproximação linear para um ponto de referência qualquer a , primeiro precisamos da derivada de f x

f ' x = k 1 + x k - 1

A aproximação linear vai ser:

f x f a + f ' a x - a

Trocando os valores de f e f ' vamos ter:

f x 1 + a k + k 1 + a k - 1 x - a

Arrumando isso:

f x k 1 + a k - 1 x + 1 + a k - a k 1 + a k - 1

Vamos comparar isso com a equação que ele deu ali em cima:

k 1 + a k - 1 x + 1 + a k - a k 1 + a k - 1 = k x + 1

Isso nos diz que:

k 1 + a k - 1 = k

E:

1 + a k - a k 1 + a k - 1 = 1

Pela primeira equação vamos ter:

1 + a k - 1 = 1

Vamos substituir isso na segunda expressão:

1 + a k - 1 1 + a - a k 1 + a k - 1 = 1

1 + a - a k = 1

a - a k = 0

a = a k

Assim, como k pode ser qualquer valor:

a = 0

E temos o nosso ponto de referência, e a aproximação linear foi como ele queria.

Passo 3

Vamos agora fazer a aproximação do valor que ele pediu, 1,001 37 . Vamos ter, neste caso, k = 37 . Além disso devemos achar qual valor de x vamos usar na função, então vamos fazer

1,001 37 = 1 + x 37

Assim:

1 + x = 1,001

x = 0,001

A nossa aproximação linear vai ficar:

1,001 37 = f 0,001 1 + 37 0,001

1,001 37 1,037

Resposta

1,001 37 1,037

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

A aproximação linear da função f x = tan ln x , no ponto de referência a , é:

f x x - 1

Determine o ponto de referência.

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Passo 1

Opa, temos um exercício um pouco diferente aqui. Ele nos deu a aproximação linear e quer o ponto de referência. Vamos fazer a aproximação linear para um ponto qualquer a e vamos comparar com essa aproximação que ele deu.

Passo 2

Para fazermos a aproximação linear precisamos da função f x , da sua derivada f ' x e do ponto de referência a .

Primeiro vamos achar a derivada dessa parada

f ' x = sec 2 ln x 1 x = sec 2 ln x x

Assim nossa aproximação linear vai ser:

f x f a + f ' a x - a

Trocando os valores de f e f ' temos:

f x tan ln a + sec 2 ln a a x - a

Arrumando isso temos:

f x tan ln a + sec 2 ln a a x - sec 2 ln a

Passo 3

Vamos agora comparar isso que achamos com o que ele deu:

tan ln a + sec 2 ln a a x - sec 2 ln a = x - 1

Para isso ser sempre igual devemos ter:

tan ln a - sec 2 ln a = - 1

sec 2 ln a a = 1

A segunda equação é impossível de resolver na mão, então vamos nos preocupar em resolver a primeira, e depois só verificar com a segunda.

Temos:

tan ln a - sec 2 ln a = - 1

Lembra da relação entre secante e tangente?

tan 2 x + 1 = sec 2 x

Assim vamos ter, na nossa equação:

tan ln a - tan 2 ln a + 1 = - 1

tan ln a - tan 2 ln a - 1 = - 1

tan ln a - tan 2 ln a = 0

Colocando tan ln a em evidência, vamos ter:

tan ln a tan ln a - 1 = 0

Assim vamos ter duas equações:

tan ln a = 0   o u   tan ln a - 1 = 0

tan ln a = 0   o u   tan ln a = 1

E:

ln a = 0 + k 1 π   o u   ln a = π 4 + k 2 π

Onde k 1 e k 2 são inteiros.

Resolvendo essas equações logarítmicas:

a = e k 1 π   o u   a = e π 4 + k 2 π

Passo 4

Achamos os possíveis valores de a pela primeira equação, a parada agora é substituir esses valores na segunda equação e ver quais deles que servem para nós.

sec 2 ln a a = 1

Substituindo o primeiro valor de a , a = e k 1 π :

sec 2 ln e k 1 π e k 1 π = 1

sec 2 k 1 π e k 1 π = 1

Nessa situação a secante de algum múltiplo inteiro de π pode ser 1 ou - 1 , mas como a secante está ao quadrado:

1 e k 1 π = 1

e k 1 π = 1

k 1 π = 0

Assim temos:

k 1 = 0

E achamos um dos possíveis pontos de referência:

a = e 0 π = 1

Passo 5

Para outra solução de a , qual o valor de k 2 que serve nessa parada?

sec 2 ln a a = 1

Substituindo o segundo valor de a , a = e π 4 + k 2 π , vamos ter:

sec 2 ln e π 4 + k 2 π e π 4 + k 2 π = 1

sec 2 π 4 + k 2 π e π 4 + k 2 π = 1

Passo 6

Observa que

sec x = 1 cos x

Além disso,

cos π 4 + k 2 π 2 2 ,     s e   k 2   f o r   p a r     - 2 2 ,     s e   k 2   f o r   í m p a r

Portanto,

sec π 4 + k 2 π

Só pode assumir dois valores 2 / 2 ou - 2 / 2 . Como no nosso exercício ela está elevada ao quadrado, não faz diferença, vamos ter que

sec 2 π 4 + k 2 π = 2

Passo 7

Assim, temos que

2 e π 4 + k 2 π = 1 e π 4 + k 2 π = 2

Queremos os valores de k 2 , então vou aplicar l n dos dois lados, vem comigo

π 4 + k 2 π = ln 2 k 2 = 1 π ln 2 - π 4

Portanto, nosso outro ponto de referência será

a = e π 4 + k 2 π ,                   k 2 = 1 π ln 2 - π 4  

Resposta

a = 1

a = e π 4 + k 2 π ,                   k 2 = 1 π ln 2 - π 4

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Determine o valor de e 1 / 4 usando aproximação linear em uma função da sua escolha em torno do ponto a = 0 .

Com esse valor aproximado de e 1 / 4 determine o valor de e .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, aqui ele quer que calcule aquele valor:

e 1 / 4

Mas ele não diz qual a função que vamos usar, só diz o ponto que temos que usar. Neste caso podemos usar qualquer função que acharmos melhor. Vamos sempre tentar olhar a mais fácil possível.

Repara que ele quer e elevado a algo, assim isso nos dá a dica de usarmos:

f x = e x

Até porque essa função no ponto de referência que ele deu é tranquila de calcular. Vamos ver se a derivada também é de boa:

f ' x = e x

Opa, também é tranquilo de calcular. Então vamos usar essa função mesmo.

Passo 2

Agora que escolhemos a função, agora vamos fazer a aproximação linear

f x f a + f ' a x - a

Trocando o valor de f , f ' e a vamos ter:

f x e 0 + e 0 x - 0

f x 1 + x

Passo 3

Agora que temos a nossa aproximação linear, vamos achar o valor que ele pediu. A primeira coisa é ver qual o valor de x , nesse caso x = 1 / 4 mesmo.

Nessas questões que nós vamos escolher a função, vamos tentar evitar coisas muito loucas e usar o mais simples para não se embolar depois.

Temos:

e 1 / 4 = f 1 4 1 + 1 4

e 1 / 4 5 4

e 1 / 4 1,25

Passo 4

Agora que temos esse valor de e 1 / 4 , para acharmos e basta elevar esse número a 4 , então:

e 1,25 4

e 2,441406525

Resposta

e 1 / 4 1,25

e 2,441406525

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