Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Teoria Completa

Indeterminação 0 . ∞ e ∞ - ∞

Pois bem, agora que já vimos o que é L’Hôpital e como usá-lo, vamos ver como resolvê-lo para outras indeterminações.

Vamos dar uma olhada nesse limite aí embaixo:

lim x → ∞ ⁡ x e - x

Que, se você não mexer fica:

lim x → ∞ ⁡ x e - x ⟹ 0 ⋅ ∞

Para aplicarmos L’Hôpital, devemos chegar às indeterminações padrões, para isso, basta manipular um pouco as coisas (MUAHAHA). É verdade que:

e - x = 1 e x

Certo, mas...

Bem, se a gente substitui isso no limite:

lim x → ∞ ⁡ x e - x =   lim x → ∞ ⁡ x e x   ⟹ ∞ ∞

 lim  x → ∞ ⁡ x e x → L ' H   lim x → ∞ ⁡ x ' ( e x ) ' =   lim x → ∞ ⁡ 1 e x = " 1 e ∞ " = 0

Pronto! Então se aparecer uma indeterminação 0 ⋅ ∞ , é só pegar a função que você achar melhor, inverter e dividir a função que sobrou no limite por ela.

Indeterminação na subtração

Veja esse limite malandro aí embaixo:

lim t → 0 ⁡ 1 sen ⁡ t - 1   t

Quando t →   0 :

lim t → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ t - 1 t = 1 0 + - 1 0 + ⟹ ∞ - ∞

Para escapar dessa ilesos, temos que fazer a mesma coisa que fizemos para a indeterminação 0 ⋅ ∞ : tentar transformar isso num quociente só:

lim t → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ t - 1 t =   lim t → 0 + ⁡ t - sen ⁡ ( t ) t sen ⁡ t ⟹ 0 0  

Viu?! Temos a indeterminação de L’Hôpital aí duas vezes e matamos a questão:

= lim t → 0 + ⁡ t -   sen ⁡ ( t ) tsen ⁡ t → L ' H   lim t → 0 + ⁡ t -   sen ⁡ ( t ) ' tsen ⁡ t ' = lim t → 0 + ⁡ 1 -   cos ⁡ t sen ⁡ t + t cos ⁡ t ⟹ 0 0

  lim t → 0 + ⁡ [ 1 -   cos ⁡ t ] ' [ sen ⁡ t + t cos ⁡ t ] ' → L ' H   lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t cos ⁡ t + cos ⁡ t - t sen ⁡ ( t ) = 0 2 = 0

É só isso, quando você se deparar com uma indeterminação dessa, só colocar tudo no mesmo coeficiente e ser feliz!

Indeterminação 1 ∞ e 0 0

Dê uma olhada nos limites abaixo:

  lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x ⟹ 1 ∞     e     lim x → ∞ ⁡ 1 + x 1 x ⟹ ∞ 0     e   lim x → 0 ⁡ x x ⟹ 0 0

Precisamos tentar transformar isso tudo nas indeterminações 0 / 0 , ∞ / ∞ ou 0 ⋅ ∞ . Para isso, pegamos o primeiro limite e usamos uma propriedade das funções inversas aplicadas às funções exponencial e logarítmica:

a = e ln ⁡ a

Portanto,

lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x =   lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 1 + x 1 x  

Algebricamente, nada muda. Agora, como a exponencial é contínua, pela propriedade do limite e continuidade, podemos jogar o limite para o expoente:

=   lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 1 + x 1 x   =   e l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x 1 x  

Sabendo que:

log ⁡ a b = b ⋅ l o g ( a )

Temos então que:

  e l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x 1 x   = e l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 + x   e l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x x

Onde...

l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x x ⟹ 0 0

Olhe a indeterminação que a gente quer de novo aí!

Pronto, agora só aplicar L’Hôspital como antes!

l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x x =   l i m x → 0 [ ln ⁡ 1 + x ] ' [ x ] ' =   l i m x → 0 1 / ( x + 1 ) 1 = 1

Logo:

lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = e l i m x → 0 ln ⁡ 1 + x x = e 1 = e

Os outros dois limites são resolvidos da mesma maneira! :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo 1 - P2 Roberto Sá 2013.1 – 1

Calcule o seguinte limite usando L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ x 3 - 3 x 2 + x - 11 e - 3 x

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Passo 1

Primeiramente, temos que mostrar que esse limite leva a uma indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ x 3 - 3 x 2 + x - 11 e - 3 x ⟹ l i m x → ∞ x 3 - 3 x 2 + x - 11 ⋅ l i m x → ∞ e - 3 x ⟹ ∞ ⋅ 0

Uhul indeterminação!

Passo 2

Para transformar essa indeterminação em uma das indeterminações de L’Hôpital, precisamos jogar algum fator para baixo. O fator mais simples é a exponencial. Basta lembrar que

e - 3 x = 1 e 3 x

lim x → ∞ ⁡ x 3 - 3 x 2 + x - 11 e - 3 x = lim x → ∞ ⁡ x 3 - 3 x 2 + x - 11 e 3 x ⟹ ∞ ∞

Repare que não mudamos nada, houve somente algebrismo.

Agora que já temos uma indeterminação de L’Hôpital ( ∞ / ∞ ), podemos aplicá-lo sem medo.

Passo 3

Aplicando a regra:

… = lim x → ∞ ⁡ x 3 - 3 x 2 + x - 11 e 3 x = lim x → ∞ ⁡ ( x 3 - 3 x 2 + x - 11 ) ' ( e 3 x ) ' = lim x → ∞ ⁡ 3 x ² - 6 x + 1 3 e 3 x ⟹ ∞ ∞

Indeterminação de novo? L’Hôpital novamente!

lim x → ∞ ⁡ 3 x ² - 6 x + 1 3 e 3 x = lim x → ∞ ⁡ ( 3 x ² - 6 x + 1 ) ' ( 3 e 3 x ) ' = lim x → ∞ ⁡ 6 x - 6 9 e 3 x ⟹ ∞ ∞

De novo?! Vamos lá, mais uma vez:

lim x → ∞ ⁡ 6 x - 6 9 e 3 x = lim x → ∞ ⁡ 6 x - 6 ' 9 e 3 x ' = lim x → ∞ ⁡ 6 27 e 3 x = " 6 ∞ " = 0

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 3 - 3 x 2 + x - 11 e - 3 x = 0

Exercício Resolvido #2

UFRJ - Cálculo 1 - P1 2009.2 - 1a.i

Calcule:

lim x → ∞ ⁡ e x - x 2

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Passo 1

Como sempre, mostramos a indeterminação. Indo pela regra da soma/subtração de limites, chegamos na seguinte indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ e x - x 2 ⟹ lim x → ∞ ⁡ e x - lim x → ∞ ⁡ x 2 ⟹ ∞ - ∞

Temos que contornar isso e chegar a uma indeterminação de L’Hôpital.

As nossas armas sempre envolvem produtos ou quocientes, portanto temos que forçar essa situação. Qual o jeito de fazer isso? Só tem dois, ou multiplicando por algo em cima e em baixo (denominador/divisor) ou pondo algo em evidência.

Por o x 2 em evidência parece ser interessante e prático:

lim x → ∞ ⁡ [ e x - x 2 ] = lim x → ∞ ⁡ x 2 e x x 2 - 1

Passo 2

Para tal, deixamos um termo em evidência:

lim x → ∞ ⁡ [ e x - x 2 ] = lim x → ∞ ⁡ x 2 e x x 2 - 1 ⟹ lim x → ∞ ⁡ x 2 ⋅ l i m x → ∞ e x x 2 - 1

Avaliando o limite da direita: lim x → ∞ ⁡ e x x 2 - 1 = l i m x → ∞ e x x 2 - 1 ; l i m x → ∞ e x x 2 ⟹ ∞ ∞

Por L’Hôpital:

l i m x → ∞ e x x 2 = l i m x → ∞ e x ' x 2 ' = lim x → ∞ ⁡ e x 2 x ⟹ ∞ ∞

Novamente:

… = lim x → ∞ ⁡ e x 2 x = lim x → ∞ ⁡ e x ' 2 x ' = lim x → ∞ ⁡ e x 2 = ∞

Portanto...

l i m x → ∞ x 2 e x x 2 - 1 = ∞

E:

lim x → ∞ ⁡ [ e x - x 2 ] = l i m x → ∞ x 2 e x x 2 - 1 ⟹ ∞ ⋅ ∞ = ∞

Isso também acontece porque a função e x cresce muito mais rapidamente que qualquer polinômio quando x → ∞ . Então e x   menos qualquer polinômio vai para infinito quando x tende a infinito.

Resposta

lim x → ∞ ⁡ [ e x - x 2 ] = ∞

Exercício Resolvido #3

UFRJ - Cálculo 1 - PF 2015.1 - 1 a

Calcule

lim t → 0 ± ⁡ 1 t 1 + ln 2 ⁡ t

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Passo 1

Antes de qualquer coisa, o que é esse ( ± ) em t → 0 ± ? Isso significa que a questão quer o limite lateral pela direita e pela esquerda. Antes de calcularmos, devemos simplificar ao máximo o limite que está aí.

Testando a indeterminação, vemos que há uma indeterminação produto no denominador:

lim t → 0 ± ⁡ 1 t 1 + ln 2 ⁡ t ⟹ 1 0 ⋅ ∞

Pode isso, Arnaldo? Pode não tem problema nenhum (Arnaldo que me disse).

Passo 2

Vamos arranjar tudo para ficar com uma indeterminação de L’Hôpital, para isso jogamos um fator para cima:

lim t → 0 ± ⁡ 1 t 1 + ln 2 ⁡ t = lim t → 0 ± ⁡ 1 / t 1 + ln 2 ⁡ t ⟹ ∞ ∞

Agora, podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra:

lim t → 0 ± ⁡ 1 / t 1 + ln 2 ⁡ t = lim t → 0 ± ⁡ 1 / t ' 1 + ln 2 ⁡ t '

Derivando o numerador:

1 t ' = - 1 t 2