Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê.

l i m x → 0 x x - 1 ln ⁡ x + x - 1

Passo 1

Olá, meu nobre. Yuri aqui e irei te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui precisamos analisar a forma como resolver esse limite, utilizar L’Hôspital se necessário e se aplicável.

Vamos lá!

Passo 2

Tentando resolver

lim x → 0 ⁡ x x - 1 ln ⁡ x + x - 1 = 0 0 - 1 ln ⁡ 0 + 0 - 1  

Não podemos aplicar l’Hôspital, pois ele só é usado em indeterminações da forma 0 0 ou ∞ ∞ . E o que temos ali são outros tipos de indeterminações.

Passo 3

Veja que o denominador se aproxima de - ∞ , já que:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Para avaliar:

lim x → 0 + ⁡ x x

Vamos igualá-la a uma variavel:

lim x → 0 + ⁡ x x = y

Então, colocando o logaritmo natural em ambos os lados:

ln ⁡ y = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x

Reescrevendo:

ln ⁡ y = lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

ln ⁡ y = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x

Agora aplicando l’hospital:

ln ⁡ y = lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2

ln ⁡ y = lim x → 0 + ⁡ - x

ln ⁡ y = 0

e ln ⁡ y = e 0 = 1

Então

lim x → 0 + ⁡ x x = 1

Passo 4

Voltando agora ao limite original:

l i m x → 0 + x x - 1 ln ⁡ x + x - 1 = 1 - 1 - ∞ = 0

Uma forma de vermos isso é através do gráfico:

Veja que a medida que nos aproximamos de x = 0 pelo lado positivo, nossa função se aproxima de 0

Resposta

l i m x → 0 + x x - 1 ln ⁡ x + x - 1 = 0

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(b)Mostre que l i m x → π 2 1 π 2 - x - tg ⁡ x = 0
Encontre todos os valores de k e l tais que: l i m x → 0 k + cos ⁡ l x x 2 = - 4
Faça uma conjectura sobre o limite traçando o gráfico da função envolvida com um recurso computacional; verifique sua conjuctura usando a regra de L’Hôpital. lim x → 0 + ⁡ x x
Faça uma conjectura sobre o limite traçando o gráfico da função envolvida com um recurso computacional; verifique sua conjuctura usando a regra de L’Hôpital. lim x → 0 + ⁡ s e nx 3 ln ⁡ x
Se não utilizássemos a Regra de L’Hôpital para calcular lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ou lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x x poderíamos ser acusados de raciocínio circular. Explique por quê.