Equação da Reta Tangente

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Teoria

Fala aí! Bem vindo ao Responde Aí! Nessa página vamos entender a equação da reta tangente

Reta Tangente

Imagine que você tem uma curva de qualquer formato, uma reta tangente é uma reta que toca em apenas um ponto dessa curva:

Reta verde tangente à curva vermelha
Reta verde tangente à curva vermelha

Toda função tem uma infinidade de retas tangentes, cada ponto do domínio tem sua própria reta tangente associado a ele.

Utilizando derivadas podemos calcular a inclinação de uma reta tangente!

Usamos isso para fazer estudos sobre pontos máximos e mínimos de uma função, que são aqueles pontos em que a derivada vale e a reta tangente tem zero de inclinação.

A equação da reta tangente

A derivada de uma função também pode ser útil para escrever a equação da reta tangente a função naquele ponto.

Por exemplo, vamos pensar na função no ponto :

Então, a derivada dessa função é:

Logo no ponto temos uma reta tangente que possui inclinação . Mas que reta é essa? Podemos usar a equação da reta para descobri-la:

Sendo , , e , temos que a equação da reta tangente é:

Que organizando para escrevermos da maneira que estamos mais acostumados fica:

Representando essas funções juntas em um gráfico, podemos desenhar:

Função f(x) em azul e uma reta tangente em vermelho
Função f(x) em azul e uma reta tangente em vermelho

Sendo:

  • A função verde:
  • A função vermelha:

Legal né? Espero que você tenha entendido o que é a reta tangente e como podemos fazer para calculá-la! Acompanha aqui em baixo um vídeo preparados pelos nossos experts especialmente para vocês.

Videoaula

Pra entender melhor, vamos ver uma videoaula sobre Equação da Reta Tangente

Exercício

Vamos ver um exercício resolvido Passo a Passo do nosso tópico de Retas Tangentes, do assunto de Aplicação de Derivadas, para entender mais um pouco da matéria de cálculo!

Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto de abcissa .

Agora continua aqui em baixo 👇 pra aprender ainda mais!

Videoaula

Exercício

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Escreva a equação da reta tangente à curva y = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4 no ponto de abcissa x = 3 .

Passo 1

A equação de uma reta é:

y - y 0 = m x - x 0

Aonde esse m   é o nosso coeficiente angular da reta e ele será justamente a derivada da curva naquele ponto, ou seja:

f ' ( x 0 )

Além disso, sabemos que y é uma função de x , y = f ( x ) . Sendo assim y 0 = f ( x 0 ) . Então a equação geral da reta tangente é:

y - f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) x - x 0

Só que queremos determinar a reta tangente no ponto x = 3 , então:

x 0 = 3

Queremos então:

y - f ( 3 ) = f ' ( 3 ) x - 3

Passo 2

Vamos descobrir f 3 ,   para isso basta substituir x = 3 na equação f ( x ) = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4

f 3 = 3 3 - 5 3 2 - 2 ⋅ 3 + 4 ⟹

f 3 = - 20

Certo, já dá para substituir alguma coisa:

y - f 3 = f ' 3 x - 3 ⟹

y + 20 = f ' 3 x - 3

Passo 3

Falta agora determinar f ' x 0 . Para tal, derivamos nossa função f ( x ) = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4 :

f ' x = (   x 3   ) ' - (   5 x 2   ) ' - (   2 x   ) ' + ( 4 ) '

f ' x = 3 x 2 - 10 x - 2

Assim no ponto x = x 0 = 3 :

f ' 3 = 3 ( 3 ) 2 - 10 ( 3 ) - 2 = - 5

f ' 3 = - 5

Pronto! Já temos nossa reta:

y + 20 = f ' 3 x - 3 ⟹

y + 20 = - 5 x - 3 ⟹

y + 20 = - 5 x + 15 ⟹

y = - 5 x - 5

Entao:

y = - 5 x + 1

Olhe só que coisa linda:

Resposta

y = - 5 x + 1

Exercício Resolvido #2

Sendo:

f x = 4 + cot ⁡ ( x ) - 2 csc ⁡ ( x )

Encontre as equações para:

  1. A tangente à curva em P .
  2. A tangente horizontal à curva em Q .

Passo 1

Primeiro temos que lembrar que equação geral da reta tangente é:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

x 0 é um ponto em x na curva. Então, agora o que temos que saber para achar a reta tangente é a nossa derivada f ' x   para depois substituir o nosso x 0 na equação.

Vamos lá!

Passo 2

Então vamos derivar nossa função:

f x = 4 + cot ⁡ ( x ) - 2 csc ⁡ ( x )

Como

( cot ⁡ x ) ' = - csc 2 ⁡ ( x )

E

csc ⁡ x ' = - csc ⁡ ( x ) cot ⁡ ( x )

A nossa derivada fica assim:

f ' x = - csc 2 ⁡ ( x ) + 2 csc ⁡ ( x ) cot ⁡ ( x )

Passo 3

Pronto! Achamos a derivada, então vamos resolver a letra a

a)

Repara que o enunciado forneceu qual x 0 que ele quer! No ponto P = x 0 = π / 2 . Então vamos substituir na fórmula

y - f π 2 = f ' π 2 x - π 2

Então, galerinha, antes de começar a calcular só relembrando: csc π 2 = 1 e c o t π 2 = 0 .

Agora vamos lá! Calculando f π 2 ,   temos

f π 2 = 4 + cot ⁡ ( π 2 ) - 2 csc ⁡ ( π 2 )

f π 2 = 2

Agora vamos para derivada f ' π 2 ,

f ' π 2 = - ⁡ c s c 2 ( π 2 ) + 2 csc ⁡ ( π 2 ) cot ⁡ ( π 2 )

f ' π 2 = - 1

Pronto! Já podemos substituir esses valores na fórmula. A nossa reta fica assim:

y - 2 = - 1 x - π 2

Então a equação da reta tangente à curva em P   é:

y = 2 - x - π 2

Olhe como fica:

Passo 4

Agora a letra b . Pode parecer complicado aqui o fato de você não sabe as coordenadas do ponto Q. Para não confundir, vamos chamar aqui no x 0 de x Q , pois queremos a tangente neste ponto Q , ok?

Mas neste caso, o pulo do gato está no enunciado ter dito que a tangente nesse ponto é horizontal. Se a tangente é horizontal, o coeficiente dela é zero! Em outras palavras,

f ' x Q = 0

Então para achar quem é meu x Q , eu preciso saber qual ponto minha derivada é zero,

f ' x Q = - ⁡ c s c 2 ( x Q ) + 2 csc ⁡ ( x Q ) cot ⁡ x Q = 0

- ⁡ c s c 2 x Q = 2 csc ⁡ x Q cot ⁡ x Q

2 cot ⁡ x Q = csc ⁡ x Q

2 cos ⁡ x Q sen ⁡ x Q = 1 sen ⁡ x Q

cos ⁡ ( x Q ) = 1 2

O cosseno é igual 1 2 em:

x Q = π 3

Existem muitos outros pontos onde o cosseno é igual a ½, mas este é o ponto que queremos, pois, olhando no gráfico do enunciado:

Vemos que a coordena x de Q está entre 1 e π / 2 . O único ponto onde o cosseno é ½ entre esses valores é x = x Q = π / 3 .

Passo 5

Pronto! Já temos o ponto x Q = π 3 . Agora é substituir na fórmula:

y - f π 3 = f ' π 3 x - π 3

Vamos voltar a nossa equação original e descobrir f ( π 3 ) :

f ( π 3 ) = 4 + cot ⁡ ( π 3 ) - 2 csc ⁡ ( π 3 ) = 4 + 3 3 - 4 3 3

Então:

f π 3 = 4 - 3

Lembra que a nossa derivada no ponto x Q é igual a zero?

f ' π 3 = 0

substituir esses valores na fórmula. A nossa reta fica assim:

y - 4 - 3 = 0 x - π 3

Então a equação da reta tangente à curva em Q   é:

y = 4 - 3

Resposta

  1. y = 2 - x - π 2
  2. y = 4 - 3

Exercício Resolvido #3

Considere f a função definida pelo gráfico abaixo,

Sabendo que a reta r é tangente ao gráfico da f em x = - 2 e s a reta tangente ao gráfico da f em x = 1

  1. Determine a equação da reta r
  2. Determine f - 2 e f ' - 2
  3. Determine a equação da reta s
  4. Determine f 1 e f ' 1

Passo 1

Vamos começar pela letra a .

Olhando para a equação da reta tangente:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Temos que   ( x 0 , f x 0 ) é o ponto de tangência. Mas se olharmos pro enunciado vamos ver que a reta   r é tangente em x = - 2 , então:

x 0 = - 2

Substituindo:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 ⟹

y - f - 2 = f ' - 2 x + 2

Olhando o gráfico, é perceptível que a reta que queremos calcular toca o eixo x ( y = 0 ) no ponto x = - 3 .

Então ( - 3,0 ) é um ponto dessa reta. Assim:

y - f - 2 = f ' - 2 x + 2 ⟹

0 - f - 2 = f ' - 2 - 3 + 2

Portanto:

f - 2 = f ' ( - 2 )

Passo 2

Tá, mas qual o valor de f - 2 ? Aí vem a outra sacada. No gráfico também está o ângulo de inclinação da reta. A tangente desse ângulo é seu coeficiente angular que também será a derivada da curva naquele ponto:

f ' - 2 = tan ⁡ 30 ° = 3 3

Já temos todos os valores agora:

y - f - 2 = f ' - 2 x + 2

⟹ y - 3 3 = 3 3 ( x + 2 )

Se a gente ajeitar melhor, vamos chegar que equação da reta r é: y = 3 3 x + 3

Passo 3

Vamos para a letra b agora.

Já na letra a vimos que:

f - 2 = f ' - 2 = 3 3

Opa! Já matamos😊

Passo 4

Letra c (tá acabando)!

Considerando a equação geral da reta tangente de novo, mas agora para s :

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Pelo gráfico do enunciado o ponto de tangencia da reta s é em x = 1 :

x 0 = 1

Assim, a equação ficará: y - f 1 = f ' 1 x - 1 ⟹

y - f ( 1 ) = f ' 1 x - 1

Ainda temos mais algumas coisas aí. Assim, como aconteceu com r , a reta s também cruza o eixo x , mas quando x = 2 . Logo passa pelo ponto 2,0 , usando isso temos:

0 - f 1 = f ' 1 2 - 1 ⟹

f ' 1 = - f ( 1 )

Show! Mais uma relação maneira, então dá para escrever:

y = f ' 1 x - 1 - f ' 1 ⟹

y = f ' 1 x - 2 f ' 1 ⟹

y = f ' ( 1 ) ( x - 2 )

Passo 5

Como achar f ' 1 ? Olhando para o gráfico (sempre ele), vemos que as retas r e s se encontram quando x = 0 . Assim, nesse ponto temos que:

y r = y s

Mas encontramos y r = 3 3 x + 3

E

y s = f ' ( 1 ) ( x - 2 )

Substituindo x = 0 e igualando y r = y s :

3 3 0 + 3 = f ' 1 0 - 2 ⟹ 3 3 3 = f ' ( 1 ) ( - 2 )

- 2 f ' 1 = 3

f ' 1 = - 3 2

Finalmente, substituindo esse valor em y s = f ' 1 x - 2 ,   e aí temos que a equação da reta s é:

y = - 3 2 ( x - 2 )

Passo 6

Acabou? Quase, porque a letra d a gente tira fácil desta relação que encontramos na c :

f ' 1 = - f ( 1 )

Sendo:

f ' 1 = - 3 2

Que também foi calculado anteriormente, então:

f 1 = 3 2

Resposta

  1. y r = 3 3 x + 3
  2. f ' - 2 = 3 3           e           f - 2 = 3 3
  3. y s = - 3 2 x + 3
  4. f ' 1 = - 3 2           e           f 1 = 3 2

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