Reta tangente

Resumo Completo

Em uma circunferência, a reta tangente é aquela que se aproxima do círculo, encosta nele em apenas um ponto, e passa a se afastar dele.

Agora, como a gente faz pra descobrir quem é essa reta? Alguma ideia de como achamos a equação dela?

Bom, vamos pensar diferente e imaginar a reta tangente a uma função em um ponto, como a reta tangente à função y = x ³ + 1 no ponto x = 1 , por exemplo. Como sabemos que a reta tangente toca a função, então ela tem o mesmo valor da função no ponto x = 1 :

f ( x ) = x ³ + 1   f 1 = 1 3 + 1 = 2   ( 1,2 )

Agora como era a equação da reta mesmo? Existem duas possibilidades:

y - y 0 = m x - x 0       ;       y = a x + b

Portanto aqui no nosso caso, teremos:

y - 2 = m x - 1

Bem, agora falta determinar o valor de m , que é o coeficiente angular, ou a inclinação da reta:

O coeficiente angular da reta tangente ( m ou a ) é igual a derivada da função no ponto.

f ' x = 3 x 2 f ' 1 = 3 1 2 = 3 ,     l o g o   m = 3

Assim, tudo ficará:

y - 2 = m x - 1 y - 2 = 3 x - 1 y = 3 x - 1

UHUL!

Podemos fazer o mesmo para o caso do y = a x + b . Teríamos a = 3 , coeficiente angular, e descobriríamos b aplicando o ponto de tangência, 1,2 :

y = a x + b 2 = 3 1 + b

b = - 1         y = 3 x - 1

OBS: Quando ele falar de abscissa e ordenada, ele está falando de x e y . x é a abscissa enquanto y é a ordenada.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração Própria

Escreva a equação da reta tangente à curva y = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4 no ponto de abcissa x = 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A equação geral da reta tangente é:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Queremos determinar a reta tangente no ponto x = 3 , então:

x 0 = 3

Passo 2

Da mesma forma:

f x 0 = f 3 = 3 3 - 5 3 2 - 2 3 + 4 f x 0 = - 20

Certo, já dá para substituir alguma coisa:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 y + 20 = f ' x 0 x - 3

Passo 3

Falta agora determinar f ' x 0 . Para tal, derivamos a função:

f ' x = y ' = 3 x 2 - 10 x - 2

Assim no ponto x = x 0 = 3 :

f ' 3 = 3 3 2 - 10 3 - 2 = - 5

Pronto! Já temos nossa reta:

y + 20 = f ' x 0 x - 3 y = - 5 x - 3 - 20

y = - 5 x + 1

Olhe só que coisa linda:

Resposta

y = - 5 x + 1

Exercício Resolvido #2

Enunciado

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 186-37. MODIFICADO

Sendo:

f x = 4 + cot ( x ) - 2 csc ( x )

Encontre as equações para:

  1. A tangente à curva em P .
  2. A tangente horizontal à curva em Q .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Começando pela letra a . A equação geral da reta tangente é:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

A reta tangencia a função no ponto P , então já temos dois valores:

P = π 2 , 2 = x 0 , f x 0

x 0 = π 2

f x 0 = 2

Assim, já podemos substituir na equação da reta:

y - 2 = f ' ( x 0 ) x - π 2

Passo 2

Falta agora determinar f ' x 0 . Para tal, derivamos a função:

f ' ( x ) = - c os s e c 2 x + 2 c os s e c ( x ) cot g ( x )

No ponto P = x = π / 2 :

f ' π / 2 = - c os s e c 2 π / 2 + 2 c os s e c ( π / 2 ) cot g ( π / 2 ) = - 1

Pronto! Já temos nossa reta:

y - 2 = f ' x 0 x - π 2 y - 2 = - 1 x - π 2

y = 2 - x - π 2

Olhe como fica:

Passo 3

Agora a letra b . Pode parecer complicado aqui o fato de você não sabre as coordenadas do ponto Q.

Mas o pulo do gato está no enunciado ter dito que a tangente nesse ponto é horizontal. Se a tangente é horizontal. O coeficiente dela é zero!

Então, da equação geral da reta tangente, temos de cara que:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 y - f x 0 = 0 x - x 0 y - f x 0 = 0

Logo:

y = f ( x 0 )

Só precisamos achar f ( x 0 ) .

Passo 4

Mas como achar x 0 para calcular   f ( x 0 ) ? Achamos pelo fato de que f ' x 0 = 0 .

Lá na da letra a temos que:

f ' ( x ) = - c os s e c 2 x + 2 c os s e c ( x ) cot g ( x )

Igualando à zero:

- c os s e c 2 x + 2 c os s e c x cot g x = 0

2 cot g x = c os s e c x

2 cos x sen x = 1 sen x

cos ( x ) = 1 2

O cosseno é igual ½ em:

x = π 3

Existem muitos outros pontos onde o cosseno é igual a ½, mas este é o ponto que queremos, pois, olhando no gráfico do enunciado:

Vemos que a coordena x de Q está entre 1 e π / 2 . O único ponto onde o cosseno é ½ entre esses valores é x = x 0 = π / 3 .

Passo 5

Com   x 0 = π / 3 :

f π / 3 = 4 + cot g π / 3 - 2 c os s e c π / 3 = 4 + 3 3 - 4 3 3

f π / 3 = 4 - 3

Que será nossa amiga tangente como mostramos no passo 3 :

y = 4 - 3

Resposta

  1. y = 2 - x - π 2
  2. y = 4 - 3

Exercício Resolvido #3

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2010.2 – 5

Considere f a função definida pelo gráfico abaixo,

Sabendo que a reta r é tangente ao gráfico da f em x = - 2 e s a reta tangente ao gráfico da f em x = 1

  1. Determine a equação da reta r
  2. Determine f - 2 e f ' - 2
  3. Determine a equação da reta s
  4. Determine f 1 e f ' 1
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Começando pela letra a .

Olhando para a equação da reta tangente:

y s - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Temos que   ( x 0 , f x 0 ) é o ponto de tangência. Conhecemos x 0 que, pelo enunciado, é:

x 0 = - 2

Substituindo:

y s - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 y s - f - 2 = f ' - 2 x + 2

Olhando o gráfico, é perceptível que a reta que queremos calcular toca o eixo x ( y = 0 ) no ponto x = - 3 .

Então ( - 3,0 ) é um ponto dessa reta. Assim:

y s - f - 2 = f ' - 2 x + 2 0 - f - 2 = f ' - 2 - 3 + 2

Portanto:

f - 2 = f ' ( - 2 )

Passo 2

Tá, mas qual o valor de f - 2 ? Aí vem a outra sacada. No gráfico também está o ângulo de inclinação da reta. A tangente desse ângulo é seu coeficiente angular que também será f ' ( - 2 ) :

f ' - 2 = tan 30 ° = 3 3

Já temos todos os valores agora:

y s - f - 2 = f ' - 2 x + 2 y s - 3 3 = 3 3 ( x + 2 )

y s = 3 3 x + 3

Passo 3

Vamos para a letra b agora.

Já na letra a vimos que:

f - 2 = f ' - 2 = 3 3

Já matamos.

Passo 4

Letra c (tá acabando)!

Considerando a equação geral da reta tangente de novo, mas agora para s :

y s - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

O ponto de tangencia dado no enunciado é:

x 0 = 1

Assim, a equação ficará: y s - f 1 = f ' 1 x - 1 y s = f ' 1 x - 1 + f ( 1 )

Ainda temos mais algumas coisas aí. Assim, como aconteceu com r , a reta s também cruza o eixo x , mas quando x = 2 . Logo:

0 = f ' 1 2 - 1 + f 1 f ' 1 = - f ( 1 )

Show! Então dá para escrever:

y s = f ' 1 x - 1 - f ' 1 y s = f ' 1 x - 2 f ' 1 y s = f ' ( 1 ) ( x - 2 )

Passo 5

Como achar f ' 1 ? Olhando para o gráfico (sempre ele), vemos que as retas r e s se encontram quando x = 0 . Assim:

y r = y s

Substituindo valores e considerando o ponto:

f ' ( 1 ) ( 0 - 2 ) = 3 3 0 + 3 - 2 f ' 1 = 3

f ' 1 = - 3 2

Finalmente:

y r = f ' ( 1 ) ( x - 2 ) y r = - 3 2 ( x - 2 )

Passo 6

Acabou? Quase, porque a letra d a gente tira fácil desta relação que encontramos na c :

f ' 1 = - f ( 1 )

Sendo:

f ' 1 = - 3 2

Que também foi calculado anteriormente, então:

f 1 = 3 2

Resposta

  1. y = 3 3 x + 3
  2. f ' - 2 = 3 3           e           f - 2 = 3 3
  3. y = - 3 2 x + 3
  4. f ' 1 = - 3 2           e           f 1 = 3 2

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