Reta tangente

Teoria Completa

Em uma circunferência, a reta tangente é aquela que se aproxima do círculo, encosta nele em apenas um ponto, e passa a se afastar dele.

Agora, como a gente faz pra descobrir quem é essa reta? Alguma ideia de como achamos a equação dela?

Bom, vamos pensar diferente e imaginar a reta tangente a uma função em um ponto, como a reta tangente à função y = x ³ + 1 no ponto x = 1 , por exemplo. Como sabemos que a reta tangente toca a função, então ela tem o mesmo valor da função no ponto x = 1 :

f ( x ) = x ³ + 1   ⟹ f 1 = 1 3 + 1 = 2   ⟹ ( 1,2 )

Agora como era a equação da reta mesmo? Existem duas possibilidades:

y - y 0 = m x - x 0       ;       y = a x + b

Portanto aqui no nosso caso, teremos:

y - 2 = m x - 1

Bem, agora falta determinar o valor de m , que é o coeficiente angular, ou a inclinação da reta:

O coeficiente angular da reta tangente ( m ou a ) é igual a derivada da função no ponto.

f ' x = 3 x 2 ⟹ f ' 1 = 3 1 2 = 3 ,     l o g o   m = 3

Assim, tudo ficará:

y - 2 = m x - 1 ⟹ y - 2 = 3 x - 1 ⟹ y = 3 x - 1

UHUL!

Podemos fazer o mesmo para o caso do y = a x + b . Teríamos a = 3 , coeficiente angular, e descobriríamos b aplicando o ponto de tangência, 1,2 :

y = a x + b → 2 = 3 1 + b

b = - 1   →       y = 3 x - 1

OBS: Quando ele falar de abscissa e ordenada, ele está falando de x e y . x é a abscissa enquanto y é a ordenada.

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Escreva a equação da reta tangente à curva y = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4 no ponto de abcissa x = 3 .

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Passo 1

A equação de uma reta é:

y - y 0 = m x - x 0

Aonde esse m   é o nosso coeficiente angular da reta, que vimos que no caso da reta tangente será justamente a derivada da curva naquele ponto, ou seja:

f ' ( x 0 )

Então a equação geral da reta tangente é:

y - f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) x - x 0

Só que queremos determinar a reta tangente no ponto x = 3 , então:

x 0 = 3

Queremos então:

y - f ( 3 ) = f ' ( 3 ) x - 3

Passo 2

Vamos descobrir f 3 ,   para isso basta substituir x = 3 na equação f ( x ) = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4

f 3 = 3 3 - 5 3 2 - 2 ⋅ 3 + 4 ⟹

f 3 = - 20

Certo, já dá para substituir alguma coisa:

y - f 3 = f ' 3 x - 3 ⟹

y + 20 = f ' 3 x - 3

Passo 3

Falta agora determinar f ' x 0 . Para tal, derivamos nossa função f ( x ) = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4 :

f ' x = (   x 3   ) ' - (   5 x 2   ) ' - (   2 x   ) ' + ( 4 ) '

f ' x = 3 x 2 - 10 x - 2

Assim no ponto x = x 0 = 3 :

f ' 3 = 3 ( 3 ) 2 - 10 ( 3 ) - 2 = - 5

f ' 3 = - 5

Pronto! Já temos nossa reta:

y + 20 = f ' 3 x - 3 ⟹

y + 20 = - 5 x - 3 ⟹

y + 20 = - 5 x + 15 ⟹

y = - 5 x - 5

Entao:

y = - 5 x + 1

Olhe só que coisa linda:

Resposta

y = - 5 x + 1

Exercício Resolvido #2

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 186-37. MODIFICADO

Sendo:

f x = 4 + cot ⁡ ( x ) - 2 csc ⁡ ( x )

Encontre as equações para:

  1. A tangente à curva em P .
  2. A tangente horizontal à curva em Q .

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Passo 1

Começando pela letra a .

Primeiro temos que lembrar que equação geral da reta tangente é:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

A reta tangencia a função no ponto P , então já temos dois valores:

P = π 2 , 2 = x 0 , f x 0

x 0 = π 2

f x 0 = 2

Assim, já podemos substituir na equação da reta:

y - 2 = f ' ( π 2 ) x - π 2

Passo 2

Falta agora determinar f ' π 2 . Então vamos derivar nossa função:

f x = 4 + cot ⁡ ( x ) - 2 csc ⁡ ( x )

Como ( cot ⁡ x ) ' = - csc 2 ⁡ ( x ) e csc ⁡ x ' = - csc ⁡ ( x ) cot ⁡ ( x ) , nossa derivada fica assim:

f ' x = - csc ⁡ 2 ( x ) + 2 csc ⁡ ( x ) cot ⁡ ( x )

No ponto P = x 0 = π / 2 :

f ' π 2 = - csc ⁡ 2 ( π 2 ) + 2 csc ⁡ ( π 2 ) cot ⁡ ( π 2 )

Mas c o s s e c π 2 = 1 e c o t g π 2 = 0   lembra? Então ficamos com:

f ' π 2 = - 1 + 2 1 0

f ' π 2 = - 1

Pronto! Já temos nossa reta:

y - 2 = f ' π 2 x - π 2 ⟹

y - 2 = - 1 x - π 2

Então a equação da reta tangente à curva em P   é:

y = 2 - x - π 2

Olhe como fica:

Passo 3

Agora a letra b . Pode parecer complicado aqui o fato de você não sabe as coordenadas do ponto Q.

Mas o pulo do gato está no enunciado ter dito que a tangente nesse ponto é horizontal. Se a tangente é horizontal. O coeficiente dela é zero!

Então, da equação geral da reta tangente, temos de cara que:

y - f x Q = f ' x Q x - x Q ⟹

y - f x Q = 0 x - x Q ⟹

y - f x Q = 0

Logo:

y = f ( x Q )

Só precisamos achar f ( x Q ) .

Passo 4

Mas como achar x Q para calcular   f ( x Q ) ? Achamos pelo fato de que f ' x Q = 0 .

Lá na da letra a temos que:

f ' x = - csc ⁡ 2 ( x ) + 2 csc ⁡ ( x ) cot ⁡ ( x )

Para x = x Q podemos igualar a zero:

f ' x Q = - csc ⁡ 2 ( x Q ) + 2 csc ⁡ ( x Q ) cot ⁡ x Q = 0

csc ⁡ 2 x Q = 2 csc ⁡ x Q cot ⁡ x Q

2 cot ⁡ x Q = csc ⁡ x Q

2 cos ⁡ x Q sen ⁡ x Q = 1 sen ⁡ x Q

cos ⁡ ( x Q ) = 1 2

O cosseno é igual 1 2