Teoria Completa
Fala aí! Bem vindo ao RespondeAí! Nessa página vamos entender o que é uma reta tangente a uma curva em um determinado ponto.
Toda função tem uma infinidade de retas tangentes, cada ponto do domínio tem sua própria reta tangente associado a ele e quando estudamos derivadas aprendemos como descobrir as inclinações dessas retas tangente, e por exemplo, usamos isso para fazer estudos sobre pontos máximos e mínimos de uma função, que são aqueles pontos em que a derivada vale $0$ e a reta tangente tem zero de inclinação.
A derivada de uma função também pode ser útil para escrever a equação da reta tangente a função naquele ponto. Então por exemplo, vamos pensar na função $f(x)=x^3+1$ no ponto $x=1$:
Então
Logo no ponto $(1,2)$ temos uma reta tangente que possui inclinação $3$. Mas que reta é essa? Podemos usar a equação da reta para descobri-la:
Sendo $x_0=1$, $y_0=2$, e $m=f'(1)=3$, temos que a equação da reta tangente é:
Que organizando para escrevermos da maneira que estamos mais acostumados fica:
Representando essas funções juntas em um gráfico, podemos desenhar:
Sendo:
- A função verde: $f(x)=x^3+1$
- A função laranja: $r(x)=3x-1$
Legal né? Espero que você tenha entendido o que é a reta tangente e como podemos fazer para calculá-la! Acompanha aqui em baixo um vídeo preparados pelos nossos experts especialmente para vocês.
Exercício
Vamos ver um exercício resolvido Passo a Passo do nosso tópico de Retas Tangentes, do assunto de Aplicação de Derivadas, para entender mais um pouco da matéria de cálculo!
Escreva a equação da reta tangente à curva $y=x^3-5x^2-2x+4$ no ponto de abcissa $x=3$.
Exercício Resolvido #1
Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto de abcissa .
Passo 1
A equação de uma reta é:
Aonde esse é o nosso coeficiente angular da reta, que vimos que no caso da reta tangente será justamente a derivada da curva naquele ponto, ou seja:
Então a equação geral da reta tangente é:
Só que queremos determinar a reta tangente no ponto , então:
Queremos então:
Passo 2
Vamos descobrir para isso basta substituir na equação
Certo, já dá para substituir alguma coisa:
Passo 3
Falta agora determinar . Para tal, derivamos nossa função :
Assim no ponto
Pronto! Já temos nossa reta:
Entao:
Olhe só que coisa linda:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Sendo:
Encontre as equações para:
- A tangente à curva em .
- A tangente horizontal à curva em .
Passo 1
Primeiro temos que lembrar que equação geral da reta tangente é:
é um ponto em na curva. Então, agora o que temos que saber para achar a reta tangente é a nossa derivada para depois substituir o nosso na equação.
Vamos lá!
Passo 2
Então vamos derivar nossa função:
Como
E
A nossa derivada fica assim:
Passo 3
Pronto! Achamos a derivada, então vamos resolver a letra
a)
Repara que o enunciado forneceu qual que ele quer! No ponto . Então vamos substituir na fórmula
Então, galerinha, antes de começar a calcular só relembrando: csc e
Agora vamos lá! Calculando temos
Agora vamos para derivada ,
Pronto! Já podemos substituir esses valores na fórmula. A nossa reta fica assim:
Então a equação da reta tangente à curva em é:
Olhe como fica:
Passo 4
Agora a letra . Pode parecer complicado aqui o fato de você não sabe as coordenadas do ponto Q. Para não confundir, vamos chamar aqui no de , pois queremos a tangente neste ponto , ok?
Mas neste caso, o pulo do gato está no enunciado ter dito que a tangente nesse ponto é horizontal. Se a tangente é horizontal, o coeficiente dela é zero! Em outras palavras,
Então para achar quem é meu , eu preciso saber qual ponto minha derivada é zero,
O cosseno é igual em:
Existem muitos outros pontos onde o cosseno é igual a ½, mas este é o ponto que queremos, pois, olhando no gráfico do enunciado:
Vemos que a coordena de está entre e . O único ponto onde o cosseno é ½ entre esses valores é .
Passo 5
Pronto! Já temos o ponto . Agora é substituir na fórmula:
Vamos voltar a nossa equação original e descobrir :
Então:
Lembra que a nossa derivada no ponto é igual a zero?
substituir esses valores na fórmula. A nossa reta fica assim:
Então a equação da reta tangente à curva em é:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Considere a função definida pelo gráfico abaixo,
Sabendo que a reta é tangente ao gráfico da em e a reta tangente ao gráfico da em
- Determine a equação da reta
- Determine e
- Determine a equação da reta
- Determine e
Passo 1
Vamos começar pela letra .
Olhando para a equação da reta tangente:
Temos que é o ponto de tangência. Mas se olharmos pro enunciado vamos ver que a reta é tangente em , então:
Substituindo:
Olhando o gráfico, é perceptível que a reta que queremos calcular toca o eixo no ponto .
Então é um ponto dessa reta. Assim:
Portanto:
Passo 2
Tá, mas qual o valor de ? Aí vem a outra sacada. No gráfico também está o ângulo de inclinação da reta. A tangente desse ângulo é seu coeficiente angular que também será a derivada da curva naquele ponto:
Já temos todos os valores agora:
Se a gente ajeitar melhor, vamos chegar que equação da reta é:
Passo 3
Vamos para a letra agora.
Já na letra vimos que:
Opa! Já matamos😊
Passo 4
Letra (tá acabando)!
Considerando a equação geral da reta tangente de novo, mas agora para :
Pelo gráfico do enunciado o ponto de tangencia da reta é em :
Assim, a equação ficará:
Ainda temos mais algumas coisas aí. Assim, como aconteceu com , a reta também cruza o eixo , mas quando . Logo passa pelo ponto usando isso temos:
Show! Mais uma relação maneira, então dá para escrever:
Passo 5
Como achar ? Olhando para o gráfico (sempre ele), vemos que as retas e se encontram quando . Assim, nesse ponto temos que:
Mas encontramos
E
Substituindo e igualando :
Finalmente, substituindo esse valor em e aí temos que a equação da reta é:
Passo 6
Acabou? Quase, porque a letra a gente tira fácil desta relação que encontramos na :
Sendo:
Que também foi calculado anteriormente, então: