Reta Tangente

Teoria Completa

Fala aí! Bem vindo ao RespondeAí! Nessa página vamos entender o que é uma reta tangente a uma curva em um determinado ponto.

Toda função tem uma infinidade de retas tangentes, cada ponto do domínio tem sua própria reta tangente associado a ele e quando estudamos derivadas aprendemos como descobrir as inclinações dessas retas tangente, e por exemplo, usamos isso para fazer estudos sobre pontos máximos e mínimos de uma função, que são aqueles pontos em que a derivada vale $0$ e a reta tangente tem zero de inclinação.

A derivada de uma função também pode ser útil para escrever a equação da reta tangente a função naquele ponto. Então por exemplo, vamos pensar na função $f(x)=x^3+1$ no ponto $x=1$:

$$f(x)=x^3+1, f(1)=2$$

Então

$$f'(x)=3x^2, f'(1)=3$$

Logo no ponto $(1,2)$ temos uma reta tangente que possui inclinação $3$. Mas que reta é essa? Podemos usar a equação da reta para descobri-la:

$$y-y_0=m(x-x_0)$$

Sendo $x_0=1$, $y_0=2$, e $m=f'(1)=3$, temos que a equação da reta tangente é:

$$y-2=3(x-1)$$

Que organizando para escrevermos da maneira que estamos mais acostumados fica:

$$y=3x-1$$

Representando essas funções juntas em um gráfico, podemos desenhar:

Sendo:

  • A função verde: $f(x)=x^3+1$
  • A função laranja: $r(x)=3x-1$

Legal né? Espero que você tenha entendido o que é a reta tangente e como podemos fazer para calculá-la! Acompanha aqui em baixo um vídeo preparados pelos nossos experts especialmente para vocês.

Exercício

Vamos ver um exercício resolvido Passo a Passo do nosso tópico de Retas Tangentes, do assunto de Aplicação de Derivadas, para entender mais um pouco da matéria de cálculo!

Escreva a equação da reta tangente à curva $y=x^3-5x^2-2x+4$ no ponto de abcissa $x=3$.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Escreva a equação da reta tangente à curva y = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4 no ponto de abcissa x = 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A equação de uma reta é:

y - y 0 = m x - x 0

Aonde esse m   é o nosso coeficiente angular da reta, que vimos que no caso da reta tangente será justamente a derivada da curva naquele ponto, ou seja:

f ' ( x 0 )

Então a equação geral da reta tangente é:

y - f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) x - x 0

Só que queremos determinar a reta tangente no ponto x = 3 , então:

x 0 = 3

Queremos então:

y - f ( 3 ) = f ' ( 3 ) x - 3

Passo 2

Vamos descobrir f 3 ,   para isso basta substituir x = 3 na equação f ( x ) = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4

f 3 = 3 3 - 5 3 2 - 2 ⋅ 3 + 4 ⟹

f 3 = - 20

Certo, já dá para substituir alguma coisa:

y - f 3 = f ' 3 x - 3 ⟹

y + 20 = f ' 3 x - 3

Passo 3

Falta agora determinar f ' x 0 . Para tal, derivamos nossa função f ( x ) = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4 :

f ' x = (   x 3   ) ' - (   5 x 2   ) ' - (   2 x   ) ' + ( 4 ) '

f ' x = 3 x 2 - 10 x - 2

Assim no ponto x = x 0 = 3 :

f ' 3 = 3 ( 3 ) 2 - 10 ( 3 ) - 2 = - 5

f ' 3 = - 5

Pronto! Já temos nossa reta:

y + 20 = f ' 3 x - 3 ⟹

y + 20 = - 5 x - 3 ⟹

y + 20 = - 5 x + 15 ⟹

y = - 5 x - 5

Entao:

y = - 5 x + 1

Olhe só que coisa linda:

Resposta

y = - 5 x + 1

Exercício Resolvido #2

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 186-37. MODIFICADO

Sendo:

f x = 4 + cot ⁡ ( x ) - 2 csc ⁡ ( x )

Encontre as equações para:

  1. A tangente à curva em P .
  2. A tangente horizontal à curva em Q .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro temos que lembrar que equação geral da reta tangente é:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

x 0 é um ponto em x na curva. Então, agora o que temos que saber para achar a reta tangente é a nossa derivada f ' x   para depois substituir o nosso x 0 na equação.

Vamos lá!

Passo 2

Então vamos derivar nossa função:

f x = 4 + cot ⁡ ( x ) - 2 csc ⁡ ( x )

Como

( cot ⁡ x ) ' = - csc 2 ⁡ ( x )

E

csc ⁡ x ' = - csc ⁡ ( x ) cot ⁡ ( x )

A nossa derivada fica assim:

f ' x = - csc 2 ⁡ ( x ) + 2 csc ⁡ ( x ) cot ⁡ ( x )

Passo 3

Pronto! Achamos a derivada, então vamos resolver a letra a

a)

Repara que o enunciado forneceu qual x 0 que ele quer! No ponto P = x 0 = π / 2 . Então vamos substituir na fórmula

y - f π 2 = f ' π 2 x - π 2

Então, galerinha, antes de começar a calcular só relembrando: csc π 2 = 1 e c o t π 2 = 0 .

Agora vamos lá! Calculando f π 2 ,   temos

f π 2 = 4 + cot ⁡ ( π 2 ) - 2 csc ⁡ ( π 2 )

f π 2 = 2

Agora vamos para derivada f ' π 2 ,

f ' π 2 = - ⁡ c s c 2 ( π 2 ) + 2 csc ⁡ ( π 2 ) cot ⁡ ( π 2 )

f ' π 2 = - 1

Pronto! Já podemos substituir esses valores na fórmula. A nossa reta fica assim:

y - 2 = - 1 x - π 2

Então a equação da reta tangente à curva em P   é:

y = 2 - x - π 2

Olhe como fica:

Passo 4

Agora a letra b . Pode parecer complicado aqui o fato de você não sabe as coordenadas do ponto Q. Para não confundir, vamos chamar aqui no x 0 de x Q , pois queremos a tangente neste ponto Q , ok?

Mas neste caso, o pulo do gato está no enunciado ter dito que a tangente nesse ponto é horizontal. Se a tangente é horizontal, o coeficiente dela é zero! Em outras palavras,

f ' x Q = 0

Então para achar quem é meu x Q , eu preciso saber qual ponto minha derivada é zero,

f ' x Q = - ⁡ c s c 2 ( x Q ) + 2 csc ⁡ ( x Q ) cot ⁡ x Q = 0

- ⁡ c s c 2 x Q = 2 csc ⁡ x Q cot ⁡ x Q

2 cot ⁡ x Q = csc ⁡ x Q

2 cos ⁡ x Q sen ⁡ x Q = 1 sen ⁡ x Q

cos ⁡ ( x Q ) = 1 2

O cosseno é igual 1 2 em:

x Q = π 3

Existem muitos outros pontos onde o cosseno é igual a ½, mas este é o ponto que queremos, pois, olhando no gráfico do enunciado:

Vemos que a coordena x de Q está entre 1 e π / 2 . O único ponto onde o cosseno é ½ entre esses valores é x = x Q = π / 3 .

Passo 5

Pronto! Já temos o ponto x Q = π 3 . Agora é substituir na fórmula:

y - f π 3 = f ' π 3 x - π 3

Vamos voltar a nossa equação original e descobrir f ( π 3 ) :

f ( π 3 ) = 4 + cot ⁡ ( π 3 ) - 2 csc ⁡ ( π 3 ) = 4 + 3 3 - 4 3 3

Então:

f π 3 = 4 - 3

Lembra que a nossa derivada no ponto x Q é igual a zero?

f ' π 3 = 0

substituir esses valores na fórmula. A nossa reta fica assim:

y - 4 - 3 = 0 x - π 3

Então a equação da reta tangente à curva em Q   é:

y = 4 - 3

Resposta

  1. y = 2 - x - π 2
  2. y = 4 - 3

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2010.2 – 5

Considere f a função definida pelo gráfico abaixo,

Sabendo que a reta r é tangente ao gráfico da f em x = - 2 e s a reta tangente ao gráfico da f em x = 1

  1. Determine a equação da reta r
  2. Determine f - 2 e f ' - 2
  3. Determine a equação da reta s
  4. Determine f 1 e f ' 1
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar pela letra a .

Olhando para a equação da reta tangente:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Temos que   ( x 0 , f x 0 ) é o ponto de tangência. Mas se olharmos pro enunciado vamos ver que a reta   r é tangente em x = - 2 , então:

x 0 = - 2

Substituindo:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 ⟹

y - f - 2 = f ' - 2 x + 2

Olhando o gráfico, é perceptível que a reta que queremos calcular toca o eixo x ( y = 0 ) no ponto x = - 3 .

Então ( - 3,0 ) é um ponto dessa reta. Assim:

y - f - 2 = f ' - 2 x + 2 ⟹

0 - f - 2 = f ' - 2 - 3 + 2

Portanto:

f - 2 = f ' ( - 2 )

Passo 2

Tá, mas qual o valor de f - 2 ? Aí vem a outra sacada. No gráfico também está o ângulo de inclinação da reta. A tangente desse ângulo é seu coeficiente angular que também será a derivada da curva naquele ponto:

f ' - 2 = tan ⁡ 30 ° = 3 3

Já temos todos os valores agora:

y - f - 2 = f ' - 2 x + 2

⟹ y - 3 3 = 3 3 ( x + 2 )

Se a gente ajeitar melhor, vamos chegar que equação da reta r é: y = 3 3 x + 3

Passo 3

Vamos para a letra b agora.

Já na letra a vimos que:

f - 2 = f ' - 2 = 3 3

Opa! Já matamos😊

Passo 4

Letra c (tá acabando)!

Considerando a equação geral da reta tangente de novo, mas agora para s :

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Pelo gráfico do enunciado o ponto de tangencia da reta s é em x = 1 :

x 0 = 1

Assim, a equação ficará: y - f 1 = f ' 1 x - 1 ⟹

y - f ( 1 ) = f ' 1 x - 1

Ainda temos mais algumas coisas aí. Assim, como aconteceu com r , a reta s também cruza o eixo x , mas quando x = 2 . Logo passa pelo ponto 2,0 , usando isso temos:

0 - f 1 = f ' 1 2 - 1 ⟹

f ' 1 = - f ( 1 )

Show! Mais uma relação maneira, então dá para escrever:

y = f ' 1 x - 1 - f ' 1 ⟹

y = f ' 1 x - 2 f ' 1 ⟹

y = f ' ( 1 ) ( x - 2 )

Passo 5

Como achar f ' 1 ? Olhando para o gráfico (sempre ele), vemos que as retas r e s se encontram quando x = 0 . Assim, nesse ponto temos que:

y r = y s

Mas encontramos y r = 3 3 x + 3

E

y s = f ' ( 1 ) ( x - 2 )

Substituindo x = 0 e igualando y r = y s :

3 3 0 + 3 = f ' 1 0 - 2 ⟹ 3 3 3 = f ' ( 1 ) ( - 2 )

- 2 f ' 1 = 3

f ' 1 = - 3 2

Finalmente, substituindo esse valor em y s = f ' 1 x - 2 ,   e aí temos que a equação da reta s é:

y = - 3 2 ( x - 2 )

Passo 6

Acabou? Quase, porque a letra d a gente tira fácil desta relação que encontramos na c :

f ' 1 = - f ( 1 )

Sendo:

f ' 1 = - 3 2

Que também foi calculado anteriormente, então:

f 1 = 3 2

Resposta

  1. y r = 3 3 x + 3
  2. f ' - 2 = 3 3           e           f - 2 = 3 3
  3. y s = - 3 2 x + 3
  4. f ' 1 = - 3 2           e           f 1 = 3 2

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