Teoria Completa
Definição
Em uma circunferência, a reta tangente é aquela que se aproxima do círculo, encosta nele em apenas um ponto, e passa a se afastar dele.
Agora, como a gente faz pra descobrir quem é essa reta? Alguma ideia de como achamos a equação dela?
Bom, vamos pensar diferente e imaginar a reta tangente a uma função em um ponto, como a reta tangente à função + 1 no ponto , por exemplo.
Como sabemos que a reta tangente toca a função, então ela tem o mesmo valor da função no ponto
Agora como era a equação da reta mesmo? Existem três opções:
Que é quase a mesma coisa que a primeira mas já vai direto ao ponto!
Portanto aqui no nosso caso, teremos:
Bem, agora falta determinar o valor de , que é o coeficiente angular, ou a inclinação da reta:
O coeficiente angular da reta tangente ( ou ) é igual a derivada da função no ponto.
Assim, tudo ficará:
UHUL!
Podemos fazer o mesmo para o caso do . Teríamos , coeficiente angular, e descobriríamos aplicando o ponto de tangência, :
OBS: Quando ele falar de abscissa e ordenada, ele está falando de e . é a abscissa enquanto é a ordenada.
Exercício Resolvido #1
Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto de abcissa .
Passo 1
A equação de uma reta é:
Aonde esse é o nosso coeficiente angular da reta, que vimos que no caso da reta tangente será justamente a derivada da curva naquele ponto, ou seja:
Então a equação geral da reta tangente é:
Só que queremos determinar a reta tangente no ponto , então:
Queremos então:
Passo 2
Vamos descobrir para isso basta substituir na equação
Certo, já dá para substituir alguma coisa:
Passo 3
Falta agora determinar . Para tal, derivamos nossa função :
Assim no ponto
Pronto! Já temos nossa reta:
Entao:
Olhe só que coisa linda:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Sendo:
Encontre as equações para:
- A tangente à curva em .
- A tangente horizontal à curva em .
Passo 1
Primeiro temos que lembrar que equação geral da reta tangente é:
é um ponto em na curva. Então, agora o que temos que saber para achar a reta tangente é a nossa derivada para depois substituir o nosso na equação.
Vamos lá!
Passo 2
Então vamos derivar nossa função:
Como
E
A nossa derivada fica assim:
Passo 3
Pronto! Achamos a derivada, então vamos resolver a letra
a)
Repara que o enunciado forneceu qual que ele quer! No ponto . Então vamos substituir na fórmula
Então, galerinha, antes de começar a calcular só relembrando: csc e
Agora vamos lá! Calculando temos
Agora vamos para derivada ,
Pronto! Já podemos substituir esses valores na fórmula. A nossa reta fica assim:
Então a equação da reta tangente à curva em é:
Olhe como fica:
Passo 4
Agora a letra . Pode parecer complicado aqui o fato de você não sabe as coordenadas do ponto Q. Para não confundir, vamos chamar aqui no de , pois queremos a tangente neste ponto , ok?
Mas neste caso, o pulo do gato está no enunciado ter dito que a tangente nesse ponto é horizontal. Se a tangente é horizontal, o coeficiente dela é zero! Em outras palavras,
Então para achar quem é meu , eu preciso saber qual ponto minha derivada é zero,
O cosseno é igual em:
Existem muitos outros pontos onde o cosseno é igual a ½, mas este é o ponto que queremos, pois, olhando no gráfico do enunciado:
Vemos que a coordena de está entre e . O único ponto onde o cosseno é ½ entre esses valores é .
Passo 5
Pronto! Já temos o ponto . Agora é substituir na fórmula:
Vamos voltar a nossa equação original e descobrir :
Então:
Lembra que a nossa derivada no ponto é igual a zero?
substituir esses valores na fórmula. A nossa reta fica assim:
Então a equação da reta tangente à curva em é:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Considere a função definida pelo gráfico abaixo,
Sabendo que a reta é tangente ao gráfico da em e a reta tangente ao gráfico da em
- Determine a equação da reta
- Determine e
- Determine a equação da reta
- Determine e
Passo 1
Vamos começar pela letra .
Olhando para a equação da reta tangente:
Temos que é o ponto de tangência. Mas se olharmos pro enunciado vamos ver que a reta é tangente em , então:
Substituindo:
Olhando o gráfico, é perceptível que a reta que queremos calcular toca o eixo no ponto .
Então é um ponto dessa reta. Assim:
Portanto:
Passo 2
Tá, mas qual o valor de ? Aí vem a outra sacada. No gráfico também está o ângulo de inclinação da reta. A tangente desse ângulo é seu coeficiente angular que também será a derivada da curva naquele ponto:
Já temos todos os valores agora:
Se a gente ajeitar melhor, vamos chegar que equação da reta é:
Passo 3
Vamos para a letra agora.
Já na letra vimos que:
Opa! Já matamos😊
Passo 4
Letra (tá acabando)!
Considerando a equação geral da reta tangente de novo, mas agora para :
Pelo gráfico do enunciado o ponto de tangencia da reta é em :
Assim, a equação ficará:
Ainda temos mais algumas coisas aí. Assim, como aconteceu com , a reta também cruza o eixo , mas quando . Logo passa pelo ponto usando isso temos:
Show! Mais uma relação maneira, então dá para escrever:
Passo 5
Como achar ? Olhando para o gráfico (sempre ele), vemos que as retas e se encontram quando . Assim, nesse ponto temos que:
Mas encontramos
E
Substituindo e igualando :
Finalmente, substituindo esse valor em e aí temos que a equação da reta é:
Passo 6
Acabou? Quase, porque a letra a gente tira fácil desta relação que encontramos na :
Sendo:
Que também foi calculado anteriormente, então: