Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Lembra do teorema do valor intermediário?
Ele diz que, se uma função é contínua, para ir de um ponto para outro , ela deve, necessariamente, passar por todos os pontos entre e .
Isso significa que, se é negativo e é positivo ou vice-versa, temos uma raiz em , pois a função precisa passar por zero em algum momento.
Teorema do valor intermediário e funções monótonas
Ok, então usando TVI, conseguimos mostrar que existe uma raiz num intervalo que segue as condições do parágrafo anterior.
Mas e se quisermos mostrar que esta é a única raiz no intervalo?
Bem, para que seja a única raiz no intervalo, a função não pode voltar para zero. E como a gente pode garantir que a função não volta para zero? Ham, Ham, HAM?
Quando a primeira derivada não muda de sinal no intervalo, oras. Quando a derivada é sempre positiva, a função vai sempre crescer. Quando a derivada é negativa, a função vai sempre decrescer. Se ela passa por zero, não mais voltará!
Então, para garantir que uma função tem somente uma raiz num intervalo , precisamos aplicar o TVI e mostrar que a função é monótona no intervalo , ou seja, não muda o sinal da derivada nesse intervalo.