Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

Teoria Completa

Lembra do teorema do valor intermediário?

Ele diz que, se uma função f é contínua, para ir de um ponto f ( a ) para outro f ( b ) , ela deve, necessariamente, passar por todos os pontos entre f ( a ) e f ( b ) .

Isso significa que, se f ( a ) é negativo e f b é positivo ou vice-versa, temos uma raiz em [ a , b ] , pois a função precisa passar por zero em algum momento.

Teorema do valor intermediário e funções monótonas

Ok, então usando TVI, conseguimos mostrar que existe uma raiz num intervalo [ a , b ] que segue as condições do parágrafo anterior.

Mas e se quisermos mostrar que esta é a única raiz no intervalo?

Bem, para que seja a única raiz no intervalo, a função não pode voltar para zero. E como a gente pode garantir que a função não volta para zero? Ham, Ham, HAM?

Quando a primeira derivada não muda de sinal no intervalo, oras. Quando a derivada é sempre positiva, a função vai sempre crescer. Quando a derivada é negativa, a função vai sempre decrescer. Se ela passa por zero, não mais voltará!

Então, para garantir que uma função tem somente uma raiz num intervalo [ a , b ] , precisamos aplicar o TVI e mostrar que a função é monótona no intervalo [ a , b ] , ou seja, não muda o sinal da derivada nesse intervalo.

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 285-17. MODIFICADO

Mostre que a função abaixo tem exatamente uma raiz no intervalo dado.

g t = t + 1 + t - 4 , ( 0 , ∞ )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Na fronteira esquerda do intervalo:

g 0 = 0 + 1 + 0 - 4 = - 3

Que é negativo.

A fronteira à direita é , então aplicamos limite para testar o sinal por lá:

lim t → ∞ ⁡ t + 1 + t - 4 = ∞ + ∞ - 4 = ∞

Que é positivo.

Como temos um valor negativo na fronteira esquerda do intervalo e outro positivo na fronteira direita, então, pelo TVI, existe uma raiz para x ∈ ( 0 , ∞ ) .

Passo 2

-

Agora, para esta ser a única raiz, precisamos mostra que a função é monótona. Para isso, derivamos:

g ' t = 1 2 t + 1 2 t + 1

Como a raiz quadrada é sempre um número positivo, temos a soma de números positivos. Portanto, g ' ( t ) é sempre maior que zero o que garante que a solução é única.

Resposta

Exercício Resolvido #2

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 285-22. MODIFICADO

Mostre que a função abaixo tem exatamente uma raiz no intervalo dado.

r θ = tan ⁡ ( θ ) - cotg ⁡ θ - θ , ( 0 , π / 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Na fronteira esquerda do intervalo, a função não está definida, devido a cotangente que não existe em 0. Então, usamos o limite:

lim θ → 0 ⁡ tan ⁡ ( θ ) - cotg ⁡ θ - θ = 0 - ∞ - 0 = - ∞

Que é negativo.

Na fronteira direita do intervalo, a função também não está definida, devido a tangente. Então, usamos novamente o limite:

lim θ → π / 2 ⁡ tan ⁡ ( θ ) - cot ⁡ θ - θ = ∞ - 0 - π 2 = ∞

Que é positivo.

Como temos um valor negativo na fronteira esquerda do intervalo e outro positivo na fronteira direita, então, pelo TVI, existe uma raiz para x ∈ ( 0 , π / 2 )

Passo 2

Agora, para esta ser a única raiz, precisamos mostra que a função é monótona. Para isso, derivamos:

r ' θ = sec 2 ⁡ ( θ ) + cossec 2 ⁡ ( θ ) - 1

Precisamos mostrar que a derivada é sempre positiva ou negativa. Lembrando que:

tan 2 ⁡ ( θ ) + 1 = sec 2 ⁡ ( θ )

E:

cotg 2 ⁡ ( θ ) + 1 = cossec 2 ⁡ ( θ )

Assim:

r ' θ = tan 2 ⁡ ( θ ) + 1 + cot 2 ⁡ ( θ ) + 1 - 1 = tan 2 ⁡ θ + cot 2 ⁡ θ + 1

Os termos quadráticos serão sempre positivos. Acrescidos de 1 , a derivada será sempre maior que zero. Há, portanto, somente uma raiz na história.

Resposta

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