Teorema do Valor Intermediário e Funções Monótonas

Produzido por Arthur Melo de Almeida
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Teoria

Lembra do teorema do valor intermediário?

Ele diz que, se uma função f é contínua, para ir de um ponto f ( a ) para outro f ( b ) , ela deve, necessariamente, passar por todos os pontos entre f ( a ) e f ( b ) .

Isso significa que, se f ( a ) é negativo e f b é positivo ou vice-versa, temos uma raiz em [ a , b ] , pois a função precisa passar por zero em algum momento.

Teorema do valor intermediário e funções monótonas

Ok, então usando TVI, conseguimos mostrar que existe uma raiz num intervalo [ a , b ] que segue as condições do parágrafo anterior.

Mas e se quisermos mostrar que esta é a única raiz no intervalo?

Bem, para que seja a única raiz no intervalo, a função não pode voltar para zero. E como a gente pode garantir que a função não volta para zero? Ham, Ham, HAM?

Quando a primeira derivada não muda de sinal no intervalo, oras. Quando a derivada é sempre positiva, a função vai sempre crescer. Quando a derivada é negativa, a função vai sempre decrescer. Se ela passa por zero, não mais voltará!

Então, para garantir que uma função tem somente uma raiz num intervalo [ a , b ] , precisamos aplicar o TVI e mostrar que a função é monótona no intervalo [ a , b ] , ou seja, não muda o sinal da derivada nesse intervalo.

Teorema do valor intermediário e funções monótonas