Taxa de Crescimento e Decrescimento

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala aí! Vamos aprender um pouco sobre taxa de crescimento e decrescimento e aplicações da mesma?

PARTIU !

Dá uma olhada no gráfico dessa função aqui:

Gráfico de um função
Gráfico de um função

Olhando o gráfico a gente consegue ver que tem intervalos em que a função tem uma taxa de crescimento e outros em que a função tem uma taxa de decrescimento, não é?

Conseguimos dizer claramente que:

  • A função deccresce no intervalo $(-2,0)$ - setinhas estão para baixo, e;
  • A função cresce no intervalo $(-\infty ,-2)~\cup ~(0,+\infty)$- setinhas estão para cima.

Mas... e se ao invés de fornecer o gráfico a questão fornecer a expressão da função. Como achamos o intervalo nos quais ela crece e decresce?

É aí que entra o nosso conteúdo de hoje 🙂

Teste de Crescimento e Decrescimento

Esse teste nada mais é que uma forma rápida da gente achar os intervalos onde uma função é crescente e onde ela é decrescente e é MUITOOO útil para esboço de gráficos.

Esse teste dis o seguinte:

Enunciado do teste de crescimento e decrescimento
Enunciado do teste de crescimento e decrescimento

Agora vamos ver como aplicamos esse teste na prática. Considere essa função aqui:

$$y=x^3+3x^2-2$$

A primeira coisa que vamos fazer é encontrar a deivada dessa função:

$$y'=3x^2+6x=3x(x+2)$$

Agora, o que temos que fazer é estudar o sinal dessa derivada para saber quando ela será positiva e quando será negativa.

Para fazer isso, vamos separar a função em dois termos: $3x$ e $x+2$ e encontrar a raíz de cada um desses termos.

$$3x=0\longmapsto x=0$$
$$x+2=0\longmapsto x=-2$$

Agora, vamos construir o que chamamos de quadro de sinais: Na primeira linha coloque em ordem crescente as raízes de todos os termos e na primeira coluna coloque os próprios termos, a derivada e a função original, assim:

Quadro de sinais
Quadro de sinais

Agora vamos preencher as duas primeiras linhas do quadro analisando o sinal dos termos em cada intervalo. Desse jeito aqui:

Quadro de sinais parcialmente preenchido
Quadro de sinais parcialmente preenchido

Agora, a linha da derivada vamos preencher fazendo a multiplicação dos sinais de cada termo (isso porque a derivada é uma multiplicação dos termos, se fosse uma divisão você teria que dividir os sinais, beleza?)

Quadro de sinais quase completo
Quadro de sinais quase completo

Por fim, aplicamos o teste de crescimento e decrescimento, onde a derivada é positiva a função cresce e onde é nagativa a função decresce:

Quadro de sinais totalmente preenchido
Quadro de sinais totalmente preenchido

Sacou a dinâmica? Bora fazer mais exercícios para fixar bem?

Teste de Crescimento e Decrescimento

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine:

  ( i ) Os intervalos nos quais f é crescente.

( i i ) Os intervalos nos quais f é decrescente.

f x = 1 - x 2 1 + x 3

Passo 1

Para chegar nesses extremos precisamos derivar. Não precisamos nem transformar isso num polinômio e derivar, dá para usar a Regra do Produto:

f ' x = 1 - x 2 ' 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 1 + x 3 ] '

f ' x = [ 2 1 - x ⋅ 1 - x ' ] 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 3 1 + x 2 . ( 1 + x ) ' ]

f ' x = [ - 2 1 - x ] 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 3 1 + x 2 ]

Repara que dá para colocar em evidência um termo ( 1 - x ) e dois termos ( 1 + x ) :

f ' x = - 2 1 + x + 3 1 - x   1 - x   1 + x 2

f ' x = - 2 - 2 x + 3 - 3 x   1 - x   1 + x 2

f ' x = 1 - 5 x   1 - x 1 + x 2

Passo 2

Agora que já temos a derivada, para descobrir aonde essa função é crescente ou decrescente precisamos fazer um quadro de sinais com a derivada primeira:

f ' x = ( 1 - 5 x ) 1 - x 1 + x 2

Para construir esse quadro de sinais, é necessário avaliar cada termo dessa derivada. Por exemplo, para 1 - x , sabemos que para qualquer valor de x maior que um, esse termo ficará negativo e para qualquer valor menor que 1, positivo.

Para 1 - 5 x , essa inversão de sinais ocorre em x = 1 / 5 . Mas e para 1 + x 2 ? Nesse caso, para qualquer valor de x, o resultado será positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo e o número “1” que estamos somando também é!

Então, a nossa tabela de sinais fica assim:

A última linha, sinal de f ' ( x ) , é obtida pela multiplicação das outras linhas. Como assim? Vamos olhar para a quarta coluna da tabela. Nessa coluna, multiplicando os sinais das três primeiras linhas (-, + e +), o resultado do produto dá negativo. Portanto, esse é o sinal da última linha (sinal de f ' ( x ) )!

Daí tiramos que a função f ( x ) cresce em todo o domínio, menos no intervalo ( 1 / 5,1 ) , onde é, portanto, decrescente. Formalmente falando:

f   c r e s c e n t e   ∀   x ∈ - ∞ , - 1 ∪ ( - 1,1 / 5 ) ∪ ( 1 , ∞ )

f   d e c r e s c e n t e   ∀   x ∈ ( 1 / 5,1 )

Resposta

i   f   c r e s c e n t e   ∀   x ∈ - ∞ , - 1 ∪ ( - 1,1 / 5 ) ∪ ( 1 , ∞ )

i i   f   d e c r e s c e n t e   ∀   x ∈ ( 1 / 5,1 )

Exercício Resolvido #2

Considere f e g funções definidas pelos gráficos abaixo. Sabendo que r é tangente ao gráfico da f e ao da g em x = 3 , e que r corta os eixos nos pontos indicados, faça um esboço, no mesmo par de eixos, do gráfico das derivadas f ' e g ' .

Passo 1

Antes de pensar no gráfico em si da função, vamos pensar o que diabos aquela reta tangente ali tem a ver com a história. Bem, sabemos que ela, por ser tangente, vai ter a mesma derivada das duas funções no ponto de tangência. A reta passa pelo ponto ( 3,0 ) , então:

y - y 0 = m x - x 0 ⟹ y - 0 = m x - 3 ⟹ y = m ( x - 3 )

Olhando o gráfico, também dá para perceber que a reta toca o eixo y ( x = 0 ) no ponto y = - 6 . Assim, a reta passa pelo ponto ( 0 , - 6 ) também, substituindo para achar m :

- 6 = m 0 - 3 ⟹ m = 2

Show, então a derivada de f e g vale 2 no ponto x = 3 , que é o ponto de tangência.

Passo 2

Vamos concentrar agora na parte onde não temos valores. Sabemos que onde o gráfico cresce a derivada é positiva. Onde decresce ela é negativa. Esboçando umas regiões de crescimento e decrescimento:

Até x = 1 , as duas derivadas são negativas. A partir daí, positivas. Em x = 1 as derivadas são horizontais (olhe a linha pontilhada no gráfico) e, portanto:

f ' 1 = g ' 1 = 0

Agora, repara naquele sinal de negativo pequeno que ali no fim: o gráfico g volta a decrescer a partir daí, ou seja, um pouco à frente de x = 3 . f , porém, continua crescendo.

Passo 3

Agora podemos propriamente esboçar o crescimento e decrescimento das derivadas:

Esclarecendo uma coisa mais: Nesse caso, você não precisa saber como é o desenho do gráfico, a única coisa numérica é que f ' 1 = g ' 1 = 0 e f ' 3 = g ' 3 = 2 . Para construir o resto, usamos os intervalos de crescimento e decrescimento.

Resposta

( F i g u r a   a c i m a )

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre que quando x → ∞ , e x cresce mais rapidamente que x 2 para qualquer inteiro positivo, até mesmo x 1.000.000 . Dica: qual é enésima derivada de x n ?  
Verifique que. d d x x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 = x 2 arcsen ⁡ x
Verifique que. d d x x arctg ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 = arctg ⁡ x
Verifique que. d d x 27 x 2 + 6 x - 1 x - 3 arcsen ⁡ 1 - 3 x 6 x = 1 x 2 27 x 2 + 6 x - 1