Teste de Crescimento e Decrescimento

Teoria Completa

Introdução

Imagina que em uma questão temos a função y = x 3 + 3 x 2 - 2 e precisamos descobrir em que intervalos a função é crescente e decrescente. Bom se tiver o gráfico dela facilita bastante, olha só:

Só olhando pro gráfico conseguimos dizer que a função está decrescendo no intervalo ( - 2 ,   0 ) - repara que as setinhas estão para baixo - e crescendo no resto, ou seja, - ∞ , 2 ∪ 0 , + ∞ - repara nas setinhas para cima.

Masss... Nem sempre vamos ter o gráfico, então como achar intervalos onde a função é crescente ou decrescente?

Se você disse através do teste de crescimento e decrescimento, você acertou!!

O que é o teste de crescimento e decrescimento?

Ele nada mais é do que uma forma rápida pra acharmos os intervalos onde uma função é crescente e onde é decrescente, e vai ser suuuuper útil quando a gente tiver que fazer esboços de gráficos.

Basicamente, o que temos é: a derivada é uma taxa de variação, e se essa taxa for positiva temos que a função será crescente (ou seja, vai para cima), caso ela seja negativa, a função é decrescente (ou seja, vai para baixo).

E como a gente descobre se a função se a derivada é positiva ou negativa?

O primeiro passo é sempre achar a derivada e depois faremos o estudo do sinal.

Então vamos fingir que a gente não conhece o gráfico da função y = x 3 + 3 x 2 - 2 e aplicar o teste e vemos se chegamos ao mesmo resultado?!

Como eu acabei de dizer, o primeiro passo é achar a derivada!

y = x 3 + 3 x 2 - 2

y ' = 3 x 2 + 6 x

Repara que nós temos uma soma, mas para fazermos o estudo do sinal é interessante deixarmos a função como um produto ou um quociente para facilitar nossa análise. Neste caso, podemos colocar o 3 x em evidência, então a derivada vai ficar com essa cara:

y ' = 3 x ( x + 2 )

Pronto! Agora vou mostrar para vocês como se monta o famoso quadro de sinais para gente entender o comportamento dessa função.

Casos com quadro de sinais

Se olharmos os termos do produto, vamos ver que dependendo do valor de x , a derivada será positiva (ou seja, maior que zero) ou negativa (menor que zero). Então para montar o quadro de sinais, a gente começa achando os pontos em que a cada termo será igual a zero, em outras palavras, vamos achar as raízes da equação.

3 x = 0 → x = 0

x + 2 = 0 → x = - 2

Agora, vamos finalmente para o quadro de sinais. Na primeira linha, coloque em ordem crescente todas as raízes dos termos e na primeira coluna coloque os próprios termos, a derivada e função original. Fica assim:

Vamos preencher a tabela! Começando pela primeira linha, note que no intervalo de - ∞ , 2 e - 2,0 , a função é negativa. Acima de zero, a função é positiva. Então o quadro fica assim:

Passando para segunda linha, a gente segue o estudo para cada intervalo,

Na linha da derivada, a gente preenche fazendo a multiplicação dos sinais de cada termo,

Então temos que a derivada é negativa no intervalo - 2,0 e positiva nos intervalos - ∞ , 2 ∪ 0 , + ∞ . Então agora a gente já sabe quando ela decresce e quando ela cresce.

Repara que chegamos no mesmo resultado de quando analisamos o gráfico. A função está decrescendo no intervalo ( - 2 ,   0 ) - repara na setinha para baixo - e crescendo no resto, ou seja, - ∞ , 2 ∪ 0 , + ∞ - repara na setinhas para cima.

Só mais uma coisinha! Poxa, falamos de quando a derivada é positiva ou negativa, mas e quando ela é zero ou não existe? No ponto em que a derivada é zero ou não existe, temos um chamado ponto crítico.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ - Cálculo 1 – Professora Renata - Lista Derivadas – 15 - Modificado

Determine:

  ( i ) Os intervalos nos quais f é crescente.

( i i ) Os intervalos nos quais f é decrescente.

f x = 1 - x 2 1 + x 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para chegar nesses extremos precisamos derivar. Não precisamos nem transformar isso num polinômio e derivar, dá para usar a Regra do Produto:

f ' x = 1 - x 2 ' 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 1 + x 3 ] '

f ' x = [ 2 1 - x ⋅ 1 - x ' ] 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 3 1 + x 2 . ( 1 + x ) ' ]

f ' x = [ - 2 1 - x ] 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 3 1 + x 2 ]

Repara que dá para colocar em evidência um termo ( 1 - x ) e dois termos ( 1 + x ) :

f ' x = - 2 1 + x + 3 1 - x   1 - x   1 + x 2

f ' x = - 2 - 2 x + 3 - 3 x   1 - x   1 + x 2

f ' x = 1 - 5 x   1 - x 1 + x 2

Passo 2

Agora que já temos a derivada, para descobrir aonde essa função é crescente ou decrescente precisamos fazer um quadro de sinais com a derivada primeira:

f ' x = ( 1 - 5 x ) 1 - x 1 + x 2

Para construir esse quadro de sinais, é necessário avaliar cada termo dessa derivada. Por exemplo, para 1 - x , sabemos que para qualquer valor de x maior que um, esse termo ficará negativo e para qualquer valor menor que 1, positivo.

Para 1 - 5 x , essa inversão de sinais ocorre em x = 1 / 5 . Mas e para 1 + x 2 ? Nesse caso, para qualquer valor de x, o resultado será positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo e o número “1” que estamos somando também é!

Então, a nossa tabela de sinais fica assim:

A última linha, sinal de f ' ( x ) , é obtida pela multiplicação das outras linhas. Como assim? Vamos olhar para a quarta coluna da tabela. Nessa coluna, multiplicando os sinais das três primeiras linhas (-, + e +), o resultado do produto dá negativo. Portanto, esse é o sinal da última linha (sinal de f ' ( x ) )!

Daí tiramos que a função f ( x ) cresce em todo o domínio, menos no intervalo ( 1 / 5,1 ) , onde é, portanto, decrescente. Formalmente falando:

f   c r e s c e n t e   ∀   x ∈ - ∞ , - 1 ∪ ( - 1,1 / 5 ) ∪ ( 1 , ∞ )

f   d e c r e s c e n t e   ∀   x ∈ ( 1 / 5,1 )

Resposta

i   f   c r e s c e n t e   ∀   x ∈ - ∞ , - 1 ∪ ( - 1,1 / 5 ) ∪ ( 1 , ∞ )

i i   f   d e c r e s c e n t e   ∀   x ∈ ( 1 / 5,1 )

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2013.1 – 4

Considere f e g funções definidas pelos gráficos abaixo. Sabendo que r é tangente ao gráfico da f e ao da g em x = 3 , e que r corta os eixos nos pontos indicados, faça um esboço, no mesmo par de eixos, do gráfico das derivadas f ' e g ' .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de pensar no gráfico em si da função, vamos pensar o que diabos aquela reta tangente ali tem a ver com a história. Bem, sabemos que ela, por ser tangente, vai ter a mesma derivada das duas funções no ponto de tangência. A reta passa pelo ponto ( 3,0 ) , então:

y - y 0 = m x - x 0 ⟹ y - 0 = m x - 3 ⟹ y = m ( x - 3 )

Olhando o gráfico, também dá para perceber que a reta toca o eixo y ( x = 0 ) no ponto y = - 6 . Assim, a reta passa pelo ponto ( 0 , - 6 ) também, substituindo para achar m :

- 6 = m 0 - 3 ⟹ m = 2

Show, então a derivada de f e g vale 2 no ponto x = 3 , que é o ponto de tangência.

Passo 2

Vamos concentrar agora na parte onde não temos valores. Sabemos que onde o gráfico cresce a derivada é positiva. Onde decresce ela é negativa. Esboçando umas regiões de crescimento e decrescimento:

Até x = 1 , as duas derivadas são negativas. A partir daí, positivas. Em x = 1 as derivadas são horizontais (olhe a linha pontilhada no gráfico) e, portanto:

f ' 1 = g ' 1 = 0

Agora, repara naquele sinal de negativo pequeno que ali no fim: o gráfico g volta a decrescer a partir daí, ou seja, um pouco à frente de x = 3 . f , porém, continua crescendo.

Passo 3

Agora podemos propriamente esboçar o crescimento e decrescimento das derivadas:

Esclarecendo uma coisa mais: Nesse caso, você não precisa saber como é o desenho do gráfico, a única coisa numérica é que f ' 1 = g ' 1 = 0 e f ' 3 = g ' 3 = 2 . Para construir o resto, usamos os intervalos de crescimento e decrescimento.

Resposta

( F i g u r a   a c i m a )

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