Teste de Crescimento e Decrescimento

Teoria Completa

Introdução

Imagina que em uma questão temos a função y = x 3 + 3 x 2 - 2 e precisamos descobrir em que intervalos a função é crescente e decrescente. Bom se tiver o gráfico dela facilita bastante, olha só:

Só olhando pro gráfico conseguimos dizer que a função está decrescendo no intervalo ( - 2 ,   0 ) e crescente no resto, ou seja, ( - ∞ , 2 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) .

Masss... Nem sempre vamos ter o gráfico, então como achar intervalos onde a função é crescente ou decrescente?

O que é o teste de crescimento e decrescimento?

Ele nada mais é do que uma forma rápida pra acharmos os intervalos onde uma função é crescente e onde é decrescente, e vai ser suuuuper útil quando a gente tiver que fazer esboços de gráficos.

Pra entender de onde esse teste vem, precisamos pensar na derivada primeira da função em um ponto como sendo o coeficiente angular da reta tangente angular naquele ponto, lembra disso?

Mas o que a reta tangente tem a ver com isso? Vamos descobrir, dá uma olhada:

Se olharmos bem, quando a função é decrescente, a reta tangente à ela no ponto também é decrescente, ou seja, tem coeficiente angular negativo o que significa que a derivada naquele ponto é negativa. E o mesmo raciocínio vale pra quando estiver num intervalo onde a função é crescente, ou seja, vai ter derivada positiva.

Ficou confuso? Aí vai um resuminho:

Casos com quadro de sinais

Legal? Tranquilo? Show? Ok, então tem mais uma para você. Pode ser que a derivada seja uma função meio complicada, e aí muitas vezes vamos ter que montar aquele famoso quadrinho de sinais pra descobrir os sinais da derivada, olha esse exemplo:

f ' x = x 2 - 3 3 x 2 - 1 3

Para montar esse quadro vamos seguir algumas regrinhas:

  1. Tenha a função em produtos e razões de termos;
  2. Os termos que nos interessam na nossa questão são

    x 2 - 3

    x 2 - 1

  3. Ignore os termos que não mudam de sinal e considere aqueles que mudam de sinal;
  4. No caso da nossa questão todos os termos podem mudar de sinal

  5. Na primeira linha coloque em ordem crescente todas as raízes dos termos e na primeira coluna coloque os próprios termos;
  6. Como as raízes de x 2 - 3 são ± 3 e as raízes de x 2 - 1 são ± 1 , então fica assim:

  7. Nas células, coloque o sinal de cada termo em cada intervalo;
  8. No nosso caso vamos ter que analisar, por exemplo que o termo x 2 - 1 tem um gráfico assim

    Então é negativa entre - 1   e 1 , e positivo no resto. E o mesmo raciocínio vale pro termo   x 2 - 3 que será negativo entre - 3 e 3 , quando preenchermos o quadro fica assim:

  9. E por fim multiplique os sinais e coloque na última linha na coluna “Sinais” o sinal resultante:

Agora é só falar que quando o sinal da derivada for positivo a função é crescente, e aonde o sinal for negativo a função é decrescente.

Então essa função será:

d e s c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x ∈   - 3 , - 1 ∪ ( 1 , 3 )

E:

c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x ∈   - ∞ , - 3 ∪ - 1,1 ∪ ( 3 , ∞ )

Poxa, falamos de quando a derivada é positiva ou negativa, mas e quando ela é zero ou não existe? No ponto em que a derivada é zero ou não existe, temos um chamado ponto crítico.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ - Cálculo 1 – Professora Renata - Lista Derivadas – 15 - Modificado

Determine:

  ( i ) Os intervalos nos quais f é crescente.

( i i ) Os intervalos nos quais f é decrescente.

f x = 1 - x 2 1 + x 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para chegar nesses extremos precisamos derivar. Não precisamos nem transformar isso num polinômio e derivar, dá para usar a Regra do Produto:

f ' x = 1 - x 2 ' 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 1 + x 3 ] '

f ' x = [ 2 1 - x ⋅ 1 - x ' ] 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 3 1 + x 2 . ( 1 + x ) ' ]

f ' x = [ - 2 1 - x ] 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 3 1 + x 2 ]

Repara que dá para colocar em evidência um termo ( 1 - x ) e dois termos ( 1 + x ) :

f ' x = - 2 1 + x + 3 1 - x   1 - x   1 + x 2

f ' x = - 2 - 2 x + 3 - 3 x   1 - x   1 + x 2

f ' x = 1 - 5 x   1 - x 1 + x 2

Passo 2

Agora que já temos a derivada, para descobrir aonde essa função é crescente ou decrescente precisamos fazer um quadro de sinais com a derivada primeira:

f ' x = ( 1 - 5 x ) 1 - x 1 + x 2

Para construir esse quadro de sinais, é necessário avaliar cada termo dessa derivada. Por exemplo, para 1 - x , sabemos que para qualquer valor de x maior que um, esse termo ficará negativo e para qualquer valor menor que 1, positivo.

Para 1 - 5 x , essa inversão de sinais ocorre em x = 1 / 5 . Mas e para 1 + x 2 ? Nesse caso, para qualquer valor de x, o resultado será positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo e o número “1” que estamos somando também é!

Então, a nossa tabela de sinais fica assim:

A última linha, sinal de f ' ( x ) , é obtida pela multiplicação das outras linhas. Como assim? Vamos olhar para a quarta coluna da tabela. Nessa coluna, multiplicando os sinais das três primeiras linhas (-, + e +), o resultado do produto dá negativo. Portanto, esse é o sinal da última linha (sinal de f ' ( x ) )!

Daí tiramos que a função f ( x ) cresce em todo o domínio, menos no intervalo ( 1 / 5,1 ) , onde é, portanto, decrescente. Formalmente falando:

f   c r e s c e n t e   ∀   x ∈ - ∞ , - 1 ∪ ( - 1,1 / 5 ) ∪ ( 1 , ∞ )

f   d e c r e s c e n t e   ∀   x ∈ ( 1 / 5,1 )

Resposta

i   f   c r e s c e n t e   ∀   x ∈ - ∞ , - 1 ∪ ( - 1,1 / 5 ) ∪ ( 1 , ∞ )

i i   f   d e c r e s c e n t e   ∀   x ∈ ( 1 / 5,1 )

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2013.1 – 4

Considere f e g funções definidas pelos gráficos abaixo. Sabendo que r é tangente ao gráfico da f e ao da g em x = 3 , e que r corta os eixos nos pontos indicados, faça um esboço, no mesmo par de eixos, do gráfico das derivadas f ' e g ' .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de pensar no gráfico em si da função, vamos pensar o que diabos aquela reta tangente ali tem a ver com a história. Bem, sabemos que ela, por ser tangente, vai ter a mesma derivada das duas funções no ponto de tangência. A reta passa pelo ponto ( 3,0 ) , então:

y - y 0 = m x - x 0 ⟹ y - 0 = m x - 3 ⟹ y = m ( x - 3 )

Olhando o gráfico, também dá para perceber que a reta toca o eixo y ( x = 0 ) no ponto y = - 6 . Assim, a reta passa pelo ponto ( 0 , - 6 ) também, substituindo para achar m :

- 6 = m 0 - 3 ⟹ m = 2

Show, então a derivada de f e g vale 2 no ponto x = 3 , que é o ponto de tangência.

Passo 2

Vamos concentrar agora na parte onde não temos valores. Sabemos que onde o gráfico cresce a derivada é positiva. Onde decresce ela é negativa. Esboçando umas regiões de crescimento e decrescimento:

Até x = 1 , as duas derivadas são negativas. A partir daí, positivas. Em x = 1 as derivadas são horizontais (olhe a linha pontilhada no gráfico) e, portanto:

f ' 1 = g ' 1 = 0

Agora, repara naquele sinal de negativo pequeno que ali no fim: o gráfico g volta a decrescer a partir daí, ou seja, um pouco à frente de x = 3 . f , porém, continua crescendo.

Passo 3

Agora podemos propriamente esboçar o crescimento e decrescimento das derivadas:

Esclarecendo uma coisa mais: Nesse caso, você não precisa saber como é o desenho do gráfico, a única coisa numérica é que f ' 1 = g ' 1 = 0 e f ' 3 = g ' 3 = 2 . Para construir o resto, usamos os intervalos de crescimento e decrescimento.

Resposta

( F i g u r a   a c i m a )

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