Teste de crescimento e decrescimento

Resumo Completo

Esse capítulo é importantíssimo como base para o início da análise de esboço de gráficos e para entender o comportamento de uma função, então vamo lá!

O teste CD (a letra C vem da palavra crescimento e a letra D de decrescimento) nos ajuda a determinar quando uma função cresce ou decresce (duuuh!).

Lá vai:

Ou seja, dada a derivada de determinada função, agora tudo se resume a procurar em que regiões ela é positiva ou negativa.

Legal? Tranquilo? Show? Ok, então tem mais uma para você. Pode ser que a derivada seja uma função meio complicada, como:

f ' x = x 2 - 3 3 x 2 - 1 3

E aí, como faz? Fazemos o quadro de sinal, onde a gente vê os sinais que aparecem na função e determina qual vai ser o sinal dela. Para montá-lo:

  1. Tenha a função em produtos e razões de termos;
  2. Ignore os termos que não mudam de sinal;
  3. Considere aqueles que mudam de sinal;
  4. Na primeira linha, coloque todas as raízes dos termos;
  5. Na primeira coluna, coloque os termos;
  6. Nas células, coloque o sinal de cada termo em cada intervalo;
  7. Multiplique os sinais e coloque na última linha na coluna “Sinais” o sinal resultante.

Então essa função será:

d e s c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x   - 3 , - 1 ( 1 , 3 )

E:

c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x   - , - 3 - 1,1 ( 3 , )

Poxa, falamos de quando a derivada é positiva ou negativa, mas e quando ela é zero ou não existe? No ponto em que a derivada é zero ou não existe, temos um chamado ponto crítico.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

UERJ - Cálculo 1 – Professora Renata - Lista Derivadas – 15 - Modificado

Determine:

  ( i ) Os intervalos nos quais f é crescente.

( i i ) Os intervalos nos quais f é decrescente.

f x = 1 - x 2 1 + x 3

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos, para chegar nesses extremos precisamos derivar. Não precisamos nem transformar isso num polinômio e derivar. Dá para usar a Regra do Produto:

f ' x = 1 - x 2 ' 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 1 + x 3 ] '

f ' x = [ 2 1 - x 1 - x ' ] 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 3 1 + x 2 ]

f ' x = [ - 2 1 - x ] 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 3 1 + x 2 ]

Repara que dá para colocar em evidência um termo ( 1 - x ) e dois ( 1 + x ) :

f ' x = - 2 1 + x + 3 1 - x 1 - x 1 + x 2

f ' x = - 2 - 2 x + 3 - 3 x 1 - x 1 + x 2

f ' x = ( 1 - 5 x ) 1 - x 1 + x 2

Passo 2

Agora que já temos a derivada, para descobrir aonde essa função é crescente ou decrescente precisamos fazer um quadro de sinais com a derivada primeira:

f ' x = ( 1 - 5 x ) 1 - x 1 + x 2

Daí tiramos que a função f ( x ) cresce em todo o domínio, menos no intervalo ( 1 / 5,1 ) , onde é, portanto, decrescente. Formalmente falando:

f   c r e s c e n t e     x - , - 1 ( - 1,1 / 5 ) ( 1 , )

f   d e c r e s c e n t e     x ( 1 / 5,1 )

Resposta

i   f   c r e s c e n t e     x - , - 1 ( - 1,1 / 5 ) ( 1 , )

i i   f   d e c r e s c e n t e     x ( 1 / 5,1 )

Exercício Resolvido #2

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2013.1 – 4

Considere f e g funções definidas pelos gráficos abaixo. Sabendo que r é tangente ao gráfico da f e ao da g em x = 3 , e que r corta os eixos nos pontos indicados, faça um esboço, no mesmo par de eixos, do gráfico das derivadas f ' e g ' .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Antes de pensar no gráfico em si da função, vamos pensar o que diabos aquela reta tangente ali tem a ver com a história. Bem, sabemos que ela, por ser tangente, vai ter a mesma derivada das duas funções no ponto de tangência. A reta passa pelo ponto ( 3,0 ) , então:

y - y 0 = m x - x 0 y - 0 = m x - 3 y = m ( x - 3 )

Olhando o gráfico, também dá para perceber que a reta toca o eixo y ( x = 0 ) no ponto y = - 6 . Assim, a reta passa pelo ponto ( 0 , - 6 ) também, substituindo para achar m :

- 6 = m 0 - 3 m = 2

Show, então a derivada de f e g vale 2 no ponto x = 3 , que é o ponto de tangência.

Passo 2

Vamos concentrar agora na parte onde não temos valores. Sabemos que onde o gráfico cresce a derivada é positiva. Onde decresce ela é negativa. Esboçando umas regiões de crescimento e decrescimento:

Até x = 1 , as duas derivadas são negativas. A partir daí, positivas. Em x = 1 as derivadas são horizontais (olhe a linha pontilhada no gráfico) e, portanto:

f ' 1 = g ' 1 = 0

Agora, repara naquele sinal de negativo pequeno que ali no fim: o gráfico g volta a decrescer a partir daí, ou seja, um pouco à frente de x = 3 . f , porém, continua crescendo.

Passo 3

Agora podemos propriamente esboçar o crescimento e decrescimento das derivadas:

Esclarecendo uma coisa mais: Nesse caso, você não precisa saber como é o desenho do gráfico, a única coisa numérica é que f ' 1 = g ' 1 = 0 e f ' 3 = g ' 3 = 2 . Para construir o resto, usamos os intervalos de crescimento e decrescimento.

Resposta

( F i g u r a   a c i m a )

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