Concavidade

Teoria Completa

Agora chegou a hora de a gente estudar a concavidade de uma função!

Ok, ok. Talvez concavidade não seja um assunto tããão empolgante assim, mas você vai ver que isso tudo é bastante útil, prometo.

Antes de falar quando uma função é côncava para cima ou para baixo, vamos relembrar o que é concavidade em si. A concavidade é a “concha” da função.

Chamamos a função à esquerda (em vermelho) de côncava para baixo e a da direita (em azul) de côncava para cima.

Regiões de concavidade para cima ocorrem quando a derivada segunda é positiva e concavidade para baixo quando ela é negativa.

Nós todos estudávamos concavidade em funções do segundo grau no colégio. Vamos recordar a regrinha da concavidade?

Nós tínhamos um polinômio de segundo grau da forma:

f x = a x 2 + b x + c

E a concavidade era pra cima quando:

a > 0

E para baixo quando:

a < 0

Uma forma de você lembrar isso tudo é se preocupando com os sentimentos da função e notando que ela pode estar triste ou feliz, conforme você pode observar abaixo. Quando o a é positivo, é sexta-feira, a função sorri e é côncava para cima:

Quando é negativo, é segunda-feira e ela está triste. Esses olhos no gráfico da função estão aí para interpretação das atrizes-parábolas ser mais convincente:

Vamos experimentar aplicar a regra da derivada segunda para observar esse fato? A regra nos diz que a concavidade é para cima quando f ' ' > 0 e para baixo quando f ' ' < 0 . Aplicando:

f x = a x 2 + b x + c

f ' x = 2 a x + b

f ' ' x = 2 a

Temos então:

f ' ' x > 0 2 a > 0

f ' ' x < 0 2 a < 0

Não é a mesma coisa? Sim, essa constante “ 2 ” que apareceu não influencia em nada na inequação! As regras são equivalentes, só que a nossa regra de derivada segunda é mais genérica, isto é, ela vale para todas as funções.

Um elemento importante e que ajuda bastante na hora de construir os gráficos é o ponto de inflexão. Esse ponto nada mais é do que o ponto onde a função troca a concavidade. Se estava pra cima, passa a ser pra baixo, e vice-versa. Mas você pode estar se perguntando: “E como eu acho esse ponto?” Muito simples. Basta achar as raízes da derivada segunda! Vamos ver com mais detalhe no exemplo.

Um exemplo bacana de concavidade é a função x 3 . Dá pra enxergar direitinho que a concavidade dela muda na origem:

Pois temos que f ' x = 3 x 2 e, portanto, f ' ' x = 6 x . Agora, qual o valor de x pra que f ' ' x = 0 ? Ou seja, qual a raiz de f ' ' ( x ) ?

Nesse caso, a raiz da derivada segunda, f ' ' x = 6 x , é x = 0 . Assim, o ponto x = 0 é um ponto de inflexão pra função x 3 . Então, como podemos ver no desenho, esse é o ponto onde a concavidade muda: antes era para baixo, depois foi para cima.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ - Cálculo 1 - Professora Renata - Lista Derivadas – 16 - Modificado

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x =       2 x 2 + 3  

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Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = 2 ' x 2 + 3 - 2 x 2 + 3 ' x 2 + 3 2 = - 4 x x 2 + 3 2

Olha lá, usando a regra do quociente, a segunda derivada:

f ' ' x = - 4 x ' x 2 + 3 2 - - 4 x x 2 + 3 2 ' x 2 + 3 2 2

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 2 - - 4 x 2 x 2 + 3 x 2 + 3 ' x 2 + 3 4

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 2 - - 4 x 2 x 2 + 3 2 x x 2 + 3 4

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 2 - - 16 x 2 x 2 + 3 x 2 + 3 4

Dividindo em cima e em baixo por x 2 + 3 , temos:

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 - - 16 x 2 x 2 + 3 3

f ' ' x = - 4 x 2 - 12 + 16 x 2 x 2 + 3 3

f ' ' x = 12 x 2 - 12 x 2 + 3 3

E por fim:

f ' ' x = 12 x 2 - 1 x 2 + 3 3

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal. Olhando para o denominador primeiro, o termo ( x 2 + 3 ) por si só não tem raiz e é sempre positivo. Quando elevado ao cubo ele se mantém sempre positivo. No fim, tudo se resume ao sinal do termo superior:

x 2 - 1

Para analisarmos o sinal do termo superior, vamos fazer as raízes de f ' ' x , vamos ter:

f ' ' x = 12 x 2 - 1 x 2 + 3 3 = 0

x 2 - 1 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Com essas raízes, temos 3 intervalos pra checar:

- , - 1 ; - 1,1 ; ( 1 , )

Testamos o sinal escolhendo um valor dentro de cada um desses intervalos, como a segunda derivada só muda de sinal nas raízes, o sinal de qualquer valor escolhido dentro de cada intervalo será verdade para todo o intervalo. Agora, qual valor escolher? O que for mais conveniente.

Passo 3

Dá para gente escolher x = - 2 para o primeiro, x = 0 para o segundo e x = 2 para o terceiro. Vamos lá:

f ' ' - 2 = 12 3 7 3 > 0   ; f ' ' 0 = 12 - 1 3 3 < 0   ; f ' ' 2 = 12 3 7 3 > 0

Ora, vemos que f ' ' x só é negativa dentro do intervalo [ - 1,1 ] . Isso significa que a função é côncava para cima para todo x , menos quando x [ - 1,1 ] , onde ela é côncava para baixo.

O ponto de inflexão é aquele onde a segunda derivada muda de sinal e, portanto, aquelas raízes que a gente achou:

x = 1 ; x = - 1

Se você prefere pelo quadro de sinais:

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a   e m   - , - 1 ( 1 , + )   ;   C ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   ( - 1,1 )

Pontos de inflexão:

x = 1 ; x = - 1

Exercício Resolvido #2

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 302-78.

O que se pode dizer sobre o gráfico de uma função y = f ( x ) que possui uma segunda derivada contínua que nunca é zero? Justifique sua resposta.

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Passo 1

Bem, a questão está perguntando sobre a influência da segunda derivada no gráfico, dadas as condições.

Vimos na teoria que a segunda derivada está relacionada com a concavidade do gráfico, então temos que concluir algo a respeito disso.

Passo 2

Pois bem, quais são as informações quanto à segunda derivada? Ela é contínua e nunca é zero.

Ok, para uma segunda derivada contínua (e qualquer função contínua no geral) mudar de sinal, ela precisa passar por zero (ser igual à zero) em algum momento.

Do contrário, ela saltaria de um valor negativo para um positivo ou vice-versa e isso não pode, pois a segunda derivada é continua e, sendo assim, não dá saltos.

Assim, como a segunda derivada nunca é zero, ela não muda nunca de sinal.

Finalmente, se a segunda derivada nunca muda de sinal, o gráfico terá sempre a mesma concavidade, para cima ou para baixo ;-).

Resposta

Ela não muda sua concavidade

Exercício Resolvido #3

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x =     sinh x + cosh x - 4 x 2 + 9  

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Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = cosh x + sinh x - 8 x

E derivando mais uma vez, pescamos a seguinte função:

f ' ' x = sinh x + cosh x - 8

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra gente ver o sinal, temos que igualar a 0 , beleza? Então saca só:

f ' ' x = sinh x + cosh x - 8 = 0

sinh x + cosh x = 8

Eita, e agora? Bem, se lembrarmos da definição das funções hiperbólicas:

sinh x = e x - e - x 2

cosh x = e x + e - x 2

Ficamos com:

e x - e - x 2 + e x + e - x 2 = 8

e x - e - x + e x + e - x = 16

2 e x = 16

e x = 8

x = ln 8

Então ficamos com um ponto de inflexão só!

Passo 3

Pra saber agora quando que a concavidade é pra cima e pra baixo basta a gente ver o sinal. Se x = ln 8 é um ponto de inflexão, vamos testar:

x = ln 9

Ficamos com:

f ' ' ln 9 = sinh ln 9 + cosh ln 9 - 8

f ' ' ln 9 = e ln 9 - e - ln 9 2 + e ln 9 + e - ln 9 2 - 8

f ' ' ln 9 = 9 - 1 9 2 + 9 + 1 9 2 - 8

f ' ' ln 9 = 9 2 + 9 2 - 8 = 9 - 8 = 1 > 0

E testando:

x = ln 7

Ficamos com:

f ' ' ln 7 = sinh ln 7 + cosh ln 7 - 8

f ' ' ln 7 = e ln 7 - e - ln 7 2 + e ln 7 + e - ln 7 2 - 8

f ' ' ln 7 = 7 - 1 7 2 + 7 + 1 7 2 - 8

f ' ' ln 7 = 7 2 + 7 2 - 8 = 7 - 8 = - 1 < 0

Logo a concavidade vai ser:

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   e m   - , ln 8   ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   ( ln 9 , + )

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   e m   - , ln 8   ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   ( ln 9 , + )

Pontos de inflexão:

x = ln 8

Exercício Resolvido #4

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x = 1 x 3 - 8 x 2  

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Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Um truque aqui pra calcular a derivada vai ser lembrar que:

x = x 2

Como trabalhar com módulo de x 3 é complicado, vamos usar a definição pra reescrever:

x 3 = x 3 2 = x 6 = x 4 x 2 =     x 2 2 x 2 =   x 2 x

Como x 2 é sempre positivo:

x 3 =   x 2 x

Nós fizemos isso porque a derivada de x é mais tranquila de fazer do que de x 3 , saca só:

d x d x = d x 2 d x = 2 x 2 x 2 = 2 x x 2 2 x 2 = x 2 x = x x

d d x x = x x

Podemos reescrever então a função para:

f x = 1 x 3 - 8 x 2 = 1   x 2 x - 8 x 2

Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = - x 2 x ' x 6 - 16 x = - 2 x x + x 2 x x x 6 - 16 x  

f ' x = - 3 x x x 6 - 16 x = - 3 x x 5 - 16 x

Fazendo a segunda derivada:

f ' ' x = - 3 x ' x 5   - 3 x x 5 ' x 10 - 16

f ' ' x = - 3 x x x 5   - 3 x 5 x 4 x 10 - 16 = - 3 x x 4   - 15 x x 4 x 10 - 16

f ' ' x = - 3 x   - 15 x x 6 - 16 = - - 12 x x 6 - 16

f ' ' x = 12 x x 6 - 16

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal. Olhando para o denominador da primeira parcela, vemos que o ponto x = 0 é um ponto que da problema por gerar uma indeterminação. Então salva ai esse ponto. Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra isso, só partir pro clássico “deriva e iguala à 0 ”. Simbora:

f ' ' x = 12 x x 6 - 16 = 0

12 x x 6 = 16 12 x = 16 x 6 x = 4 3 x 6

x 2 = 4 3 x 6 x 2 = 16 9 x 12 x = ±   16 9 x 12

  x = ± 4 3 x 6 x 5 = ± 3 4

x = ± 0,944

Opa, dois pontos de inflexão e um ponto que a segunda derivada não esta definida. Show, vamos analisar então o sinal dela para os intervalos

x < - 0,944

- 0,944 x < 0

0 x 0,944

x > 0,944

Passo 3

Como os intervalos são x < - 0,944

- 0,944 x < 0

0 x 0,944

x > 0,944

Vamos escolher valores que estejam dentro desse intervalo, beleza? Pro primeiro, se eu escolher x = - 1

f ' ' - 1 = 12 - 1 - 1 6 - 16 = 12 . 1 1 - 16 = - 4

Pro segundo intervalo, vamos usar x = - 0,5 :

f ' ' - 0,5 = 12 - 0,5 - 0,5 6 - 16 = 12 . 0,5 0,015625 - 16 = 368

Pro terceiro intervalo, vamos usar x = 0,5 :

f ' ' 0,5 = 12 0,5 0,5 6 - 16 = 12 . 0,5 0,015625 - 16 = 368

E pro último intervalo, vamos usar x = 1 pra testar, ficamos com:

f ' ' 1 = 12 1 1 6 - 16 = 12 . 1 1 - 16 = - 4

Como a concavidade é pra cima quando f ' ' x > 0 e pra baixo quando f ' ' x < 0 , fechamos a questão! A resposta final vai ser:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a   e m   - 0,944   ; 0 0   ;   0,944    

C ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   -     ; - 0,944 0,944   ;  

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a   e m   - 0,944   ; 0 0   ;   0,944    

C ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   -     ; - 0,944 0,944   ;  

Pontos de inflexão:

x = ± 0,944

Exercício Resolvido #5

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x =       72 x 3 + ln x 2  

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Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = 216 x 2 + 1 x 2 x 2 ' = 216 x 2 + 2 x x 2 = 216 x 2 + 2 x

E a segunda derivada:

f ' ' x = 432 x - 2 x 2

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal. Olhando para o denominador do segundo termo, vemos que x = 0 é um ponto que dá problema. Até porque 2 0 é uma indeterminação!

Show, então vamos guardar esse ponto no bolso e vamos partir pros pontos que zeram a segunda derivada, beleza? Simbora:

f ' ' x = 432 x - 2 x 2 = 0

432 x = 2 x 2

432 x 3 = 2

x 3 = 2 432 = 1 216

x = 1 6

E temos só um ponto de inflexão!

Passo 3

Agora que a gente sabe o ponto de inflexão vamos testar alguns valores pra vermos o sinal da derivada, ok? Os valores, já que temos x = 1 6 e x = 0 como pontos interessantes, vão ser valores nesses intervalos:

x < 0

0 < x < 1 6

x > 1 6

Pro primeiro intervalo, vamos testar x = - 1

f ' ' - 1 = 432 - 1 - 2 - 1 2 = - 432 - 2 = - 434 < 0

Pro segundo intervalo, vamos testar x = 0,1

f ' ' 0,1 = 432 0,1 - 2 0,1 2 = 43,2 - 200 = - 156,8 < 0

E pro último, vamos testar x = 1 :

f ' ' 1 = 432 1 - 2 1 2 = 432 - 2 = 430 > 0

Como a concavidade é pra cima quando f ' ' x > 0 e pra baixo quando f ' ' x < 0 , vamos ficar com:

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   e m   -   ;   0 0   ; 1 6  

C ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   1 6   ;   +

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   e m   -   ;   0 0   ; 1 6  

C ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   1 6   ;   +

Pontos de inflexão:

x = 1 6

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