Concavidade

Teoria Completa

Faaala gente, você já deve ter se deparado em algum momento com a ideia de concavidade de uma função. Lá no ensino médio, aprendemos uma regrinha para saber quando temos a concavidade para cima (ou para baixo) em uma função do segundo grau.

Mas e se temos uma função, tipo essa aqui?

f x = x e - 3 x

Como sabemos que concavidade ela vai ter?

Para nos ajudar com esse problema, vamos ter a ajuda da nossa querida derivada.

Então hehe, chegou a hora de a gente estudar a concavidade de umas funções!

Ok, ok. Talvez concavidade não seja um assunto tããão empolgante assim, mas você vai ver que isso tudo é bastante útil, prometo.

Antes de falar quando uma função é côncava para cima ou para baixo, vamos relembrar o que é concavidade em si. A concavidade é a “concha” da função.

Chamamos a função à esquerda (em vermelho) de côncava para baixo e a da direita (em azul) de côncava para cima.

Então, com essa ideia vamos ver algumas funções.

Concavidades em funções do segundo grau

Mas antes de partimos para o universo das derivadas, nós todos estudávamos concavidade em funções do segundo grau no colégio. Vamos recordar a regrinha da concavidade?

Nós tínhamos um polinômio de segundo grau da forma:

f x = a x 2 + b x + c

E a concavidade era pra cima quando:

a > 0

E para baixo quando:

a < 0

Uma forma de você lembrar isso tudo é se preocupando com os sentimentos da função e notando que ela pode estar triste ou feliz, conforme você pode observar abaixo. Quando o a é positivo, é sexta-feira, a função sorri e é côncava para cima:

Quando é negativo, é segunda-feira e ela está triste. Esses olhos no gráfico da função estão aí para interpretação das atrizes-parábolas serem mais convincente:

Concavidade por meio da derivada segunda

Em casos maais difíceis, como a que vimos no início:

f x = x e - 3 x

Não temos como descobrir só batendo o olho nela, se a concavidade é para cima ou para baixo.

Para isso, vou te falar de um truque que a derivada faz pra gente, é só seguir esses dois passos aqui:

1º Passo: Pega a função e deriva ela duas vezes, ou seja, pega a derivada segunda.

2º Passo: Estuda o sinal de f ' ' ( x ) , onde ela for positiva a concavidade vai ser para cima. E onde ela for negativa a concavidade é para baixo.

Então, vamos fazer o nosso exemplo:

f x = x e - 3 x

1º Passo: Pega a função e deriva ela duas vezes, ou seja, pega a derivada segunda.

Derivando a primeira vez:

f ' x = 1 e - 3 x + x - 3 e - 3 x = 1 - 3 x e - 3 x

Derivando novamente:

f ' ' x = - 3 e - 3 x + 1 - 3 x - 3 e - 3 x = 9 x - 6 e - 3 x

2º Passo: Estuda o sinal de f ' ' ( x ) , onde ela for positiva a concavidade vai ser para cima. E onde ela for negativa a concavidade é para baixo.

Ou seja, queremos saber quando f ' ' ( x ) > 0 e f ' ' ( x ) < 0

Então:

( 9 x - 6 ) e - 3 x > 0

Como e - 3 x é uma exponencial, ela nunca vai ser menor que 0, podemos elevar a qualquer número e sempre vai ser positivo.

Assim, precisamos estudar o sinal apenas de ( 9 x - 6 ) , quando ela for positiva, vamos ter positivo com positivo se multiplicando e o resultado vai ser positivo. E quando for negativo teremos positivo com negativo que resulta em negativo.

Assim:

( 9 x - 6 ) > 0

9 x > 6

x > 6 9   o u   x > 2 3

E vai ser negativa quando:

x < 2 3

Assim, antes do 2 3 a função tem concavidade pra baixo e quando x for maior que 2 3 a função tem concavidade para cima.

Agora, vamos experimentar aplicar a regra da derivada segunda para observar a regrinha da função do segundo grau?

f x = a x 2 + b x + c

1º Passo: Pega a função e deriva ela duas vezes, ou seja, pega a derivada segunda.

f ' x = 2 a x + b

f ' ' x = 2 a

2º Passo: Estuda o sinal de f ' ' ( x ) .

A regra nos diz que a concavidade é para cima quando f ' ' > 0 e para baixo quando f ' ' < 0 .

f ' ' x > 0 → 2 a > 0

f ' ' x < 0 → 2 a < 0

Não é a mesma coisa? Sim, essa constante “ 2 ” que apareceu não influencia em nada na inequação! As regras são equivalentes, só que a nossa regra de derivada segunda é mais genérica, isto é, ela vale para todas as funções.

Pontos de inflexão

Já vimos que a concavidade é para cima quando f ' ' > 0 e para baixo quando f ' ' < 0 . Mas e quando f ' ' x = 0 ?

Esse é o nosso querido ponto de inflexão.

Esse ponto é elemento importante e que ajuda bastante na hora de construir os e ele nada mais é do que o ponto onde a função troca a concavidade.

Se estava pra cima, passa a ser pra baixo, e vice-versa. Mas você pode estar se perguntando: “E como eu acho esse ponto?” Muito simples. Basta achar as raízes da derivada segunda! Vamos ver com mais detalhe no exemplo.

Um exemplo bacana de concavidade é a função x 3 . Dá pra enxergar direitinho que a concavidade dela muda na origem:

Pois temos que f ' x = 3 x 2 e, portanto, f ' ' x = 6 x . Agora, qual o valor de x pra que f ' ' x = 0 ? Ou seja, qual a raiz de f ' ' ( x ) ?

Nesse caso, a raiz da derivada segunda, f ' ' x = 6 x , é x = 0 . Assim, o ponto x = 0 é um ponto de inflexão pra função x 3 . Então, como podemos ver no desenho, esse é o ponto onde a concavidade muda: antes era para baixo, depois foi para cima.

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Exercício Resolvido #1

UERJ - Cálculo 1 - Professora Renata - Lista Derivadas – 16 - Modificado

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x =       2 x 2 + 3  

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Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = 2 ' x 2 + 3 - 2 x 2 + 3 ' x 2 + 3 2 = - 4 x x 2 + 3 2

Olha lá, usando a regra do quociente, a segunda derivada:

f ' ' x = - 4 x ' x 2 + 3 2 - - 4 x x 2 + 3 2 ' x 2 + 3 2 2

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 2 - - 4 x 2 x 2 + 3 x 2 + 3 ' x 2 + 3 4

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 2 - - 4 x 2 x 2 + 3 2 x x 2 + 3 4

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 2 - - 16 x 2 x 2 + 3 x 2 + 3 4

Dividindo em cima e em baixo por x 2 + 3 , temos:

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 - - 16 x 2 x 2 + 3 3

f ' ' x = - 4 x 2 - 12 + 16 x 2 x 2 + 3 3

f ' ' x = 12 x 2 - 12 x 2 + 3 3

E por fim:

f ' ' x = 12 x 2 - 1 x 2 + 3 3

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal. Olhando para o denominador primeiro, o termo ( x 2 + 3 ) por si só não tem raiz e é sempre positivo. Quando elevado ao cubo ele se mantém sempre positivo. No fim, tudo se resume ao sinal do termo superior:

x 2 - 1

Para analisarmos o sinal do termo superior, vamos fazer as raízes de f ' ' x , vamos ter:

f ' ' x = 12 x 2 - 1 x 2 + 3 3 = 0

x 2 - 1 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Com essas raízes, temos 3 intervalos pra checar:

- ∞ , - 1 ; - 1,1 ; ( 1 , ∞ )

Testamos o sinal escolhendo um valor dentro de cada um desses intervalos, como a segunda derivada só muda de sinal nas raízes, o sinal de qualquer valor escolhido dentro de cada intervalo será verdade para todo o intervalo. Agora, qual valor escolher? O que for mais conveniente.

Passo 3

Dá para gente escolher x = - 2 para o primeiro, x = 0 para o segundo e x = 2 para o terceiro. Vamos lá:

f ' ' - 2 = 12 3 7 3 > 0   ; f ' ' 0 = 12 - 1 3 3 < 0   ; f ' ' 2 = 12 3 7 3 > 0

Ora, vemos que f ' ' x só é negativa dentro do intervalo [ - 1,1 ] . Isso significa que a função é côncava para cima para todo x , menos quando x ∈ [ - 1,1 ] , onde ela é côncava para baixo.

O ponto de inflexão é aquele onde a segunda derivada muda de sinal e, portanto, aquelas raízes que a gente achou:

x = 1 ; x = - 1

Se você prefere pelo quadro de sinais:

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a   e m   - ∞ , - 1 ∪ ( 1 , + ∞ )   ;   C ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   ( - 1,1 )

Pontos de inflexão:

x = 1 ; x = - 1

Exercício Resolvido #2

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 302-78.

O que se pode dizer sobre o gráfico de uma função y = f ( x ) que possui uma segunda derivada contínua que nunca é zero? Justifique sua resposta.

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Passo 1

Bem, a questão está perguntando sobre a influência da segunda derivada no gráfico, dadas as condições.

Vimos na teoria que a segunda derivada está relacionada com a concavidade do gráfico, então temos que concluir algo a respeito disso.

Passo 2

Pois bem, quais são as informações quanto à segunda derivada? Ela é contínua e nunca é zero.

Ok, para uma segunda derivada contínua (e qualquer função contínua no geral) mudar de sinal, ela precisa passar por zero (ser igual à zero) em algum momento.

Do contrário, ela saltaria de um valor negativo para um positivo ou vice-versa e isso não pode, pois a segunda derivada é continua e, sendo assim, não dá saltos.

Assim, como a segunda derivada nunca é zero, ela não muda nunca de sinal.

Finalmente, se a segunda derivada nunca muda de sinal, o gráfico terá sempre a mesma concavidade, para cima ou para baixo ;-).

Resposta

Ela não muda sua concavidade

Exercício Resolvido #3

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x =     sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 4 x 2 + 9  

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Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = cosh ⁡ x + sinh ⁡ x - 8 x

E derivando mais uma vez, pescamos a seguinte função:

f ' ' x = sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra gente ver o sinal, temos que igualar a 0 , beleza? Então saca só:

f ' ' x = sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8 = 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x = 8

Eita, e agora? Bem, se lembrarmos da definição das funções hiperbólicas:

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2