Teoria

Faaala gente, você já deve ter se deparado em algum momento com a ideia de concavidade de uma função. Lá no ensino médio, aprendemos uma regrinha para saber quando temos a concavidade para cima (ou para baixo) em uma função do segundo grau.

Mas e se temos uma função, tipo essa aqui?

f x = x e - 3 x

Como sabemos que concavidade ela vai ter?

Para nos ajudar com esse problema, vamos ter a ajuda da nossa querida derivada.

Então hehe, chegou a hora de a gente estudar a concavidade de umas funções!

Ok, ok. Talvez concavidade não seja um assunto tããão empolgante assim, mas você vai ver que isso tudo é bastante útil, prometo.

Antes de falar quando uma função é côncava para cima ou para baixo, vamos relembrar o que é concavidade em si. A concavidade é a “concha” da função.

Chamamos a função à esquerda (em vermelho) de côncava para baixo e a da direita (em azul) de côncava para cima.

Então, com essa ideia vamos ver algumas funções.

Concavidades em funções do segundo grau

Mas antes de partimos para o universo das derivadas, nós todos estudávamos concavidade em funções do segundo grau no colégio. Vamos recordar a regrinha da concavidade?

Nós tínhamos um polinômio de segundo grau da forma:

f x = a x 2 + b x + c

E a concavidade era pra cima quando:

a > 0

E para baixo quando:

a < 0

Uma forma de você lembrar isso tudo é se preocupando com os sentimentos da função e notando que ela pode estar triste ou feliz, conforme você pode observar abaixo. Quando o a é positivo, é sexta-feira, a função sorri e é côncava para cima:

Quando é negativo, é segunda-feira e ela está triste. Esses olhos no gráfico da função estão aí para interpretação das atrizes-parábolas serem mais convincente:

Concavidade por meio da derivada segunda

Em casos maais difíceis, como a que vimos no início:

f x = x e - 3 x

Não temos como descobrir só batendo o olho nela, se a concavidade é para cima ou para baixo.

Para isso, vou te falar de um truque que a derivada faz pra gente, é só seguir esses dois passos aqui:

1º Passo: Pega a função e deriva ela duas vezes, ou seja, pega a derivada segunda.

2º Passo: Estuda o sinal de f ' ' ( x ) , onde ela for positiva a concavidade vai ser para cima. E onde ela for negativa a concavidade é para baixo.

Então, vamos fazer o nosso exemplo:

f x = x e - 3 x

1º Passo: Pega a função e deriva ela duas vezes, ou seja, pega a derivada segunda.

Derivando a primeira vez:

f ' x = 1 e - 3 x + x - 3 e - 3 x = 1 - 3 x e - 3 x

Derivando novamente:

f ' ' x = - 3 e - 3 x + 1 - 3 x - 3 e - 3 x = 9 x - 6 e - 3 x

2º Passo: Estuda o sinal de f ' ' ( x ) , onde ela for positiva a concavidade vai ser para cima. E onde ela for negativa a concavidade é para baixo.

Ou seja, queremos saber quando f ' ' ( x ) > 0 e f ' ' ( x ) < 0

Então:

( 9 x - 6 ) e - 3 x > 0

Como e - 3 x é uma exponencial, ela nunca vai ser menor que 0, podemos elevar a qualquer número e sempre vai ser positivo.

Assim, precisamos estudar o sinal apenas de ( 9 x - 6 ) , quando ela for positiva, vamos ter positivo com positivo se multiplicando e o resultado vai ser positivo. E quando for negativo teremos positivo com negativo que resulta em negativo.

Assim:

( 9 x - 6 ) > 0

9 x > 6

x > 6 9   o u   x > 2 3

E vai ser negativa quando:

x < 2 3

Assim, antes do 2 3 a função tem concavidade pra baixo e quando x for maior que 2 3 a função tem concavidade para cima.

Agora, vamos experimentar aplicar a regra da derivada segunda para observar a regrinha da função do segundo grau?

f x = a x 2 + b x + c

1º Passo: Pega a função e deriva ela duas vezes, ou seja, pega a derivada segunda.

f ' x = 2 a x + b

f ' ' x = 2 a

2º Passo: Estuda o sinal de f ' ' ( x ) .

A regra nos diz que a concavidade é para cima quando f ' ' > 0 e para baixo quando f ' ' < 0 .

f ' ' x > 0 → 2 a > 0

f ' ' x < 0 → 2 a < 0

Não é a mesma coisa? Sim, essa constante “ 2 ” que apareceu não influencia em nada na inequação! As regras são equivalentes, só que a nossa regra de derivada segunda é mais genérica, isto é, ela vale para todas as funções.

Pontos de inflexão

Já vimos que a concavidade é para cima quando f ' ' > 0 e para baixo quando f ' ' < 0 . Mas e quando f ' ' x = 0 ?

Esse é o nosso querido ponto de inflexão.

Esse ponto é elemento importante e que ajuda bastante na hora de construir os e ele nada mais é do que o ponto onde a função troca a concavidade.

Se estava pra cima, passa a ser pra baixo, e vice-versa. Mas você pode estar se perguntando: “E como eu acho esse ponto?” Muito simples. Basta achar as raízes da derivada segunda! Vamos ver com mais detalhe no exemplo.

Um exemplo bacana de concavidade é a função x 3 . Dá pra enxergar direitinho que a concavidade dela muda na origem:

Pois temos que f ' x = 3 x 2 e, portanto, f ' ' x = 6 x . Agora, qual o valor de x pra que f ' ' x = 0 ? Ou seja, qual a raiz de f ' ' ( x ) ?

Nesse caso, a raiz da derivada segunda, f ' ' x = 6 x , é x = 0 . Assim, o ponto x = 0 é um ponto de inflexão pra função x 3 . Então, como podemos ver no desenho, esse é o ponto onde a concavidade muda: antes era para baixo, depois foi para cima.

Concavidades em funções do segundo grau

Concavidade por meio da derivada segunda

Pontos de inflexão

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x =       2 x 2 + 3  

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = 2 ' x 2 + 3 - 2 x 2 + 3 ' x 2 + 3 2 = - 4 x x 2 + 3 2

Olha lá, usando a regra do quociente, a segunda derivada:

f ' ' x = - 4 x ' x 2 + 3 2 - - 4 x x 2 + 3 2 ' x 2 + 3 2 2

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 2 - - 4 x 2 x 2 + 3 x 2 + 3 ' x 2 + 3 4

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 2 - - 4 x 2 x 2 + 3 2 x x 2 + 3 4

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 2 - - 16 x 2 x 2 + 3 x 2 + 3 4

Dividindo em cima e em baixo por x 2 + 3 , temos:

f ' ' x = - 4 x 2 + 3 - - 16 x 2 x 2 + 3 3

f ' ' x = - 4 x 2 - 12 + 16 x 2 x 2 + 3 3

f ' ' x = 12 x 2 - 12 x 2 + 3 3

E por fim:

f ' ' x = 12 x 2 - 1 x 2 + 3 3

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal. Olhando para o denominador primeiro, o termo ( x 2 + 3 ) por si só não tem raiz e é sempre positivo. Quando elevado ao cubo ele se mantém sempre positivo. No fim, tudo se resume ao sinal do termo superior:

x 2 - 1

Para analisarmos o sinal do termo superior, vamos fazer as raízes de f ' ' x , vamos ter:

f ' ' x = 12 x 2 - 1 x 2 + 3 3 = 0

x 2 - 1 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Com essas raízes, temos 3 intervalos pra checar:

- ∞ , - 1 ; - 1,1 ; ( 1 , ∞ )

Testamos o sinal escolhendo um valor dentro de cada um desses intervalos, como a segunda derivada só muda de sinal nas raízes, o sinal de qualquer valor escolhido dentro de cada intervalo será verdade para todo o intervalo. Agora, qual valor escolher? O que for mais conveniente.

Passo 3

Dá para gente escolher x = - 2 para o primeiro, x = 0 para o segundo e x = 2 para o terceiro. Vamos lá:

f ' ' - 2 = 12 3 7 3 > 0   ; f ' ' 0 = 12 - 1 3 3 < 0   ; f ' ' 2 = 12 3 7 3 > 0

Ora, vemos que f ' ' x só é negativa dentro do intervalo [ - 1,1 ] . Isso significa que a função é côncava para cima para todo x , menos quando x ∈ [ - 1,1 ] , onde ela é côncava para baixo.

O ponto de inflexão é aquele onde a segunda derivada muda de sinal e, portanto, aquelas raízes que a gente achou:

x = 1 ; x = - 1

Se você prefere pelo quadro de sinais:

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a   e m   - ∞ , - 1 ∪ ( 1 , + ∞ )   ;   C ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   ( - 1,1 )

Pontos de inflexão:

x = 1 ; x = - 1

Exercício Resolvido #2

O que se pode dizer sobre o gráfico de uma função y = f ( x ) que possui uma segunda derivada contínua que nunca é zero? Justifique sua resposta.

Passo 1

Bem, a questão está perguntando sobre a influência da segunda derivada no gráfico, dadas as condições.

Vimos na teoria que a segunda derivada está relacionada com a concavidade do gráfico, então temos que concluir algo a respeito disso.

Passo 2

Pois bem, quais são as informações quanto à segunda derivada? Ela é contínua e nunca é zero.

Ok, para uma segunda derivada contínua (e qualquer função contínua no geral) mudar de sinal, ela precisa passar por zero (ser igual à zero) em algum momento.

Do contrário, ela saltaria de um valor negativo para um positivo ou vice-versa e isso não pode, pois a segunda derivada é continua e, sendo assim, não dá saltos.

Assim, como a segunda derivada nunca é zero, ela não muda nunca de sinal.

Finalmente, se a segunda derivada nunca muda de sinal, o gráfico terá sempre a mesma concavidade, para cima ou para baixo ;-).

Resposta

Ela não muda sua concavidade

Exercício Resolvido #3

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x =     sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 4 x 2 + 9  

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = cosh ⁡ x + sinh ⁡ x - 8 x

E derivando mais uma vez, pescamos a seguinte função:

f ' ' x = sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra gente ver o sinal, temos que igualar a 0 , beleza? Então saca só:

f ' ' x = sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8 = 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x = 8

Eita, e agora? Bem, se lembrarmos da definição das funções hiperbólicas:

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Ficamos com:

e x - e - x 2 + e x + e - x 2 = 8

e x - e - x + e x + e - x = 16

2 e x = 16

e x = 8

x = ln ⁡ 8

Então ficamos com um ponto de inflexão só!

Passo 3

Pra saber agora quando que a concavidade é pra cima a gente tem que achar quando a segunda derivada vai ser maior que zero:

f ' ' x > 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8 > 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x > 8

e x - e - x 2 + e x + e - x 2 > 8

x > ln ⁡ 8

Então a concavidade pra cima é:

] ln ⁡ 8 , ∞ [

(os intervalos são abertos, heim... porque 8 não entra por ser o ponto de inflexão)

Passo 4

Pra saber agora quando que a concavidade é pra baixo a gente tem que achar quando a segunda derivada vai ser menor que zero:

f ' ' x < 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x - 8 < 0

sinh ⁡ x + cosh ⁡ x < 8

e x - e - x 2 + e x + e - x 2 < 8

x < ln ⁡ 8

Então a concavidade pra baixo é:

] - ∞ , ln ⁡ 8 [

Resposta

Ponto de inflexão:

x = ln ⁡ 8

Concavidade pra cima:

] ln ⁡ 8 , ∞ [

Concavidade pra baixo:

] - ∞ , ln ⁡ 8 [

Exercício Resolvido #4

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x = 1 x 3 - 8 x 2  

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Um truque aqui pra calcular a derivada vai ser lembrar que:

x = x 2

Como trabalhar com módulo de x 3 é complicado, vamos usar a definição pra reescrever:

x 3 = x 3 2 = x 6 = x 4 x 2 =     x 2 2 x 2 =   x 2 x

Como x 2 é sempre positivo:

x 3 =   x 2 x

Nós fizemos isso porque a derivada de x é mais tranquila de fazer do que de x 3 , saca só:

d x d x = d x 2 d x = 2 x 2 x 2 = 2 x x 2 2 x 2 = x 2 x = x x

d d x x = x x

Podemos reescrever então a função para:

f x = 1 x 3 - 8 x 2 = 1   x 2 x - 8 x 2

Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = - x 2 x ' x 6 - 16 x = - 2 x x + x 2 x x x 6 - 16 x  

f ' x = - 3 x x x 6 - 16 x = - 3 x x 5 - 16 x

Fazendo a segunda derivada:

f ' ' x = - 3 x ' x 5   - 3 x x 5 ' x 10 - 16

f ' ' x = - 3 x x x 5   - 3 x 5 x 4 x 10 - 16 = - 3 x x 4   - 15 x x 4 x 10 - 16

f ' ' x = - 3 x   - 15 x x 6 - 16 = - - 12 x x 6 - 16

f ' ' x = 12 x x 6 - 16

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal. Olhando para o denominador da primeira parcela, vemos que o ponto x = 0 é um ponto que da problema por gerar uma indeterminação. Então salva ai esse ponto. Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra isso, só partir pro clássico “deriva e iguala à 0 ”. Simbora:

f ' ' x = 12 x x 6 - 16 = 0

12 x x 6 = 16 → 12 x = 16 x 6 → x = 4 3 x 6 →

→ x 2 = 4 3 x 6 → x 2 = 16 9 x 12 → x = ±   16 9 x 12 →

→   x = ± 4 3 x 6 → x 5 = ± 3 4

x = ± 0,944

Opa, dois pontos de inflexão e um ponto que a segunda derivada não esta definida. Show, vamos analisar então o sinal dela para os intervalos

x < - 0,944

- 0,944 ≤ x < 0

0 ≤ x ≤ 0,944

x > 0,944

Passo 3

Como os intervalos são x < - 0,944

- 0,944 ≤ x < 0

0 ≤ x ≤ 0,944

x > 0,944

Vamos escolher valores que estejam dentro desse intervalo, beleza? Pro primeiro, se eu escolher x = - 1

f ' ' - 1 = 12 - 1 - 1 6 - 16 = 12 . 1 1 - 16 = - 4

Pro segundo intervalo, vamos usar x = - 0,5 :

f ' ' - 0,5 = 12 - 0,5 - 0,5 6 - 16 = 12 . 0,5 0,015625 - 16 = 368

Pro terceiro intervalo, vamos usar x = 0,5 :

f ' ' 0,5 = 12 0,5 0,5 6 - 16 = 12 . 0,5 0,015625 - 16 = 368

E pro último intervalo, vamos usar x = 1 pra testar, ficamos com:

f ' ' 1 = 12 1 1 6 - 16 = 12 . 1 1 - 16 = - 4

Como a concavidade é pra cima quando f ' ' x > 0 e pra baixo quando f ' ' x < 0 , fechamos a questão! A resposta final vai ser:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a   e m   - 0,944   ; 0 ∪ 0   ;   0,944    

C ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   -   ∞   ; - 0,944 ∪ 0,944   ;   ∞

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a   e m   - 0,944   ; 0 ∪ 0   ;   0,944    

C ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   -   ∞   ; - 0,944 ∪ 0,944   ;   ∞

Pontos de inflexão:

x = ± 0,944

Exercício Resolvido #5

Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexão da função.

f x =       72 x 3 + ln ⁡ x 2  

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda. Calculando a primeira derivada antes (para chegar na segunda, precisamos passar pela primeira):

f ' x = 216 x 2 + 1 x 2 x 2 ' = 216 x 2 + 2 x x 2 = 216 x 2 + 2 x

E a segunda derivada:

f ' ' x = 432 x - 2 x 2

Passo 2

Legal, agora vamos analisar o sinal. Olhando para o denominador do segundo termo, vemos que x = 0 é um ponto que dá problema. Até porque 2 0 é uma indeterminação!

Show, então vamos guardar esse ponto no bolso e vamos partir pros pontos que zeram a segunda derivada, beleza? Simbora:

f ' ' x = 432 x - 2 x 2 = 0

432 x = 2 x 2

432 x 3 = 2

x 3 = 2 432 = 1 216

x = 1 6

E temos só um ponto de inflexão!

Passo 3

Agora que a gente sabe o ponto de inflexão vamos testar alguns valores pra vermos o sinal da derivada, ok? Os valores, já que temos x = 1 6 e x = 0 como pontos interessantes, vão ser valores nesses intervalos:

x < 0

0 < x < 1 6

x > 1 6

Pro primeiro intervalo, vamos testar x = - 1

f ' ' - 1 = 432 - 1 - 2 - 1 2 = - 432 - 2 = - 434 < 0

Pro segundo intervalo, vamos testar x = 0,1

f ' ' 0,1 = 432 0,1 - 2 0,1 2 = 43,2 - 200 = - 156,8 < 0

E pro último, vamos testar x = 1 :

f ' ' 1 = 432 1 - 2 1 2 = 432 - 2 = 430 > 0

Como a concavidade é pra cima quando f ' ' x > 0 e pra baixo quando f ' ' x < 0 , vamos ficar com:

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   e m   - ∞   ;   0 ∪ 0   ; 1 6  

C ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   1 6   ;   + ∞

Resposta

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   e m   - ∞   ;   0 ∪ 0   ; 1 6  

C ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   1 6   ;   + ∞

Pontos de inflexão:

x = 1 6

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2
Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , xf ' ' x + f ' x = 4 .a) Mostre que f ' ' é contínua em todo x ≠ 0 b) Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se