Vetor Binormal

Teoria Completa

Interpretação Geométrica

Fala galera! Tudo bem? Nosso foco de estudo agora é o vetor binormal.

Bom, para estudá-lo precisamos nos lembrar de outros dois vetores muito importantes: O vetor tangente unitário   T   → e o vetor normal unitário principal   N → . Vamos ver a figura a seguir:

Agora, e se eu te disser que tem um vetor que é ortogonal ao vetor tangente unitário T → e ao mesmo tempo também é ortogonal ao vetor unitário normal N → ???

É isso mesmo! E o nome dele é vetor binormal B → . Ele está representado logo abaixo:

Viu como ao mesmo tempo ele consegue ser ortogonal a T → e N → ?! Ainda não? Ele está saindo do plano! Esse trio de vetores T → , N → e B → formam o chamado triedo de Frenet ou triedo TNB.

Cálculo do Vetor Binormal

Se o vetor binormal é ortogonal tanto ao vetor tangente unitário, quanto ao vetor normal unitário principal como podemos calculá-lo? Exatamente, fazendo o produto vetorial desses dois vetores!

Então vamos ter:

B → = T → × N →

Repare que como T → e N → são unitários, o vetor B → também será. Vamos ver um exemplo:

Queremos encontrar o vetor binormal   B → a curva:

σ t = cos ⁡ 2 t , s e n   2 t , 0

Passo 1:

Encontrar o vetor tangente unitário

v t → = σ ' t = - 2 s e n   2 t , 2 cos ⁡ 2 t , 0

v t → = - 2 s e n   2 t 2 + 2 cos ⁡ 2 t 2 + 0 2 = 4 ( s e n 2 2 t + c o s 2 2 t ) = 4 = 2

T → ( t ) = v t → v t → = - 2 s e n   2 t , 2 cos ⁡ 2 t 2 = - s e n   2 t , cos ⁡ 2 t , 0

Passo 2:

Encontrar o vetor normal principal unitário

Para isso, precisamos derivar esse vetor e depois dividi-lo pelo seu módulo:

T → ' t = ( - 2 cos ⁡ 2 t ,   - 2 s e n   2 t , 0 )

T → ' t = - 2 cos ⁡ 2 t 2 + - 2 s e n   2 t 2 + 0 2 = 4 c o s 2 2 t + s e n 2 2 t = 4 = 2

Agora temos:

N → = T → ' t T → ' t

N → = ( - 2 cos ⁡ 2 t ,   - 2 s e n   2 t , 0 ) 2 = ( - c o s   2 t , - sen ⁡ 2 t , 0 )

Passo 3:

Encontrar o vetor binormal

Para isso, vamos fazer o produto vetorial:

B → = T → × N →

Vamos ter

B → = i ^ j ^ k ^ - s e n   2 t cos ⁡ 2 t 0 - c o s   2 t - sen ⁡ 2 t 0 = 0 i ^ + 0 j ^ + s e n 2 t 2 + c o s 2 t 2 k ^ = 0,0 , 1

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp 270 – 1 modificado

Encontre o vetor binormal da curva

r t = 3 s e n t   i ^ + 3 c o s t   j ^ + 4 t k ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Encontrar o vetor tangente unitário:

v t → = r ' t = 3 c o s t ,   - 3 s e n t , 4

v t → = 3 c o s t 2 + - 3 s e n t 2 + 4 2 = 9 ( s e n t 2 + - c o s t 2 ) + 16 = 5

T → ( t ) = v t → v t → = 3 c o s t ,   - 3 s e n t , 4 5 = 3 5 c o s t ,   - 3 5 s e n t , 4 5

Passo 2

Encontrar o vetor normal principal unitário

Para isso, precisamos derivar esse vetor e depois dividi-lo pelo seu módulo:

T → ' t = - 3 5 s e n t ,   - 3 5 c o s t , 0

T → ' t = - 3 5 s e n t 2 + - 3 5 c o s t 2 + 0 2 = 9 25 = 3 5

Agora temos:

N → = T → ' t T → ' t

N → = - 3 5 s e n t ,   - 3 5 c o s t , 0 3 5 = ( - s e n t , - c o s t , 0 )

Passo 3

Encontrar o vetor binormal

Para isso, vamos fazer o produto vetorial:

B → = T → × N →

Vamos ter

B → = i ^ j ^ k ^ 3 5 c o s   t - 3 5 s e n t 4 5 - s e n   t - cos ⁡ t 0 = 4 5 c o s   t   i ^ - 4 5 s e n   t j ^ - 3 5 k ^ = 4 5 c o s   t , - 4 5 s e n   t , - 3 5

Resposta

B → = 4 5 c o s   t , - 4 5 s e n   t , - 3 5

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp, 270 – 15, 16

Encontre o valor do vetor binormal no valor dado de t

  1. r t = cos ⁡ t i ^ + sen ⁡ t j ^ - k ^ ,     t = π 4
  2. r t = cos ⁡ t i ^ + sen ⁡ t j ^ + t k ^ ,     t = 0
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Encontrar o vetor tangente unitário:
  2. v t → = r ' t = - s e n   t , cos ⁡ t , 0

    v t → = - s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 + 0 2 = 1

    T → ( t ) = v t → v t → = - s e n   t , cos ⁡ t , 0 1 = - s e n   t , cos ⁡ t , 0

    Passo 2

    Encontrar o vetor normal principal unitário

    Para isso, precisamos derivar esse vetor e depois dividi-lo pelo seu módulo:

    T → ' t = - cos ⁡ t ,   - s e n   t , 0

    T → ' t = - cos ⁡ t 2 + - s e n   t 2 + 0 2 = 1

    Agora temos:

    N → = T → ' t T → ' t

    N → = - cos ⁡ t ,   - s e n   t , 0 1 = - cos ⁡ t ,   - s e n   t , 0

    Passo 3

    Encontrar o vetor binormal

    Para isso, vamos fazer o produto vetorial:

    B → = T → × N →

    Vamos ter

    B → = i ^ j ^ k ^ - s e n   t cos ⁡ t 0 - c o s   t - sen ⁡ t 0 = 0   i ^ - 0 j ^ + 1 k ^ = 0,0 , 1

    Passo 4

    Portanto, percebemos que o vetor binormal a essa curva independe do instante t .

    B → = 0,0 , 1

    Passo 5

  3. Encontrar o vetor tangente unitário:

v t → = r ' t = - s e n   t , cos ⁡ t , 1

v t → = - s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 + 1 2 = 2

T → ( t ) = v t → v t → = - s e n   t , cos ⁡ t , 1 2 = - s e n   t 2 , cos ⁡ t 2 , 2 2

Passo 2

Encontrar o vetor normal principal unitário

Para isso, precisamos derivar esse vetor e depois dividi-lo pelo seu módulo:

T → ' t = - c o s   t 2 , - s e n   t 2 , 0

T → ' t = - c o s   t 2 2 + - s e n   t 2 2 + 0 2 = 2 2

Agora temos:

N → = T → ' t T → ' t

N → = - c o s   t 2 , - s e n   t 2 , 0 2 2 = - cos ⁡ t ,   - s e n   t , 0

Passo 3

Encontrar o vetor binormal

Para isso, vamos fazer o produto vetorial:

B → = T → × N →

Vamos ter

B → = i ^ j ^ k ^ - s e n   t 2 cos ⁡ t 2 2 2 - c o s   t - sen ⁡ t 0 = 2 2 s e n   t i ^ - 2 2 cos ⁡ t j ^ + 2 2 k ^ =

2 2 s e n   t , - 2 2 cos ⁡ t , 2 2

Passo 4

Já sabemos que

B → = 2 2 s e n   t , - 2 2 cos ⁡ t , 2 2

Agora vamos calcular seu valor no instante t = 0 . Temos

B → = 2 2 s e n   0 , - 2 2 cos ⁡ 0 , 2 2 = 0 , - 2 2 , 2 2  

Resposta

  1. B → = 0,0 , 1
  2. B → = 0 , - 2 2 , 2 2

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