Teoria Completa
Produto vetorial
Antes de começar essa parte de curvatura e raio de curvatura, vou te lembrar um pouco sobre produto vetorial.
O produto vetorial entre dois vetores e é calculado pelo determinante:
E esse resultado é um vetor!!!!!!!!
O módulo desse vetor pode ser calculado por
Sendo o menor ângulo entre os dois vetores.
Tá, até ai é gabarito, né? Então vamos ao que interessa agora.
Curvatura e raio de curvatura
Bom, quando a gente tem uma curva da curva (é sério rs), o vetor tangente a essa curva vai mudando de direção a medida que a curva faz a curva, certo?
Meu deus, quanta curva!!
Concentra, vamos voltar.
Então, a curvatura dessa curva é exatamente a medida do quanto varia a direção da curva em relação ao seu comprimento .
Mas relaxa, essa é a definição matemática da parada. Existe um teorema que facilita muito as nossas vidas. Esse teorema diz que:
“Ahhhhh, pra isso que você falou de produto vetorial!!”
Isso
Tá, mas eu ainda tenho outra boa notícia!
Quando , a curvatura pode ser calculada de uma forma mais fácil ainda:
Mas e o raio de curvatura?
Presta atenção que essa parte é muito difícil.
O raio de curvatura é o inverso da curvatura.
Fim. Hahaha
Se liga no exemplo pra você ver como é fácil:
Qual é a curvatura e o raio de curvatura da curva
Em ?
Substituindo em
O raio de curvatura é o inverso da curvatura:
E é só isso que você precisa saber. Bora fazer uns exercícios agora pra ficar craque nessas paradas.
Exercício Resolvido #1
Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto
Passo 1
Para encontrar a curvatura podemos usar a fórmula para a curvatura que diz que quando ,
Passo 2
No ponto :
Passo 3
Substituindo na fórmula:
Passo 4
O raio de curvatura é o inverso da curvatura
Resposta
Exercício Resolvido #2
As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas em função do tempo por:
Onde e são medidas expressas em unidades astronômicas (U.A.)
- Calcule a curvatura da orbita num ponto qualquer da mesma
- Encontre os pontos de máximo e mínimo para a curvatura. (Sugestão: o máximo (mínimo) da curvatura é o mínimo (máximo) do raio de curvatura ).
Passo 1
Para calcular a curvatura da órbita, vamos usar a fórmula
Passo 2
Agora vamos calcular esse produto vetorial:
Passo 3
Só substituir!
Passo 4
Beleza agora pra encontrar os pontos de máximo e mínimo para a curvatura, vamos usar uma malandragem aqui pra poder fica mais fácil maximizar e minimizar o raio de curvatura. Repara que:
Então
E, como o raio de curvatura é o inverso da curvatura:
Agora eles dependem só de , que a gente já sabe que é uma função limitada:
Então, agora fica mais fácil usar a dica que a questão nos deu, de que a curvatura será máxima quando o raio de curvatura for mínimo e a curvatura será mínima quando o raio de curvatura for máximo.
Passo 5
O raio de curvatura será mínimo quando for mínimo, concorda?
Ou seja
Logo, os pontos de mínimo do raio de curvatura são:
Passo 6
E o raio de curvatura será máximo quando for máximo, né?
Ou seja
Logo, os pontos de máximo do raio de curvatura são:
Passo 7
Como o que queremos saber são os pontos de máximo e mínimo da curvatura e sabemos que eles correspondem ao mínimo e máximo do raio de curvatura, nossa resposta será:
Pontos de máximo da curvatura:
Que são os pontos de mínomo do raio de curvatura
Pontos de mínimo da curvatura:
Que são os pontos de máximo do raio de curvatura.
Resposta
- Pontos de máximo da curvatura:
Pontos de mínimo da curvatura:
Exercício Resolvido #3
Seja a equação de uma curva que tem inclinação igual a em .
Se determine a curvatura de quando .
Passo 1
Aqui podemos usar a fórmula para a curvatura que diz que quando ,
Bom, a questão já nos dá. Mas, precisamos acha-la para . Então
E o ?
A questão também nos dá! Pois ela diz que a inclinação da curva em é 1, ou seja
Passo 2
Agora é só substituir!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Encontramos a curvatura total da parte de uma curva lisa que vai de ate integrando de até . Se a curva tiver algum outra parâmetro, digamos , então a curvatura total é:
Onde e correspondem a e . Encontre a curtavura total da parábola
Passo 1
Para encontrar a curvatura vamos usar a fórmula
Vamos então parametrizar nossa parábola:
Passo 2
Passo 3
Agora vamos calcular esse produto vetorial:
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, pra achar a curvatura total, vamos integrar