Curvatura e Raio de Curvatura

Teoria Completa

Produto vetorial

Antes de começar essa parte de curvatura e raio de curvatura, vou te lembrar um pouco sobre produto vetorial.

O produto vetorial entre dois vetores v → = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) é calculado pelo determinante:

v → × u → = i j k v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3

E esse resultado é um vetor!!!!!!!!

O módulo desse vetor pode ser calculado por

v → × u → = v → u → s e n θ

Sendo θ o menor ângulo entre os dois vetores.

Tá, até ai é gabarito, né? Então vamos ao que interessa agora.

Curvatura e raio de curvatura

Bom, quando a gente tem uma curva da curva (é sério rs), o vetor tangente a essa curva vai mudando de direção a medida que a curva faz a curva, certo?

Meu deus, quanta curva!!

Concentra, vamos voltar.

Então, a curvatura κ dessa curva σ t é exatamente a medida do quanto varia a direção da curva em relação ao seu comprimento L .

κ = d T d L

Mas relaxa, essa é a definição matemática da parada. Existe um teorema que facilita muito as nossas vidas. Esse teorema diz que:

κ = ‖ σ ' t × σ ' ' t ‖ σ ' t 3

“Ahhhhh, pra isso que você falou de produto vetorial!!”

Isso

Tá, mas eu ainda tenho outra boa notícia!

Quando y = f ( x ) , a curvatura pode ser calculada de uma forma mais fácil ainda:

κ = f ' ' x 1 + f ' x 2 3 2

Mas e o raio de curvatura?

Presta atenção que essa parte é muito difícil.

O raio de curvatura R é o inverso da curvatura.

R = 1 κ

Fim. Hahaha

Se liga no exemplo pra você ver como é fácil:

Qual é a curvatura e o raio de curvatura da curva

σ t = ( 2 e t , 2 e - t )

Em t = 0 ?

σ ' t = ( 2 e t , - 2 e - t )

σ ' ' t = ( 2 e t , 2 e - t )

σ ' t × σ ' ' t = i j k 2 e t - 2 e - t 0 2 e t 2 e - t 0 = 4   k + 4   k   = 8   k = ( 0,0 , 8 )

σ ' t × σ ' ' t = 0 2 + 0 2 + 8 2 = 8

σ ' t = 2 e t 2 + - 2 e - t 2 = 4 e 2 t + 4 e - 2 t

σ ' 0 = 8

Substituindo em

κ = ‖ σ ' t × σ ' ' t ‖ σ ' t 3

κ = 8 8 3 = 1 2 2 = 2 4

O raio de curvatura é o inverso da curvatura:

R = 1 κ = 4 2 = 2 2

E é só isso que você precisa saber. Bora fazer uns exercícios agora pra ficar craque nessas paradas.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.45. questão 3a.

Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto P = 0,1

y = e x

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Passo 1

Para encontrar a curvatura podemos usar a fórmula para a curvatura que diz que quando y = f ( x ) , κ = f ' ' x 1 + f ' x 2 3 2

Passo 2

f x = e x

f ' x = e x

f ' ' x = e x

No ponto P = 0,1 :

f ' 0 = 1

f ' ' 0 = 1

Passo 3

Substituindo na fórmula:

κ = 1 1 + 1 2 3 2 = 1 2 3 = 1 2 2 . 2 2 2 2 = 2 4

Passo 4

O raio de curvatura é o inverso da curvatura

R = 1 κ = 4 2 . 2 2 = 2 2

Resposta

κ = 2 4

R = 2 2

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.45. questão 6.

As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas em função do tempo por:

σ t = 200 cos ⁡ t , 10 sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Onde 200 e 10   são medidas expressas em unidades astronômicas (U.A.)

  1. Calcule a curvatura da orbita num ponto qualquer da mesma
  2. Encontre os pontos de máximo e mínimo para a curvatura. (Sugestão: o máximo (mínimo) da curvatura κ é o mínimo (máximo) do raio de curvatura R ).
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Para calcular a curvatura da órbita, vamos usar a fórmula

κ = σ ' t × σ ' ' t σ ' t 3

σ ' t = - 200 sen ⁡ t , 10 cos ⁡ t

σ ' ' t = - 200 cos ⁡ t , - 10 sen ⁡ t

σ ' t = - 200 sen ⁡ t 2 + 10 cos ⁡ t   2 = 40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t

Passo 2

Agora vamos calcular esse produto vetorial:

i j k - 200 s e n   t 10 cos ⁡ t 0 - 200 cos ⁡ t - 10 s e n   t 0 = + 2000 s e n 2 t   k + 2000 c o s 2 t   k = 0,0 , 2000

Passo 3

Só substituir!

κ = 2000 40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t 3 = 2000 40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t 3 2          

Passo 4

b )

Beleza agora pra encontrar os pontos de máximo e mínimo para a curvatura, vamos usar uma malandragem aqui pra poder fica mais fácil maximizar e minimizar o raio de curvatura. Repara que:

40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t = 39900 s e n t 2 t + 100 s e n 2 t + 100 c o s 2 t = 39900 s e n 2 t + 100

Então

κ = 2000 39900 s e n 2 t + 100 3 2

E, como o raio de curvatura é o inverso da curvatura:

R = 39900 s e n 2 t + 100 3 2 2000

Agora eles dependem só de s e n ² t , que a gente já sabe que é uma função limitada:

0 ≤ s e n 2 t ≤ 1

Então, agora fica mais fácil usar a dica que a questão nos deu, de que a curvatura será máxima quando o raio de curvatura for mínimo e a curvatura será mínima quando o raio de curvatura for máximo.

Passo 5

O raio de curvatura será mínimo quando s e n ² t for mínimo, concorda?

Ou seja

s e n 2 t = 0

sen ⁡ t = 0

t = 0

t = π

t = 2 π

Logo, os pontos de mínimo do raio de curvatura são:

σ 0 = σ ( 2 π ) = 200 cos ⁡ 0 , 10 sen ⁡ 0 = ( 200,0 )

σ π = 200 cos ⁡ π , 10 sen ⁡ π = ( - 200,0 )

Passo 6

E o raio de curvatura será máximo quando s e n ² t for máximo, né?

Ou seja

s e n 2 t = 1

sen ⁡ t = 1 = ± 1

t = π 2

t = 3 π 2

Logo, os pontos de máximo do raio de curvatura são:

σ π 2 = 200 cos ⁡ π 2 , 10 sen ⁡ π 2 = 0,10

σ 3 π 2 = 200 cos ⁡ 3 π 2 , 10 sen ⁡ 3 π 2 = ( 0 , - 10 )

Passo 7

Como o que queremos saber são os pontos de máximo e mínimo da curvatura e sabemos que eles correspondem ao mínimo e máximo do raio de curvatura, nossa resposta será:

Pontos de máximo da curvatura:

200,0

( - 200,0 )

Que são os pontos de mínomo do raio de curvatura

Pontos de mínimo da curvatura:

0,10

( 0 , - 10 )

Que são os pontos de máximo do raio de curvatura.

Resposta

  1. 2000 40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t 3 2
  2. Pontos de máximo da curvatura:

200,0

( - 200,0 )

Pontos de mínimo da curvatura:

0,10

( 0 , - 10 )

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.44. questão 2.

Seja y = f ( x ) a equação de uma curva C que tem inclinação igual a 1 em x = 0 .

Se f ' ' x = x 2 + 2 e x + e - x 2 determine a curvatura de C quando x = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui podemos usar a fórmula para a curvatura que diz que quando y = f ( x ) ,

κ = f ' ' x 1 + f ' x 2 3 2

Bom, f ' ' ( x ) a questão já nos dá. Mas, precisamos acha-la para x = 0 . Então

f ' ' 0 = 0 2 + 2 1 + 1 2 = 2

E o f ' ( x ) ?

A questão também nos dá! Pois ela diz que a inclinação da curva em x = 0 é 1, ou seja

f ' x = 1

Passo 2

Agora é só substituir!

κ = 2 1 + 1 2 3 2 = 2 2 3 = 1 2

Resposta

κ = 1 2

Exercício Resolvido #4

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 263, exercício 20b.

Encontramos a curvatura total da parte de uma curva lisa que vai de s = s 0 ate s = s 1 > s 0 integrando κ de s 0 até s 1 . Se a curva tiver algum outra parâmetro, digamos t , então a curvatura total é:

K = ∫ s 0 s 1 κ d s = ∫ t 0 t 1 κ d s d t   d t = ∫ t 0 t 1 κ v d t

Onde t 0 e t 1 correspondem a s 0 e s 1 . Encontre a curtavura total da parábola

y = x 2 ,   - ∞ < x < + ∞

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para encontrar a curvatura vamos usar a fórmula

κ = ‖ σ ' t × σ ' ' t ‖ σ ' t 3

Vamos então parametrizar nossa parábola:

x t = t

y t = t 2

- ∞ < t < + ∞

→ σ t = ( t , t 2 )

Passo 2

σ ' t = 1,2 t

σ ' ' t = ( 0,2 )

σ ' t = 1 2 + 2 t 2 = 1 + 4 t 2

Passo 3

Agora vamos calcular esse produto vetorial:

i j k 1 2 t 0 0 2 0 = + 2   k = 0,0 , 2

Passo 4

Substituindo na fórmula:

κ = 2 ( 1 + 4 t 2 ) 3

Passo 5

Agora, pra achar a curvatura total, vamos integrar

K = ∫ t 0 t 1 κ v d t

t 0 = - ∞

t 1 = + ∞

κ = 2 ( 1 + 4 t 2 ) 3

v = σ ' t = 1 + 4 t 2

K = ∫ - ∞ + ∞ 2 1 + 4 t 2 3 . 1 + 4 t 2 d t

K = ∫ - ∞ + ∞ 2 1 + 4 t 2 2 d t = ∫ - ∞ + ∞ 2 1 + 4 t 2 d t

K = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 2 1 + 4 t 2 d t + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b 2 1 + 4 t 2 d t

K = l i m a → - ∞ t g - 1 2 t 0 a + l i m b → + ∞ t g - 1 2 t b 0

K = l i m a → - ∞ - t g - 1 2 a + l i m b → + ∞ t g - 1 2 b = π 2 + π 2 = π

Resposta

K = π

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