Aplicações de derivadas

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Expandir

Exercício Resolvido #1

Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são os problemas de otimização, em que devemos encontrar a maneira ótima (melhor maneira) de fazer alguma coisa.

Encontre os máximos e mínimos relativos da função f x = x 3 - 3 x 2 - 24 x + 32 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeira coisa que vamos fazer, é derivar essa nossa função para determinarmos os pontos críticos dela e depois igualar a nossa   f ' ( x ) a zero.

f x = x 3 - 3 x 2 - 24 x + 32

f ' x = ( x 3 - 3 x 2 - 24 x + 32 ) '

f ' x = 3   .   x 2 - 2   .   3   .     x - 1   .   24  

f ' x = 3 x 2 - 6 x - 24

Vamos igualar essa nossa f ' ( x ) a zero

f ' x = 0

3 x 2 - 6 x - 24 = 0

x 1 = 4     e   x 2 = - 2

Passo 2

Encontramos as coordenadas de x, basta agora encotrarmos as coordenadas de y para os nossos pontos críticos (Máximo e Mínimo).

Substituindo o x 1

f x = x 3 - 3 x 2 - 24 x + 32

f 4 = 4 3 - 3   .   4 2 - 24   .     4 + 32

f 4 = 64 - 48 - 96 + 32

f 4 = - 48

Substituindo o x 2

f x = x 3 - 3 x 2 - 24 x + 32

f - 2 = ( - 2 ) 3 - 3   .   - 2 2 - 24   .     ( - 2 ) + 32

f - 2 = - 8 + 12 + 48 + 32

f - 2 = 60

O nosso maior valor de y, vai nos dar o ponto de máximo

M á x i m o →   ( - 2 ,   60 )

O nosso menor valor de y, vai nos dar o ponto de mínimo

M í n i m o →   ( 4 ,   - 48 )

Shoooow?

Resposta

M á x i m o →   ( - 2 ,   60 )

M í n i m o →   ( 4 ,   - 48 )

Exercício Resolvido #2

Um pedaço de papel retangular é usado para construir uma caixa sem tampa, pra isso corta-se quadrados iguais de cada canto do papel. O papel retangular possui 8 centímetros de largura por 15 centímetros de comprimento. Determine o volume máximo para tal caixa.

  1. Aproximadamente 90,74;
  2. Exatamente 60;
  3. Aproximadamente 80;
  4. Aproximadamente 50;
  5. Nenhuma das respostas anteriores.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos pensar no nosso retângulo, o enunciado nos mostra que ele é assim ó

O enunciado nos disse que ele vai colocar quadrados nos quatro cantos então teremos os seguinte:

O volume dessa caixa, será:

V = A l t u r a   × C o m p r i m e n t o   × L a r g u r a

V = 8 - 2 x 15 - 2 x x

V ( x ) = 4   x 3 -   46   x 2 + 120   x

Passo 2

Para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo, vamos fazer a primeira derivada e igualar ela a zero!

Derivando, teremos:

V ( x ) = 4   x 3 -   46   x 2 + 120   x

V ' x = 3 .   4 .   x 2 -   2   .   46   x 1 + 1 .   120  

V ' ( x ) = 12 x 2 -   92 x + 120

Agora vamos igualar isso a zero e encontrar as raízes

12 x 2 -   92 x + 120 = 0

x 1 = 5 3         e           x 2 = 6

Beleza, agora precisamos ver qual das duas nos dá o maior e o menor volume possível...

Vamos substituir esses valores na expressão que encontramos para o volume, essa aqui ó:

V ( x ) = 4   x 3 -   46   x 2 + 120   x

Primeiro o x 1 :

V 5 3 = 4   5 3 3 -   46   5 3 2 + 120   5 3

V 5 3 = 500 27 - 1150 9 + 200

V 5 3 ≅ 90,74   c m 3

Fazendo o x 2 :

V 6 = 4   6 3 -   46   6 2 + 120   6

V 6 = 864 - 1656 + 720

V 6 = - 72   c m 3

Esse obviamente, vamos descartar!

Ou seja, o volume é proximo de 90,74   c m 3 ! Letra A!

Resposta

Letra A

Exercício Resolvido #3

Uma pessoa dispõe de 900m de arame para cercar um terreno retangular. Utilizando o conceito de derivada, determine as dimensões deste terreno para que o mesmo apresente área máxima.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Beleza, a princípio temos um terreno com a seguinte cara:

O enunciado nos afirma que o cercado em preto é de 900 metros. Ou seja, o seu perímetro é

2 x + 2 y = 900   →   x + y   =   450

Podemos dizer que

y = 450 - x

Dessa forma, as dimensões do terreno serão

x             e         450 - x

A área será dada

S = x ( 450 - x )   →   S ( x ) = 450 x - x 2

Passo 2

Para encontrarmos a dimensão máxima da área, vamos fazer a primeira derivada do nosso retângulo e depois igualar ela a zero.

Mãos a obra...

S x = 450 x - x 2

S ' ( x ) = 450 - 2 x

Agora vamos igualar a zero ....

450 - 2 x = 0

2 x = 450

x = 225   m

Como vimos antes

y = 450 - x

y = 450 - 225

y = 225   m

Ou seja, esse nosso retângulo será um quadrado com lado 225 m

Resposta

Quadrado com lado 225 m

Exercício Resolvido #4

Determine o ponto crítico da função

f x = 7 + 12 x - 2 x 2

  1. 3 e 4
  2. Nenhuma das respostas anteriores
  3. 2 e 3
  4. 3
  5. 0
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para determinarmos o ponto crítico, vamos encontrar a primeira derivada da nossa função e depois igualar ela a zero, vamos lá?

f x = 7 + 12 x - 2 x 2

f ' x = 12 - 4 x

Agora vamos igualar isso a zero ...

12 - 4 x = 0

x = 3

Esse é o nosso ponto crítico, show né?

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #5

Quando um prato circular de metal é aquecido em um forno, seu raio aumenta a uma taxa de 0,01 cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando seu raio é de 50 cm?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos pelo enunciado que a taxa de variação do raio de um prato em relação ao tempo é de 0,01 cm/min, isso é a mesma coisa que escrever

d r d t = 0,01   c m / m i n

Sabemos que para determinarmos a área de um prato circular teremos

A = π r 2

Se fizermos a derivada da área em relação ao tempo teremos

d A d t =   2 π r   ∙ d r d t

Como temos

  r =   50   c m   e   d r d t = 0,01   c m / m i n

Poderemos escrever o seguinte

d A d t =   2 π ( 50 ) ( 0,01 )

d A d t = π   c m 2 / m i n

Resposta

d A d t = π   c m 2 / m i n

Exercício Resolvido #6

Aplicando os conceitos da primeira e segunda derivadas. Qual o gráfico da função definida em R por f x = x 3 - 3 x ?

(a)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Beleza, o primeiro passo para identificar gráficos de funções (quase sempre) é ver os pontos em que os gráficos cruzam os eixos, porque são os mais fáceis de verificar.

A função f x = x 3 - 3 x não tem uma constante, então não deve cruzar o eixo y . De fato, nenhum dos gráficos cruza o eixo, então isso não ajuda por enquanto.

Passo 2

Agora vamos pensar nos pontos onde ela cruza o eixo x (ou seja, as raízes do polinômio). Esses pontos vão atender essa equação aqui:

x 3 - 3 x = 0

Vamos arrumar um pouco isso:

x x 2 - 3 = 0

Beleza, tem duas formas de isso dar certo:

x = 0

x 2 - 3 = 0

A primeira raiz é x = 0 , e precisamos resolver essa equação do 2° grau para achar a outra:

x 2 = 3

x = ± 3

Beleza, então temos três raízes, ou seja, nosso gráfico tem que cruzar o eixo x em três pontos. Com isso já podemos eliminar a terceira e a quarta opção.

Como 3 ≅ 1,7 , só olhando a escala dos eixos, já dá pra perceber que a opção correta é o último gráfico, mas vamos continuar para demonstrar como usar derivadas para resolver o problema.

Passo 3

Se procurarmos os pontos com derivada nula:

f x = x 3 - 3 x

f ' x = 3 x 2 - 3 = 0

3 x 2 = 3

x 2 = 1

x = ± 1

Ou seja, nos pontos em que x = ± 1 , a nossa função tem máximos ou mínimos locais. Vamos substiuir os pontos na função:

f 1 = 1 3 - 3 1 = - 2