Teoria

Fala aí! Belezinha?

Até aqui já aprendemos a resolver vários tipos de derivadas, mas agora vamos ver um novo desafio que pode surgir e estaremos preparados pra ele. Vem comigo!

Você saberia dizer quais a derivadas das seguintes funções:

f x = sen ⁡ x

g x = x 2 + 1

Bom, a g x = x 2 + 1 é um polinômio e sua derivada a gente encontra através da regra do peteleco. Assim:

g ' x = 2

E a f x = sen ⁡ ( x ) é uma função trigonométrica daquelas tabeladas, e sua derivada é:

f ' x = cos ⁡ ( x )

Até aqui “nada novo sob o sol”. Mas agora imagina que você se depara com essa função aqui pra derivar:

h x = sen ⁡ ( x 2 + 1 )

Opaa!!! Embolou o meio de campo, não foi? Mas se você olha bem com calma, vai perceber que nós temos ali uma função dentro da outra. A função g ( x ) foi colocada dentro da função f ( x ) .

Função Composta:

Quando isso acontece, estamos diante de uma função composta. Repare que a g ( x ) passou a ocupar exatamente o lugar do x na função f ( x ) , por isso temos uma f g x .

Então pegamos a lei de formação da f ( x ) que é o sen ⁡ ( x ) e encaixamos a lei de formação da g ( x ) que é o x 2 + 1 , exatamente no lugar do x no sen ⁡ ( x ) .

Veja alguns outros exemplos de funções compostas no quadro abaixo:

Repara que sempre temos uma função dentro da outra.

Beleza, agora como faz pra derivar uma função dessas?

Regra da Cadeia:

Pra fazer essas derivadas vamos usar a regra da cadeia. Pra isso vamos pensar na função composta como um presente que você desembrulha e encontra outro presente dentro. Ok?

Para encontrar a derivada nós faremos a mesma coisa que fazemos para abrir esse presente. Primeiro abrimos o de fora sem mexer no de dentro, depois abrimos o de dentro.

Assim. Para fazer a derivada usando a regra da cadeia, primeiro faremos a derivada da função de fora, sem mexer na de dentro, depois multiplicamos pela derivada da função de dentro.

A regra é essa aqui:

f u ' = f ' u ⋅ u '

Onde chamamos a função de dentro de u . Assim, f ' u é a derivada da função de fora que está sendo multiplicada pela derivada de u , que é a função que está dentro.

Vamos a um exemplo que ficará mais claro:

Exemplo:

h x = sen ⁡ x 2 + 1

A função que está dentro é a x 2 + 1 ,vamos chama-la de u

E depois fazemos:

sen ⁡ u ' ⋅ u '

a derivada de sen ⁡ ( u ) é:

sen ⁡ u ' = cos ⁡ ( u )

E a derivada de u é:

u ' = x 2 + 1 ' = 2 x

Agora nós multiplicamos as duas derivadas:

sen ⁡ u ' ⋅ u ' = cos ⁡ u ⋅ 2 x

Pra ficar tudo certinho, temos que lembrar que o u é na verdade o x 2 + 1 . Então:

sen ⁡ x 2 + 1 ' = cos ⁡ x 2 + 1 ⋅ 2 x

Prontinho. Derivada Feita!

Vamos a outro exemplo:

h x = ln ⁡ ( x 4 - 3 x 3 )

A função que está dentro é x 4 - 3 x 3 que chamaremos de u e faremos:

ln ⁡ u ' ⋅ u '

A derivada de ln ⁡ ( u )   é:

ln ⁡ u ' = 1 u

E a derivada de u é:

u ' = x 4 - 3 x 3 ' = 4 x 3 - 9 x 2

Multiplicando as duas:

ln ⁡ u ' ⋅ u ' = 1 u ⋅ 4 x 3 - 9 x 2

Pra fechar, substituímos novamente o u , assim:

h ' x = ( ln ⁡ ( x 4 - 3 x 3 ) ) ' = 1 x 4 - 3 x 3 ⋅ ( 4 x 3 - 9 x 2 )  

E prontinho.

O lance é observar quem é a função de dentro e quem é a de fora!

E Pra ficar fera, bora para os exercícios!

Função Composta:

Regra da Cadeia:

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dada as funções f x = x 3 - 3 e g x = 12 x 3 determine a derivada da função composta f ( g x ) ou f o g ( x ) .

Passo 1

O enunciado está pedindo que a gente calcule a derivada de uma função composta que é criada a partir da função f x e da função g x . Mas como podemos criar uma função composta a partir de f x e g x ?

Para fazer isso, substituímos a variável x presente em f x pela função g x . A função composta fica assim:

A função f g x que criamos é uma função composta, pois colocamos uma função dentro da outra!

E como derivamos essa função composta representada por f g x que nos deu essa fórmula maior e mais complicada?

f g x ' = g 3 - 3 ' = 12 x 3 3 - 3 ' = ?

A gente vai fazer isso usando a regra da cadeia!

Essa regra será explicada no passo a seguir!

Passo 2

A regra nada mais é do que derivar por partes! Vamos separar a derivação em duas partes. Primeiro nós vamos derivar a função f g x como se a função g fosse a nossa variável x . Ou seja, nós vamos derivar usando a função f g x na forma abaixo.

f ' g x = g 3 - 3 '

Nessa primeira parte, nós vamos tratar a g como se fosse a nossa variável x comum, aplicando o mesmo passo a passo que usávamos, quando a função só tinha x !

Então, vamos derivar g 3 e 3 separadamente e depois juntar essas derivadas.

f ' = g 3 - 3 ' = g 3 ' - 3 '

A derivada de g 3 pode ser calculada com a regra do peteleco. Nessa regra, nós derivamos dando um peteleco no expoente 3 e fazendo ele cair na frente de g . Esse expoente que caiu deixou pra trás um expoente menor. Esse novo expoente é o antigo menos 1 (ou seja, 3 - 1 ).

g 3 ' = 3 g 3 - 1 = 3 g 2

Agora só falta calcular a derivada da constante 3 . No entanto, a derivada de uma constante vale zero. Logo:

3 ' = 0

Juntando essas derivadas, achamos f ' .

f ' = g 3 ' - 3 '

f ' = 3 g 2 - 0

f ' = 3 g 2

Ainda não vamos substituir g por 12 x 3 . Deixaremos isso pro final!

Agora, vamos para a segunda parte!

Passo 3

Na segunda parte da regra da cadeia, vamos derivar normalmente a função g x .

g ' = 12 x 3 '

Para derivar x elevado a uma constante temos sempre que usar a regra do peteleco. Ou seja, o expoente 3 vai cair na frente do 3 e vai deixar pra trás um expoente menor, valendo 3 - 1 .

g ' = 12 x 3 '

= 12 ⋅ 3 ⋅ x 3 - 1

= 36 ⋅ x 2

Agora vamos utilizar a fórmula da regra da cadeia!

Essa fórmula diz que a derivada da função composta f g x é a multiplicação entre a derivada f ' e a derivada g ' !

f g x ' = f ' ⋅ g '

Substituindo o que encontramos para f ' e g ' , achamos:

f g x ' = 3 g 2 ⋅ 36 ⋅ x 2

Calma porque ainda não acabou. Ainda temos que substituir g pela sua fórmula! Esse será o nosso último passo!

Passo 4

Nesse passo vamos substituir g por 12 x 3 na derivada de f g x .

f g x ' = 3 12 x 3 2 ⋅ 36 ⋅ x 2

Nessa equação o número 12 e o termo x 3 estão elevados ao quadrado. Quando isso acontece nós elevamos cada um em separado para a equação ficar mais simples.

f g x ' = 3 ⋅ 12 2 ⋅ x 3 2 ⋅ 36 ⋅ x 2

Agora, x 3 2 está sendo elevado duas vezes seguidas. Então, repetimos o x e multiplicar os expoentes!

f g x ' = 3 ⋅ 12 2 ⋅ x 6 ⋅ 36 ⋅ x 2

Quando temos vários termos com x sendo multiplicados, podemos somar os expoentes de x .

f g x ' = 3 ⋅ 12 2 ⋅ 36 ⋅ x 8

No entanto, a multiplicação entre os números da equação dá:

3 ⋅ 12 2 ⋅ 12 ⋅ 3 = 15552

Substituindo esse valor na equação da derivada:

f g x ' = 15552 ⋅ x 8

Resposta

A derivada da função composta é 15552 ⋅ x 8 .

Exercício Resolvido #2

Determine a derivada da função   f ( x )   =   e 3 x + 1

  1. f’ (x) = 5 e ( 3 x + 1 )
  2. f’ (x) = 3 e ( 3 x + 1 )
  3. f’ (x) = 3 e ( 2 x + 1 )
  4. f’ (x) = -3 e ( 3 x + 1 )
  5. Nenhuma das respostas anteriores

Passo 1

Pessoal, eu sei que essa função que temos que derivar pode assustar um pouco. Principalmente por causa dessa letra " e " que tem nela. O que ela significa? Ela é um número que vale aproximadamente 2,718 .

e ≅ 2,718

Mas relaxa que não vamos precisar usar esse valor de “ e ” nas questões que envolvem esse número!

Tudo bem, essa parte nós entendemos! Mas como podemos derivar e 3 x + 1 , se só me lembro como derivar e x ?

Na verdade, derivar e 3 x + 1 não é tão diferente de derivar e x ! A única diferença é que para derivar e 3 x + 1 , precisamos cumprir duas etapas a mais.

Para perceber isso, vamos chamar o expoente 3 x + 1 de g .

g = 3 x + 1

Agora, vamos substituir o expoente 3 x + 1 da função por g .

f g = e g

Essa função ficou bem parecida com e x , não é? Mas não se esquece que g também é uma função, isso significa que aqui temos uma função dentro da outra. O que chamamos de função composta.

f ( g x ) ou f o g ( x )

Então vamos começar a resolver nossa questão derivando a função acima que nem fazemos quando a função só tem x !

Como a derivada da função exponencial e x é igual ao próprio e x , a derivada de e g é o próprio e g !

f ' g = e g ' = e g

Pronto, cumprimos a primeira etapa para calcular a derivada de e 3 x + 1 . Nos próximos passos, vamos aprender as etapas adicionais que temos que cumprir para achar a derivada de e 3 x + 1 .

Passo 2

A segunda etapa é derivar a função g ( x ) !

Não precisamos derivar a g toda ao mesmo tempo. Nós podemos derivar 3 x e 1 separadamente e depois juntar essas derivadas.

g ' = 3 x + 1 ' = 3 x ' + 1 '

A derivada de 3 x pode ser calculada com a regra do peteleco. Nessa regra, nós derivamos dando um peteleco no expoente de x (que no caso vale 1 ). Com o peteleco, esse expoente “cai” na frente de x , deixando pra trás um expoente menor. Esse novo expoente é igual ao antigo menos 1 (ou seja, 1 - 1 ).

3 x 1 ' = 3 ⋅ 1 ⋅ x 1 - 1

3 ⋅ 1 ⋅ x 0

3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 3

Agora só falta calcular a derivada da constante 1 . No entanto, a derivada de uma constante vale zero. Logo:

1 ' = 0

Juntando essas derivadas, achamos g ' .

g ' = 3 x ' + 1 '

g ' = 3 + 0

g ' = 3

Passo 3

A última etapa para calcular a derivada de e 3 x + 1 é multiplicar as duas derivadas que encontramos.

f ' x = f ' g ⋅ g '

Substuindo as equações de f ' g e g ' :

f ' x = e g ⋅ 3

Lembrando que g = 3 x + 1 :

f ' x = e 3 x + 1 ⋅ 3

Vamos reorganizar essa função para ficar mais parecida com as opções de resposta que temos.

f ' x = 3 e 3 x + 1

Pronto! Conseguimos calcular a derivada de e 3 x + 1 ! A opção correta é a letra (b).

Resposta

Letra (b)

Exercício Resolvido #3

Derive a função.

f x = c o s ² x

Passo 1

Fala, pessoal! Nesse exercício nós temos que derivar uma função que aparece em várias questões de derivada: o cos 2 ⁡ x .

Para ficar mais claro como se deriva essa função, vamos nos lembrar de uma outra forma de escrever cos 2 ⁡ x .

f x = c o s 2 x = cos ⁡ x 2

Essa nova forma é igualzinha a cos 2 ⁡ x ! As duas formas nos dizem que o cos ⁡ x está elevado a 2 !

No entanto, quando escrevemos desse jeito, podemos ver com mais clareza que a função que calcula o cosseno está dentro de uma uma função que eleva ao quadrado!

Isso fica mais claro ainda, quando substituímos cos ⁡ x por g .

g = cos ⁡ x

Logo:

f x = cos ⁡ x ⏟ g 2

f g = g 2

Agora, nós conseguimos ver que a função g (que calcula o cosseno) está dentro de uma função f que eleva ao quadrado! O cos 2 ⁡ x é uma função cos ⁡ x dentro da função que eleva a 2 !

Quando temos uma função dentro da outra, a chamamos de função composta! Logo,

cos ⁡ x 2       ⟶       f u n ç ã o   c o m p o s t a

Para derivar uma função desse tipo usamos a regra da cadeia!

Ou seja, assim que você ver uma função dentro de outra, saiba que ela é uma função composta e que você terá que usar a regra da cadeia para derivá-la!

Essa regra será explicada no passo 2!

Passo 2

A regra para essa derivada será:

f ' x = f ' g ⋅ g '

f ' x é a derivada da função composta que queremos calcular. Ela é o resultado final. E

f ' g é a derivada da função de f g !

f ' g = g 2 '

Atenção com essa derivada! Ela é uma função de g , mas nós vamos derivar ela que nem fazemos quando a função só tem x .

Ou seja, vamos derivar g 2 que nem derivamos x 2 ! Usando a regra do peteleco! Nessa regra, o expoente vai cair na frente de g e vai deixar pra trás um expoente que é igual ao antigo - 1 .

f ' g = g 2 ' = 2 ⋅ g 2 - 1 = 2 ⋅ g 1 = 2 g

Agora, nós vamos derivar g normalmente. Como g é o cosseno, sua derivada vale:

g ' = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

No próximo passo, vamos substituir essas derivadas que calculamos na regra da cadeia para calcular a derivada da função composta!

Passo 3

A derivada da função composta vale:

f ' x = f ' g ⋅ g '

f ' x = 2 g ⋅ - sen ⁡ x

Calma que o exercício ainda não acabou! Ainda temos que substituir g por cos ⁡ x !

f ' x = 2 cos ⁡ x ⋅ - sen ⁡ x

Colocando o sinal de menos no início da equação, f ' x vira:

f ' x = - 2 cos ⁡ x ⋅ sen ⁡ x

É isso aí! Terminamos mais uma questão de derivada! Essa questão pode parecer mais complicadinha, porque precisa de mais passos para ser resolvida.

Por isso, vamos resumir o passo a passo que você tem que seguir para derivar uma função composta! Assim você vai sempre se lembrar e vai ficar craque!

  1. Primeiro, temos que identificar a função composta. Para isso, precisamos reconhecer que tem uma função dentro de outra!
  2. OBS.: Lembre-se sempre que, se tem uma função dentro da outra, derivamos usando a regra da cadeia.

  3. Depois, chamamos a função de dentro de g .
  4. Agora, calculamos a derivada de f g que nem fazemos quando a função só tem x .
  5. g ' é calculado normalmente.

  6. Substituimos f ' g e g ' na regra da cadeia para calcular a derivada da função composta.
  7. Substituímos a equação de g .
  8. Corremos para o abraço!

Resposta

f ' x = - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Exercício Resolvido #4

Determinando a derivada da função f ( x ) =   x ² s e n   x ³ , obtemos:

  1. 6 x 3 c o s x 3
  2. 2 x   c o s x ³
  3. 2 x   c o s 3 x ²
  4. 2 x s e n x 3 + 3 x 4 cos ⁡ x ³
  5. 2 x   s e n x 3 c o s   x ³

Passo 1

Olá, tudo beleza?

Vamos lá, nossa função é essa:

f x =   x 2 s e n   x 3

Percebe que a gente tem um produto entre duas funções, então vamos usar a regra do produto para derivar essa nossa função.

Lembra que a regra do produto é assim:

g ⋅ h = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

Aqui a gente pode definir:

g = x 2

h = s e n   x 3

E o nosso próximo passo é derivar cada um desses pedacinhos...

Passo 2

Na função g a gente vai usar aquele esquema de Regra do tombo com o expoente, lembra? Assim:

g ' = 2 x 2 - 1

g ' = 2 x

Beleza, vamos ver a h agora...

Passo 3

A função h = s e n   x 3 é composta, pois temos a função x 3 dentro da função s e n o , então a gente vai ter que usar a Regra da Cadeia, que é assim:

y u ' = y ' u ⋅ u '

Ou seja, a gente deriva de fora pra dentro.

Nesse caso a gente pode chamar:

y = s e n   u

u = x 3

Derivando cada pedacinho:

y ' = cos ⁡ u

u ' = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

Então a derivada de h pela regra da cadeia é:

y u ' = y ' u ⏟ cos ⁡ u ⋅ u ' ⏟ 3 x 2

h ' = cos ⁡ u ⋅ 3 x 2

Substituindo quem é o u :

h ' = cos ⁡ x 3 ⋅ 3 x 2

Então reorganizando, temos:

h ' = 3 x 2 cos ⁡ x 3

Passo 4

Agora que a gente já achou a derivada de g e de h , podemos montar nossa regra do Produto lá do início...

f x =   x 2 s e n   x 3

f ' x = x 2 ' sen ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ x 3   '

f ' x = 2 x sen ⁡ x 3   + x 2 ⋅ 3 x 2 cos ⁡ x 3

f ' x = 2 x sen ⁡ x 3   + 3 x 4 cos ⁡ x 3

E então chegamos na derivada! A resposta certa é a alternativa D 😉

Resposta

d) 2 x s e n x 3 + 3 x 4 cos ⁡ x ³

Exercício Resolvido #5

As vezes precisamos calcular a derivada da função composta a partir das derivadas das funções componentes, assim podemos aplicar a regra da cadeia: Sejam y = h ( u ) e u = g ( x ) duas funções deriváveis, com I m ( g ) ⊂ D o m ( h ) e consideremos a função composta y = f x = h [ g x ] . Então f é derivável e f ' x = h ' g x . g ' ( x ) , para todo x ∈ D o m   g .

Aplicando então a regra da cadeia calcule a derivada de f x = e sen ⁡ ( x ) + sen ⁡ ( e x )

Passo 1

Fala aí, tudo joia? A gente tem que derivar essa função aqui:

f x = e sen ⁡ ( x ) + sen ⁡ ( e x )

Como temos uma soma, a gente pode derivar cada termo separadamente e depois somar, beleza?

Vamos derivar primeiro o pedacinho e s e n   x . Vem comigo!

Passo 2

Nela a gente tem a e sen ⁡ x , onde o e elevado a alguma coisa é uma função, e o sen ⁡ x é outra função, então a gente tem uma função composta. Com isso vamos aplicar a regra da cadeia, que é assim:

y u ' = y ' u ⋅ u '

Na função e s e n   x vamos chamar de y = e x