Regra da Cadeia

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Dada as funções f x = x 3 - 3 e g x = 12 x 3 determine a derivada da função composta f ( g x ) ou f o g ( x ) .

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Passo 1

O enunciado está pedindo que a gente calcule a derivada de uma função composta que é criada a partir da função f x e da função g x . Mas como podemos criar uma função composta a partir de f x e g x ?

Para fazer isso, substituímos a variável x presente em f x pela função g x . A função composta fica assim:

A função f g x que criamos é uma função composta. Como podemos ver, uma função é chamada de composta, quando colocamos uma função dentro da outra!

E como derivamos essa função composta representada por f g x ?

E como a gente deriva essa fórmula maior e mais complicada?

f g x ' = g 3 - 3 ' = 12 x 3 3 - 3 ' = ?

A gente vai fazer isso usando a regra da cadeia!

Essa regra será explicada no passo a seguir!

Passo 2

A regra nada mais é do que derivar por partes! Vamos separar a derivação em duas partes. Primeiro nós vamos derivar a função f g x como se a função g fosse a nossa variável x . Ou seja, nós vamos derivar usando a função f g x na forma abaixo.

f ' g x = g 3 - 3 '

Nessa primeira parte, nós vamos tratar a g como se fosse a nossa variável x comum!

Em outras palavras, vamos derivar f g x como se a variável g fosse a nossa variável x , aplicando o mesmo passo a passo que usávamos, quando a função só tinha x !

Então, vamos derivar g 3 e 3 separadamente e depois juntar essas derivadas.

f ' = g 3 - 3 ' = g 3 ' - 3 '

A derivada de g 3 pode ser calculada com a regra do peteleco. Nessa regra, nós derivamos dando um peteleco no expoente 3 e fazendo ele cair na frente de g . Esse expoente que caiu deixou pra trás um expoente menor. Esse novo expoente é o antigo menos 1 (ou seja, 3 - 1 ).

g 3 ' = 3 g 3 - 1 = 3 g 2

Agora só falta calcular a derivada da constante 3 . No entanto, a derivada de uma constante vale zero. Logo:

3 ' = 0

Juntando essas derivadas, achamos f ' .

f ' = g 3 ' - 3 '

f ' = 3 g 2 - 0

f ' = 3 g 2

Ainda não vamos substituir g por 12 x 3 . Deixaremos isso pro final!

Agora, vamos para a segunda parte!

Passo 3

Na segunda parte da regra da cadeia, vamos derivar normalmente a função g x .

g ' = 12 x 3 '

Para derivar x elevado a uma constante temos sempre que usar a regra do peteleco. Ou seja, o expoente 3 vai cair na frente do 3 e vai deixar pra trás um expoente menor, valendo 3 - 1 .

g ' = 12 x 3 ' = 12 ⋅ 3 ⋅ x 3 - 1 = 12 ⋅ 3 ⋅ x 2

Agora vamos utilizar a fórmula da regra da cadeia!

Essa fórmula diz que a derivada da função composta f g x é a multiplicação entre a derivada f ' e a derivada g ' !

f g x ' = f ' ⋅ g '

Substituindo o que encontramos para f ' e g ' , achamos:

f g x ' = 3 g 2 ⋅ 12 ⋅ 3 ⋅ x 2

Calma porque ainda não acabou. Ainda temos que substituir g pela sua fórmula! Esse será o nosso último passo!

Passo 4

Nesse passo vamos substituir g por 12 x 3 na derivada de f g x .

f g x ' = 3 12 x 3 2 ⋅ 12 ⋅ 3 ⋅ x 2

Nessa equação o número 12 e o termo x 3 estão elevados ao quadrado. Nós podemos fazer o expoente elevar cada termo em separado para a equação ficar mais simples.

f g x ' = 3 ⋅ 12 2 ⋅ x 3 2 ⋅ 12 ⋅ 3 ⋅ x 2

Agora, x está sendo elevado duas vezes seguidas. Quando isso acontece, podemos multiplicar os expoentes!

f g x ' = 3 ⋅ 12 2 ⋅ x 6 ⋅ 12 ⋅ 3 ⋅ x 2

Quando temos vários termos com x sendo multiplicados, podemos somar os expoentes de x .

f g x ' = 3 ⋅ 12 2 ⋅ 12 ⋅ 3 ⋅ x 8

No entanto, a multiplicação entre os números da equação dá:

3 ⋅ 12 2 ⋅ 12 ⋅ 3 = 15552

Substituindo esse valor na equação da derivada:

f g x ' = 15552 ⋅ x 8

Resposta

A derivada da função composta é 15552 ⋅ x 8 .

Exercício Resolvido #2

Determine a derivada da função   f ( x )   =   e 3 x + 1

  1. f’ (x) = 5 e ( 3 x + 1 )
  2. f’ (x) = 3 e ( 3 x + 1 )
  3. f’ (x) = 3 e ( 2 x + 1 )
  4. Nenhuma das respostas anteriores
  5. f’ (x) = -3 e ( 3 x + 1 )
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Passo 1

Pessoal, eu sei que essa função que temos que derivar pode assustar um pouco. Principalmente por causa dessa letra " e " que tem nela. O que ela significa? Ela é um número que vale aproximadamente 2,718 .

e ≅ 2,718

Mas relaxa que não vamos precisar usar esse valor de “ e ” nas questões que envolvem esse número!

Tudo bem, essa parte eu entendi! Mas como podemos derivar e 3 x + 1 , se só me lembro como derivar e x ?

Na verdade, derivar e 3 x + 1 não é tão diferente de derivar e x ! A única diferença é que para derivar e 3 x + 1 , precisamos cumprir duas etapas a mais.

Para perceber isso, vamos chamar o expoente 3 x + 1 de g .

g = 3 x + 1

Agora, vamos substituir o expoente 3 x + 1 da função por g .

f g = e g

Essa função ficou bem parecida com e x , não é?

Então, vamos derivar a função acima que nem fazemos quando a função só tem x !

Como a derivada da função exponencial e x é igual ao próprio e x , a derivada de e g é o próprio e g !

f ' g = e g ' = e g

Pronto, cumprimos a primeira etapa para calcular a derivada de e 3 x + 1 . Nos próximos passos, vamos aprender as etapas adicionais que temos que cumprir para achar a derivada de e 3 x + 1 .

Passo 2

A segunda etapa para calcular e 3 x + 1 é derivar g !

Não precisamos derivar o g todo ao mesmo tempo. Nós podemos derivar 3 x e 1 separadamente e depois juntar essas derivadas.

g ' = 3 x + 1 ' = 3 x ' + 1 '

A derivada de 3 x pode ser calculada com a regra do peteleco. Nessa regra, nós derivamos dando um peteleco no expoente de x (que no caso vale 1 ). Com o peteleco, esse expoente “cai” na frente de x , deixando pra trás um expoente menor. Esse novo expoente é igual ao antigo menos 1 (ou seja, 1 - 1 ).

3 x 1 ' = 3 ⋅ 1 ⋅ x 1 - 1 = 3 ⋅ 1 ⋅ x 0 = 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 3

Agora só falta calcular a derivada da constante 1 . No entanto, a derivada de uma constante vale zero. Logo:

1 ' = 0

Juntando essas derivadas, achamos g ' .

g ' = 3 x ' + 1 '

g ' = 3 + 0

g ' = 3

Passo 3

A última etapa para calcular a derivada de e 3 x + 1 é multiplicar as duas derivadas que encontramos.

f ' x = f ' g ⋅ g '

Substuindo as equações de f ' g e g ' :

f ' x = e g ⋅ 3

Lembrando que g = 3 x + 1 :

f ' x = e 3 x + 1 ⋅ 3

Vamos reorganizar essa função para ficar mais parecida com as opções de resposta que temos.

f ' x = 3 e 3 x + 1

Pronto! Conseguimos calcular a derivada de e 3 x + 1 ! A opção correta é a letra (b).

Resposta

Letra (b)

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo IA-Lista 6, GMA, 2008-1, Questão 10.

Derive a função.

f x = c o s ² x

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Passo 1

Fala, pessoal! Nesse exercício nós temos que derivar uma função que aparece em várias questões de derivada: o cos 2 ⁡ x .

Para ficar mais claro como se deriva essa função, vamos nos lembrar de uma outra forma de escrever cos 2 ⁡ x .

f x = c o s 2 x = cos ⁡ x 2

Essa nova forma é igualzinha a cos 2 ⁡ x ! As duas formas nos dizem que o cos ⁡ x está elevado a 2 !

No entanto, quando escrevemos desse jeito, podemos ver com mais clareza que a função que calcula o cosseno está dentro de uma uma função que eleva ao quadrado!

Isso fica mais claro ainda, quando substituímos cos ⁡ x por g .

g = cos ⁡ x

Logo:

f x = cos ⁡ x ⏟ g 2

f g = g 2

Agora, nós conseguimos ver que a função g (que calcula o cosseno) está dentro de uma função f que eleva ao quadrado! O cos 2 ⁡ x é uma função cos ⁡ x