Regra do Produto e do Quociente
Teoria
Regra do Produto
Oie, olha nós aqui outra vez, juntos em uma caminhada pelo estudo das derivadas. Até agora você já aprendeu a derivar funções importantes como polinômios e até mesmo funções trigonométricas. Vamos relembrar algumas:
Você se lembra como derivar ? Usamos a regra do peteleco. Assim:
E você se lembra da derivada de ? Essa é uma daquelas já tabeladas:
Maravilha! Mas e se a gente encontrar as duas juntas em uma única função, o que faremos?
Calma, calma! Aqui não podemos derivar cada uma separadamente e depois multiplicar, como fazemos quando temos uma soma ou uma subtração. Nesse caso teremos que usar a regra do produto.
A regra é essa aqui:
Ficou esquisito assim né? Vamos ler a regra que talvez ajude. Temos duas funções sendo multiplicadas. Então a derivada do produto dessas funções será:
“A derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda”
Vamos olhar pra ela com mais calma. Essa primeira parte quer dizer que estamos derivando um produto de duas funções, uma que vamos chamar de e outra que vamos chamar de .
Assim, em:
E do lado direito da fórmula temos duas parcelas, onde a primeira é , e a segunda é . Reparou que cada parcela tem a derivada de uma das funções vezes a outra? É como se a gente estivesse distribuindo as derivadas e cada função fosse ganhar a sua em uma parcela.
Veja que vamos precisar das funções e das suas derivadas pra montar a regra. Então, vamos fazer as derivadas de cada uma das funções e já deixar reservado:
Feito isso, a gente aplica tudo na fórmula:
Assim:
Então o lance é aplicar a fórmula!
Prontinho, agora está derivado. Essa regrinha é muito, muito importante, então é sempre bom praticar com bastante exercício!
Regra para produto de 3 funções
E se ao invés de duas, tivermos três funções sendo multiplicadas?
Lembra que nossa derivada fica distribuída e cada função ganha a sua em uma parcela? Então, aqui também será assim, e pra isso teremos parcelas, onde a primeira parcela terá a derivada da primeira função vezes as outras funções, a segunda terá a derivada da segunda função vezes as outras e a terceira terá a derivada da terceira função vezes as outras.
Assim, fazemos:
E a derivada vai ser:
Como vamos precisar das derivadas de cada uma, vamos já encontrá-las e deixar reservado aqui:
Agora a gente aplica a regra do produto da forma como acabamos de ver:
Ficando com:
Prontinho, derivada!
OBS: Se tivéssemos um produto com ainda mais funções, uma quantidade qualquer que vou chamar de , esse mesmo padrão seria gerado. Teríamos como resultado parcelas onde em cada uma, uma das funções está derivada:
Regra do Quociente
Beleza, já avançamos bastante! E se de repente aparece no meio dos nossos exercícios algo desse tipo aqui:
Como encontrar a sua derivada?
Pois é! Essa função aí não é um produto, então não rola de aplicar a regra do produto pra encontra a derivada dela. Ela é um quociente entre funções, que é na verdade a divisão dessas funções.
Mas para funções desse tipo, também temos uma regrinha toda especial. E o melhor, ela é parecida com a anterior! A diferença é que ao invés de somar, nós iremos subtrair as parcelas e no final a gente divide pela segunda função ao quadrado.
Vamos chamar de primeira função a que estiver no numerador e de segunda a que estiver embaixo, no denominador. Assim, a regra se lê:
“A derivada da primeira vezes a segunda, menos a primeira vezes a derivada da segunda, tudo dividido pela segunda ao quadrado”
Vamos ver como fica a derivada da nossa função
Fazendo
Como precisaremos de suas derivadas, vamos calcular antes e já deixar aqui reservado:
Show, agora vamos aplicar isso na regra do quociente:
Pra ficar bonito mesmo, a gente só arruma o denominador que está com uma potência de potência. Quando isso acontece a gente repete a base e multiplica os expoentes, ficando com:
E assim, aplicamos a nossa regra do quociente. E pra ficar fera mesmo, o lance é partir para os exercícios. Então a gente se encontra lá de novo!
Regra para produto de 3 funções
Regra do Quociente
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
A derivada da função é:
Passo 1
Beleza, pessoal! Essa é uma questão onde precisamos derivar a tangente ao quadrado. Você pode estranhar a primeira vista! Aprendemos a derivar , mas ainda não aprendemos a derivar . É aí que você se engana! Nós já conseguimos derivar essa função trigonométrica, se a gente lembrar que:usando:
Se a gente lembrar que que o expoente 2quando elevamos algo ao quadrado, significa que vamos multiplicar ele por ele mesmo significa que o termo aparece na multiplicação 2 vezes, a gente converte uma exponenciação em uma multiplicação!o que era um potência vira uma multiplicação.
E pra dDerivar uma multiplicação éa gente já sabe! É só seguir a regra do produto!
Usaremos a regra do produto no próximo passo.
Passo 2
Antes de lembrar da regra do produto, vamos dar nomes aos dois termos da multiplicação.
Ou seja, chamamos a primeira tangente de e a segunda tangente de .
Depois dar nomes a cada termo da multiplicaçãoFizemos isso porque agora, nós podemos escrever a regra do produto, que tem esse formatinho aqui: ela diz que a derivada de vale:
Traduzindo: A derivada da nossa função é igula a derivada de vezes mais vezes a derivada de .
Lembre-se que usamos o símbolo (também chamado de apóstrofo) para representar as derivadas! Logo:
Isso quer dizer Já sabemos que é e quem é , agora que precisamos calcular quanto vale as derivadas de e para resolver a questão! No passo seguinte vamos calcular isso!
Passo 3
Como , a A derivada de é a derivada da tangente! Para lembrar das derivadas das funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, etc.), podemos usar a imagem abaixo.
Pela imagem nós vemos que a derivada da tangente é secante ao quadrado:
E como , aA derivada de também é a derivada da tangente. Ou seja:
Nós já calculamos a derivada de cada termo da multiplicação. Na última etapa da questão, vamos aprender a substituir todas essas derivadas na fórmula de da derivada de .
Passo 4
Substiutindo , e na regra do produto, achamos:
A equação acima é a soma de dois termos iguais. Por causa disso:
Ou seja, a resposta certa é a opção (aa).
Resposta
Letra (aa)
Exercício Resolvido #2
Derive a função
Passo 1
Essa derivada pode parecer difícil porque tem essa letra nela. Mas o que ela significa? Ela é uma constante muito comum em problemas de cálculo e física. É um número que vale aproximadamente .
Mas não precisamos nos preocupar com ele não, pois sempre vamos usar a própria letrinha em nossas soluções.
Agora a função é composta por uma divisão. Nesse caso, como fazemos para derivar?
Pra ajudar a gente a derivar uma divisão, temos que dar nomes para cada termo que aparece ali. Com isso a derivada vai ficar mais organizada. Vamos chamar o termo de cima da fração de e o termo debaixo de .
Usando e podemos reescrever da seguinte forma:
Mas como dar nomes ao termo de uma divisão pode organizar a resolução da questão?
Veremos isso no próximo passo!
Passo 2
Para derivar uma divisão entre funções (divisão que tem embaixo e em cima), usamos uma regra chamada de regra do quociente.
No passo anterior, a gente deu nome a cada termo da divisão, isso porque a regra do quociente é feita usando esse formato aqui:
Lembre-se que usamos o símbolo (chamado de apóstrofo) para representar as derivadas! Ou seja, é a derivada de , é a derivada de e é a derivada de !
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de e para achar .
No próximo passo, vamos calcular quanto e valem!
Passo 3
Nesse passo, temos que calcular quanto vale a derivada de e a derivada de .
Vamos começão por ! é a função exponencial que é a mais fácil de derivar! A derivada de é a própria exponencial .
Vamos deixar ela anotadinha aqui que já já a gente vai usar.
Essa foi tranquila, né? E a derivada de ? Você se lembra como derivar?
É através da regra do peteleco! Nessa regra, o expoente “cai” na frente do e deixa pra trás ele mesmo menos .
Aplicando essa regra em , temos que:
Pronto! Achamos quanto vale e quanto vale .
Agora só falta substituir esses dois termos na regra do quociente para calcular .
Passo 4
Substituindo , , e na regra do quociente.
E vai ficar assim:
Que equação enorme! Ainda por cima tem um embaixo dela! Vamos arrumar isso?
Sempre que tiver um número sendo elevado duas vezes, repetimos a base e multiplicamos seus expoentes!
Substituindo isso na equação de :
Essa equação ainda está enorme! Podemos simplificar . No próximo passo faremos isso!
Passo 5
Perceba que “” multiplica o termo “” e o termo “” da equação, então podemos dizer que ele é um fator comum. Por conta disso, podemos colocar “” e “” dentro de um parênteses e deixar “” fora para mostrar que multiplicam esses dois termos ao mesmo tempo. Chamamos isso de “colocar o em evidência”
Se olharmos com mais cuidado, vamos ver que isso também está acontecendo com o . Dentro dos parênteses temos o elevado a , que indica que o está sendo multiplicado 2 vezes.
Assim, a gente consegue reescrever a equação de .
Agora nós vemos que o termo “” está presente nos dois termos que estão dentro do parênteses. Logo, também podemos colocar o “” em evidência e mostrar que ele multiplica esses dois termos ao mesmo tempo.
Com isso fora do parênteses, ficamos com “” em cima e embaixo. Isso quer dizer que podemos simplificar o de cima com o que está em baixo .
Pra isso vamos pensar que , então vamos cortar um de cima com um de baixo.
Pronto! Aqui nós paramos, pois não podemos simplificar mais que isso. Assim nós derivamos e achamos uma versão mais simples de !
Resposta
Exercício Resolvido #3
Derive a função
Passo 1
E aí, tudo beleza?
A gente quer a derivada dessa função e repara que ela é formada por uma multiplicação do pelo . Ou seja, o produto de dois fatores, certo?
Pra derivar isso, a gente usa a Regra do Produto, que é assim:
Onde a “ ” significa derivada, ok?
Passo 2
Agora pra continuar, a gente tem que definir quem serão as nossas funções e . Se a gente olhar lá pra nossa função , a gente pode ver isso aqui:
Então: e .
Mas na regra do produto também precisamos de e de Vamos derivar essa agora, pra depois montar nossa Regra do Produto😚
Passo 3
é um polinômio, a gente já sabe derivar tranquilinho né?
E é mais fácil ainda, porque a derivada da exponencial é ela mesma😉
Prontinho! Já temos todos os nossos ingredientes para montar a Regra do Produto!
Passo 4
Montando...
Pra ficar mais bonitinho, a gente pode reagrupar isso, colocando o em evidência, já que ele está em todos os fatores:
E acabamos por aqui! Essa é a nossa derivada😉
Resposta
Exercício Resolvido #4
Derive a função
Passo 1
Olá! Bora resolver mais essa?
Queremos derivar essa função e ela é formada por uma multiplicação. Daí a gente já sabe que vamos ter que usar a regra do Produto, certo?
Só pra relembrar, a regra do Produto é assim:
Sendo que o “ “ representa a derivada da função😉
Passo 2
Vamos definir agora quem é e quem é . A ordem não importa, mas vamos chamar assim:
Então temos:
Show! Agora vamos derivar cada uma dessas, porque na regra do produto precisaremos de e ...
Passo 3
Derivando ...
Temos que é uma soma entre uma potência e uma exponencial. A gente pode derivar cada termo e manter a soma. Potência e exponencial a gente já aprendeu a derivar, lembra? Vai ficar assim:
Como qualquer coisa elevada a zero dá um:
Beleza, já derivamos !
Passo 4
Vamos derivar agora. Veja que, podemos escrever como usando essa regrinha aqui:
Com isso, podemos escrever assim:
Agora derivamos. Derivada de constante é zero e a a gente deriva usando a regra da Potência (ou regra do Tombo)...
Essa subtração de fração no expoente a gente vai ter que colocar com frações de denominadores iguais, assim transformamos o em :
E então nossa derivada é:
Que a gente ainda pode jogar em forma de raiz e descer pro denominador (por causa do expoente negativo, a gente inverte):
Ufaa! Derivamos ! Agora vamos montar nossa Regra do Produto...
Passo 5
Voltando pra nossa derivada principal, vamos montar a regra do Produto, sendo:
Substituindo todo mundo:
E aí a gente pode fazer essas multiplicações, usando a distributiva (multiplica cada termo de um parênteses por cada termo do outro), pra deixar a derivada mais arrumadinha...
E pronto! Essa é a nossa derivada😉
Resposta
Exercício Resolvido #5
Seja
A derivada calculada para corresponde a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Opa, galera, prestem atenção no enunciado, porque dessa vez não precisamos apenas derivar . Precisamos também substituir por depois que a gente derivar ! E o resultado dessa substituição é que será a resposta da questão!
Esse é mais um exercício que o aparece em cima e embaixo da divisão! Sabemos que nesses exercícios, antes de começar a derivar uma função com divisão, temos que dar nomes para cada termo. Assim a gente se organiza melhor para quando for derivar.
Vamos chamar o termo de cima da fração de e o termo debaixo de .
Usando