Regra do Produto e Quociente

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

A derivada da função f ( x ) =   t a n ² ( x )   é:

  1. 2 . t a n ( x ) . s e c ² ( x )
  2. 2 . c o s ( x ) . s e c ² ( x )
  3. 2 . t a n ² ( x ) . s e c ² ( x )
  4. s e n ( x ) . c o s ² ( x )
  5. 2 . s e c ² ( x )
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Passo 1

Beleza, pessoal! Essa é uma questão onde precisamos derivar a tangente ao quadrado. Você pode estranhar a primeira vista! Aprendemos a derivar x 2 , mas ainda não aprendemos a derivar tan 2 ⁡ x . É aí que você se engana! Nós já conseguimos derivar essa função trigonométrica, se a gente lembrar que:

f x = tan 2 ⁡ x = tan ⁡ x ⋅ tan ⁡ x

Se a gente lembrar que o expoente 2 significa que o termo aparece na multiplicação 2 vezes, a gente converte uma exponenciação em uma multiplicação!

Derivar uma multiplicação a gente já sabe! É só seguir a regra do produto!

Usaremos a regra do produto no próximo passo.

Passo 2

Antes de lembrar da regra do produto, vamos dar nomes aos dois termos da multiplicação.

f x = tan ⁡ x ⏞ g ⋅ tan ⁡ x ⏞ h

Ou seja, chamamos a primeira tangente de g e a segunda tangente de h .

g = tan ⁡ x

h = tan ⁡ x

Depois dar nomes a cada termo da multiplicação, nós podemos escrever a regra do produto ela diz que a derivada de f x vale:

f ' x = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

Lembre-se que usamos o símbolo   '   (também chamado de apóstrofo) para representar as derivadas! Logo:

g ' = tan ⁡ x '       ⟶       d e r i v a d a   d o   p r i m e i r o   t e r m o   d a   m u l t i p l i c a ç ã o

h = tan ⁡ x       ⟶       s e g u n d o   t e r m o   d a   m u l t i p l i c a ç ã o

g = tan ⁡ x       ⟶       p r i m e i r o   t e r m o   d a   m u l t i p l i c a ç ã o

h ' = tan ⁡ x '       ⟶       d e r i v a d a   d o   s e g u n d o   t e r m o   d a   m u l t i p l i c a ç ã o

Isso quer dizer que precisamos calcular quanto vale a derivada de g e h para resolver a questão! No passo seguinte vamos calcular isso!

Passo 3

A derivada de g é a derivada da tangente! Para lembrar das derivadas das funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, etc.), podemos usar a imagem abaixo.

Pela imagem nós vemos que a derivada da tangente é:

g ' = tan ⁡ x '       ⟹       g ' = sec 2 ⁡ x

A derivada de h também é a derivada da tangente. Ou seja:

h ' = tan ⁡ x '       ⟹       h ' = sec 2 ⁡ x

Nós calculamos a derivada de cada termo da multiplicação. Na última etapa da questão, vamos aprender a substituir todas essas derivadas na fórmula da derivada de f x .

Passo 4

Substiutindo g , g ' , h e h ' na regra do produto, achamos:

f ' x = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

f ' x = sec 2 ⁡ x ⋅ tan ⁡ x + tan ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x

A equação acima é a soma de dois termos iguais. Por causa disso:

f ' x = 2 ⋅ tan ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x

Ou seja, a resposta certa é a opção (a).

Resposta

Letra (a)

Exercício Resolvido #2

Derive a função y = e x x 2

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Passo 1

Bom galera, precisamos derivar a função. Essa função pode parecer difícil, porque tem essa letra " e " nela. O que ela significa? Ela é um número que vale aproximadamente 2,718 .

e ≅ 2,718

Além disso, a função y é composta por uma divisão. Nesse caso, como fazemos para derivar?

Isso ainda não é o mais importante no momento! Antes de aprender a derivar uma divisão, temos que dar nomes para cada termo da divisão para a gente se organizar melhor para quando for derivar. Vamos chamar o termo de cima da fração de f e o termo debaixo de g .

f = e x

g = x 2

Usando f e g podemos reescrever y .

y = e x x 2 = f g

Mas como dar nomes ao termo de uma divisão pode organizar a resolução da questão?

Veremos isso no próximo passo!

Passo 2

Para derivar uma divisão que tem x embaixo e em cima, usamos uma regra chamada de regra do quociente.

No passo anterior, a gente deu nome a cada parte da divisão para escrever a regra do quociente de forma mais fácil. Veja abaixo a cara dessa regra.

y ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Lembre-se que usamos o símbolo   '   (chamado de apóstrofo) para representar as derivadas! Ou seja, y ' é a derivada de y , f ' é a derivada de f e g ' é a derivada de g !

Isso significa que precisamos calcular as derivadas de f e g para achar y ' .

No próximo passo, vamos calcular quanto f ' e g ' valem!

Passo 3

Nesse passo, temos que calcular quanto vale a derivada de f e a derivada de g .

Vamos começão por f ! f é a função exponencial e x que é a mais fácil de derivar! A derivada de e x é a própria exponencial e x .

f ' = e x ' = e x

Essa foi tranquila, né? E a derivada de x 2 ? Você se lembra como derivar?

É através da regra do peteleco! Nessa regra, o expoente “cai” na frente do x e deixa pra trás ele mesmo menos 1 .

Aplicando essa regra em x 2 , temos que:

g ' = x 2 ' = 2 x 2 - 1 = 2 x 1 = 2 x

Pronto! Achamos quanto vale f ' e quanto vale g ' .

Agora só falta substituir esses dois termos na regra do quociente para calcular y ' .

Passo 4

Nesse passo temos que substituir f , f ' , g e g ' na regra do quociente para calcular y ' .

y ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

y ' = e x ⋅ x 2 - e x ⋅ 2 x x 2 2

Que equação enorme! Ainda por cima tem um x 2 2 embaixo dela! Como calculamos isso?

Sempre que tiver um número sendo elevado duas vezes, multiplicamos seus expoentes!

x 2 2 = x 2 ⋅ 2 = x 4

Substituindo isso na equação de y ' :

y ' = e x ⋅ x 2 - e x ⋅ 2 x x 4

Essa equação está enorme! Podemos simplificar y ' . No próximo passo faremos isso!

Passo 5

Para simplificar a equação de y ' , você tem que notar que “ e x ” multiplica o termo “ x 2 ” e o termo “ - 2 x ” da equação. Além disso, “ x 4 ” divide esses dois termos. Por conta disso, podemos colocar “ x 2 ” e “ - 2 x ” dentro de um parênteses e deixar “ e x ” e “ x 4 ” de fora para mostrar que e x e x 4 multiplicam e dividem esses dois termos ao mesmo tempo.

y ' = e x ⋅ x 2 - e x ⋅ 2 x x 4       ⟹       y ' = e x ⋅ x 2 - 2 x x 4

No entanto o x elevado a 2 indica que o x é multiplicado 2 vezes.

x 2 = x ⋅ x

Assim, a gente consegue reescrever a equação de y ' .

y ' = e x ⋅ x 2 - 2 x x 4       ⟹       y ' = e x ⋅ x ⋅ x - 2 x x 4

Agora nós vemos que o termo “ x ” está presente nos dois termos que estão dentro do parênteses. Logo, também podemos colocar o “ x ” para fora desse parênteses e mostrar que ele multiplica esses dois termos ao mesmo tempo.

y ' = e x ⋅ x ⋅ x - 2 x x 4       ⟹       y ' = e x ⋅ x ⋅ x - 2 x 4

Fora do parênteses, tem “ x ” em cima e embaixo. Isso quer dizer que podemos cortar o x de cima e diminuir o expoente do “ x 4 ” debaixo em 1 .

y ' = e x ⋅ x ⋅ x - 2 x 4       ⟹       y ' = e x ⋅ x - 2 x 3

Pronto! Derivamos e achamos uma versão mais simples de y ' !

Resposta

y ' = e x ⋅ x - 2 x 3

Exercício Resolvido #3

Seja f x = ( 1 + x ) / ( 1 - x ) . A derivada calculada para x = 1 / 3 corresponde a:

(a) 3

(b) 2 / 3

(c) 9 / 2

(d) 1 / 3

(e) 2

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Passo 1

Opa, galera, prestem atenção no enunciado, porque dessa vez não precisamos apenas derivar f x . Precisamos também substituir x por 1 / 3 depois que a gente derivar f x ! O resultado dessa substituição será a resposta da questão!

Esse é mais um exercício que o x aparece em cima e embaixo da divisão! Sabemos que nesses exercícios, antes de começar a derivar uma função com divisão, temos que dar nomes para cada termo da divisão. Assim a gente se organiza melhor para quando for derivar.

Vamos chamar o termo de cima da fração de g e o termo debaixo de h .

g = 1 + x

h = 1 - x