Introdução e Propriedades

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Se y = 9 - x qual é a única resposta correta para a sua primeira derivada?

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Passo 1

Fala! Empolgada(o) para fazer exercícios de derivada? Fica tranquilo, porque aqui você vai entender tudo com um passo a passo bem explicadinho!

O primeiro passo é entender o enunciado! O que ele quer saber quando pergunta qual é a única resposta correta para a derivada da função y abaixo?

y = 9 - x

Essa é só uma forma diferente de te pedir para derivar! O enunciado quis dizer: qual é a derivada desse y em relação a x ?

Representamos a derivada de y em relação a x como d y d x .

Como y = 9 - x , achamos:

d y d x = d 9 - x d x

E por que ele pediu a primeira derivada? O que isso quer dizer? Existe a segunda derivada?

Quando ele pede a primeira derivada de y , ele pede que você derive y apenas uma vez! Se você derivasse y duas vezes seguidas, você encontraria a segunda derivada de y . Essa segunda derivada é representada da forma abaixo.

d 2 y d x 2

O número 2 indica que essa é a 2 ª derivada!

Mas não vamos perder o foco! Temos que resolver esse exercício e até agora só entendemos o enunciado! Então vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 2

Para entender como derivar uma função com vários termos somados ou subtraídos, como é o caso da função y , temos primeiro que lembrar como derivar cada termo separadamente!

Então vamos nos lembrar como se deriva a constante 9 presente em y !

d 9 d x = ?

Derivar é a mesma coisa que calcular a taxa de variação! Se o termo não varia, como é o caso de uma constante, então sua taxa de variação vale zero!

Ou seja, como 9 não varia em relação a x , sua derivada d 9 d x vale 0 .

d 9 d x = 0

E o termo x presente em y ? Como calculamos ele?

Passo 3

Calculamos a derivada de x , usando a regra do peteleco! Essa regra é usada para derivar variáveis (como a variável x ) que estão elevadas a uma constante! No nosso caso, temos que lembrar que a variável x está elevada a 1 !

x = x 1

Isso quer dizer que esse termo está elevado a uma constante. Logo, podemos usar a tal regra do peteleco!

Essa regra diz que, quando derivamos um termo x elevado a uma constante n , o expoente do termo “cai” e passa a multiplicar. Além disso, x passa a ter um novo expoente n - 1 !

No nosso caso, o expoente n vale 1 . Logo:

d x 1 d x = 1 ⋅ x 1 - 1 = 1 ⋅ x 0 = 1 ⋅ 1 = 1

Pronto! Achamos a derivada de cada termo! Mas quanto vale a derivada de y completo?

Veremos isso no próximo passo!

Passo 4

Nos passos anteriores vimos quanto vale a derivada de 9 e a derivada de x . Porém, ainda não vimos quanto vale a derivada total de 9 - x !

Para calcular a derivada total, precisamos adaptar a regra de derivada da soma! Vimos que a derivada da soma é igual à soma das derivadas! Agora veremos que:

Ou seja, a derivada da subtração é a subtração das derivadas!

Aplicando isso em y , encontramos sua derivada d y d x .

d y d x = d 9 - x d x = d 9 d x - d x d x

Nos já calculamos d 9 d x e d x d x ! Substituindo o que encontramos:

d 9 d x - d x d x = 0 - 1 = - 1

Resumindo, d y d x vale:

d y d x = - 1

Aeeeee! Terminamos o exercício de derivadas! Esse passo a passo ajudou? Responde aí!

Resposta

d y d x = - 1

Exercício Resolvido #2

A derivada da função f x = 3 x 2 + 4 x é:

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Passo 1

Essa questão parece ser difícil, né? Ela tem uns termos mais complicados e pode parecer muito trabalhosa.

Mas se a gente lembrar que termos somados e subtraídos podem ser olhados separadamente, a nossa vida vai ficar muito mais fácil! A derivada de f x pode ser reescrita como abaixo.

d f d x = d d x 3 x 2 + 4 x

d f d x = d d x 3 x 2 + d d x 4 x

Está vendo? Sempre que tivermos uma função grande cheia de somas e subtrações, podemos derivar cada termo de forma separada e depois juntar tudo para calcular a derivada da função inteira!

Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 2

Para calcular as derivadas das variáveis elevadas a um expoente ( 3 x 2 e 4 x ), usaremos a regra do peteleco! Essa regra diz que, quando derivamos um termo x elevado a uma constante n , o expoente do termo “cai” e passa a multiplicar. Além disso, x passa a ter um novo expoente n - 1 !

No caso de 3 x 2 , o expoente n vale 2 . Logo, esse expoente 2 vai cair e passar a multiplicar.

d d x 3 x 2 = 3 ⋅ 2 ⋅ x 2 - 1 = 6 ⋅ x 1 = 6 x

No caso de 4 x , o expoente n vale 1 . Logo:

d d x 4 x = 4 ⋅ 1 ⋅ x 1 - 1 = 6 ⋅ x 0 = 6 ⋅ 1 = 6

Passo 3

O último passo é a cereja do bolo! Já fizemos todo o trabalho duro da questão! Agora só falta substituir as derivadas individuais da órmula da derivada total da função d f d x (essa fórmula é a segunda fórmula do passo 1).

d f d x = d d x 3 x 2 + d d x 4 x

d f d x = 6 x + 4

Não disse que o último passo era só um detalhe pra fechar com chave de ouro a nossa questão?

Pode comemorar! Fizemos mais um exercício de derivada!

Resposta

d f d x = 6 x + 4

Exercício Resolvido #3

A derivada da função f x = a x 5 + b x + c é:

(a) f ' x = 5 a x + b

(b) f ' x = 5 a x 4 + b + c

(c) f ' x = 4 a x 2 + b x

(d) f ' x = a x 4 + b

(e) f ' x = 5 a x 4 + b

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Passo 1

E aí, se assustou com essa função cheia de termos diferentes ( a , b e c )? Eu também! Mas sempre que eu olho uma questão de derivada que me assusta muito, eu respiro fundo e lembro que deve existir um jeito mais simples de enxergar a questão!

Nesse caso, a , b e c estão presentes na função para representar valores constantes!

a = b = c = c o n s t a n t e

Ou seja, a , b e c têm o mesmo papel que o número 2 teria na função g x = 2 x .

Atenção! Não estou dizendo que a , b e c valem 2 . Estou apenas dizendo que esses três termos desempenham o mesmo papel na função que qualquer número desempenharia. Resumindo, a , b e c representam números! Então vamos derivar tendo isso em mente!

Além disso, a gente pode ver que as opções de resposta que temos têm um termo f ' x esquisito. Relaxa, esse termo é apenas uma outra forma de representar a derivada da função f x . Em outras palavras, d f d x e f ' x são formas equivalentes de se representar uma derivada.

f ' x = d f d x

Agora que entendemos o enunciado do exercício, podemos começar a derivar!

Passo 2

Essa função é a soma de vários termos. Podemos tirar proveito disso, usando uma propriedade da derivada. Essa propriedade diz que podemos derivar cada termo separadamente e depois juntar tudo de novo! Em outras palavras, podemos reescrever a derivada da soma d d x a x 5 + b x + c com a soma das derivadas d d x a x 5 , d d x b x e d d x c .

d f d x = d d x a x 5 + b x + c

d f d x = d d x a x 5 + d d x b x + d d x c

Sempre que a função for grande, cheia de somas e subtrações, podemos derivar cada termo de forma separada e depois juntar tudo para calcular a derivada da função inteira!

Vamos derivar cada termo separadamente no próximo passo!

Passo 3

Para calcular as derivadas de a x 5 e b x , usaremos a regra do peteleco! Nessa regra, a derivada faz o expoente “cair” e passar a multiplicar o termo. Além disso, o expoente da derivada é o expoente antigo menos 1 .

No termo a x 5 , o expoente 5 vai “cair” e passar a multiplicar. O novo expoente será 5 - 1 .

d d x a x 5 = 5 ⋅ a x 5 - 1 = 5 ⋅ a x 4

No termo b x , o expoente de x vale 1 .

b x = b x 1

Isso quer dizer que o expoente 1 vai “cair” e o novo expoente valerá 1 - 1 .

d d x b x = b ⋅ 1 ⋅ x 1 - 1 = b ⋅ 1 ⋅ x 0 = b ⋅ 1 ⋅ 1 = b

Já sabemos o valor da derivada de dois termos. Falta só calcular a derivada de c para juntar todos esses valores e encontrar a derivada total da função.

Passo 4

Derivar é a mesma coisa que calcular a taxa de variação! Se o termo não varia, como é o caso de uma constante, então sua taxa de variação vale zero!

Ou seja, como c não varia em relação a x , sua derivada d c d x vale 0 .

d c d x = 0

Agora podemos substituir todos esses valores de derivadas na equação da derivada da função d f d x (segunda equação do passo 2).

d f d x = d d x a x 5 + d d x b x + d d x c

d f d x = 5 a x 4 + b + 0

d f d x = 5 a x 4 + b

Como os resultados da questão representam a derivada de outra forma (com um f ' x ), vamos reescrever a equação acima para ficar mais clara qual é a resposta!

f ' x = 5 a x 4 + b

Essa resposta é a letra (e)! Agora é só marcar a opção (e) e correr pro abraço! Parabéns!

Resposta

Letra (e).

Exercício Resolvido #4

O valor de f ' ( 2 ) para f x = x 2 - 3 x 3 é:

(a) 14 / 3

(b) 1 / 3

(c) - 14 / 3

(d) 5 / 3

(e) - 5 / 3

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Passo 1

Essa questão parece mais difícil do que as anteriores, mas na verdade é mais fácil. Vamos olhar bem a nossa função:

f x = x 2 - 3 x 3