Equação de Diferenças

Teoria Completa

Introdução

Temos aqui mais um tipo de Equação que define uma função. Ela é um pouco diferente das EDO’s que já vimos, até porque ela não é uma EDO, ela não envolve derivadas. Ela é muito comum de ser usada em controle populacional. Mas como diabos é essa equação? A que vamos estudar é a linear ela vai ser

y n + 1 = ρ n y n

Onde n = 0,1 , 2,3 …

Muito louco isso né? Essa função é o que chamamos de discreta, isso porque ela vai ser definida pontualmente.

Caso homogêneo

Uma coisa que vai acontecer é que na verdade a equação da diferença, geralmente, vai ter esse formato

y n + 1 = ρ y n

Onde ρ é um número.

A solução disso é de boa mesmo, nada demais, basta fazer

y n = ρ n y 0

Onde y 0 vai ser o valor inicial dessa função.

Mas assim está muito fácil né? A minha pergunta é como fazer se tivermos uma coisa assim

y n + 1 = n + 1 n + 2 y n

Agora complicou, né? Nesses casos, temos que procurar padrões nessa parada. Olha só

y 1 = 1 2 y 0

y 2 = 2 3 y 1 = 2 3 . 1 2 y 0 = 1 3 y 0

y 3 = 3 4 y 2 = 3 4 . 1 3 y 0 = 1 4 y 0

Viu o padrão? Na verdade essa equação vai ser, neste caso, assim

y n = 1 n + 1 y 0

Caso não homogêneo

Vamos ver mais um tipo de equação discreta. Agora do tipo:

y n + 1 = ρ n y n + b

Onde n = 0,1 , 2,3 …

Veja que agora temos um termo b que não existia antes. Quando isso acontece, chamamos a equação de não homogênea.

E a minha pergunta é: como vamos resolver? Relaxa que é de boa. Primeiro temos que achar a solução da homogênea equivalente.

y n + 1 = ρ y n

Essa equação já vimos que vamos escrever em função de y 0

y h n = ρ n y 0

Depois vamos achar uma solução particular também em função de y 0 . Essa solução particular vai ter sempre a mesma cara, sempre dependendo de b

y p = 1 - ρ n 1 - ρ b

E pronto! Terminamos essa parada. Basta usar essas duas equações para ter a solução geral que será.

y n = ρ n y 0 + 1 - ρ n 1 - ρ b

Lembra de escrever direitinho, tudo separado explicando para não perder ponto.

Rapidinho né? Fica de boa que isso é bem tranquilo mesmo.

E pronto! Temos a nossa solução, tranquilo?

Expandir

Exercício Resolvido #1

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp 70 exercício 2

Resolva a equação de Diferença dada em função do valor inicial y 0 e descreva seu comportamento quando n → ∞

y n + 1 = n + 3 n + 1 y n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa é uma equação da diferença onde para cada termo temos uma relação, vamos ver como fica para os primeiros

n = 0 ⟹ y 1 = 3 1 y 0

n = 1 ⟹ y 2 = 4 2 y 1 ⟹ y 2 = 4 2 3 1 y 0 = 4.3 2.1 y 0

n = 2 ⟹ y 3 = 5 3 y 2 ⟹ y 2 = 5 3 4.3 2.1 y 0 = 5.4 2.1 y 0

n = 3 ⟹ y 4 = 6 4 y 3 ⟹ y 3 = 6 4 5.4 2.1 y 0 = 6.5 2.1 y 0

n = 4 ⟹ y 5 = 7 5 y 4 ⟹ y 4 = 7 5 6.5 2.1 y 0 = 7.6 2.1 y 0

Então podemos perceber que,

y n = n + 3 n + 2 2.1 y 0

Meio louco isso né? Mas repara que temos sempre um sobre 2 e em cima sempre um produto de consecultivos.

Passo 2

Vamos ver agora como se comporta essa função quando n → ∞

lim n → ∞ ⁡ n + 3 n + 2 2.1 y 0 = ∞ . y 0 = ∞

Resposta

y n = n + 3 n + 2 2.1 y 0

lim n → ∞ ⁡ y n = ∞

Exercício Resolvido #2

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp 70 exercício 3

Resolva a equação de Diferença dada em função do valor inicial y 0 e descreva seu comportamento quando n → ∞

y n + 1 = - 1 n + 1 y n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa é uma equação da diferença onde para cada termo temos uma relação, vamos ver como fica para os primeiros

n = 0 ⟹ y 1 = - 1 y 0

n = 1 ⟹ y 2 = - 1 2 y 1 ⟹ y 2 = - 1 2 - 1 y 0 = - 1 y 0

n = 2 ⟹ y 3 = - 1 3 y 2 ⟹ y 2 = - 1 3 - 1 y 0 = + 1 y 0

n = 3 ⟹ y 4 = - 1 4 y 3 ⟹ y 3 = - 1 4 + 1 y 0 = + 1 y 0

n = 4 ⟹ y 5 = - 1 5 y 4 ⟹ y 4 = - 1 5 + 1 y 0 = - 1 y 0

Então podemos perceber que ele alterna o sinal a cada dois números, ou seja, se for 0 ou 1 ele volta a repetir 4 termos depois,

y n = - y 0     s e   n = 0 + 4 k     o u   n = 1 + 4 k

Isso com k = 0,1 , 2,3 …

A mesma coisa vai acontecer com 2 e 3

y n = y 0     s e   n = 0 + 4 k     o u   n = 1 + 4 k

Então

y n = - y 0 s e   n = 4 k   o u   n = 1 + 4 k y 0 s e   n = 2 + 4 k   o u   n = 3 + 4 k

Com k = 0,1 , 2,3 …

Passo 2

Vamos ver agora como se comporta essa função quando n → ∞

Como ela alterna entre 1 e - 1 não podemos definir o seu limite, então o limite não existe

Resposta

y n = - y 0 s e   n = 4 k   o u   n = 1 + 4 k y 0 s e   n = 2 + 4 k   o u   n = 3 + 4 k

A função não tem limite.

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Resolva a equação de Diferença dada em função do valor inicial y 0

y n + 1 = 1 3 y n + 6

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui temos uma equação não homogênea, primeiro vamos resolver a equivalente homogênea

y n + 1 = 1 3 y n

Lembra como é a solução?

y h n = 1 3 n y 0

Show vamos para a particular agora

Passo 2

Nesse caso

b = 6

A solução particular vai ser

y p = 1 - 1 3 n 1 - 1 3 6 = 1 - 1 3 n 2 3 6 = 1 - 1 3 n 3 2 6 = 1 - 1 3 n 9

Passo 3

A solução geral vai ser

y n = y h n + y p

y n = 1 3 n y 0 + 1 - 1 3 n 9

Resposta

y n = 1 3 n y 0 + 1 - 1 3 n 9

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2011.2, Questão 1

Resolva as equações de diferenças abaixo:

(a)

y n + 1 = y n 2 - 2 n y n + 2 ,           y 0 = 1

(b)

y n + 2 = 4 y n + 1 - 4 y n + 2 n ,           y 0 = 0 ,             y 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Para resolver essa equação de diferenças, vamos ver como fica a equação para cara n natural.
  2. y 1 = y 0 2 + 2 = 1 + 2 = 3

    y 2 = y 1 2 - 2 y 1 + 2 = 9 - 6 + 2 = 5

    y 3 = y 2 2 - 4 y 2 + 2 = 25 - 20 + 2 = 7

    y 4 = y 3 2 - 6 y 3 + 2 = 49 - 42 + 2 = 9

    y 5 = y 4 2 - 8 y 4 + 2 = 81 - 72 + 2 = 11

    Pelo padrão, da pra notar que a solução vai ter a cara de

    y n = 2 n + 1

    Substituindo na equação, temos

    2 n + 1 + 1 = 2 n + 1 2 - 2 n 2 n + 1 + 2

    Temos que mostrar que essa igualdade é valida para todo n natural.

    Então, desenvolvemos os dois lados e verificamos que são iguais.

    O lado esquerdo fica

    2 n + 1 + 1 = 2 n + 2 + 1 = 2 n + 3

    O lado direito fica

    2 n + 1 2 - 2 n 2 n + 1 + 2 = 4 n 2 + 4 n + 1 - 4 n 2 - 2 n + 2 = 2 n + 3

    Logo, temos que a solução da equação fica

    y n = 2 n + 1

    Passo 2

  3. Bom, para resolver essa equação de diferenças temos que resolver a equação homogênea associada e depois a solução particular.

A equação homogênea associada é dada por

y n + 2 = 4 y n + 1 - 4 y n

Cuja solução é dada pela equação característica associada

λ 2 - 4 λ + 4 = 0

⇒ λ 1 = λ 2 = 2

Portanto, a solução é

y h n = C 1 2 n + C 2 n 2 n

Passo 2

Para achar a solução particular procuramos soluções da forma

y p n = C n 2 2 n

Substituindo na equação, temos

C n + 2 2 2 n + 2 = 4 C n + 1 2 2 n + 1 - 4 C n 2 2 n + 2 n

⇒ 4 C n 2 + 4 n + 4 = 8 C n 2 + 2 n + 1 - 4 C n 2 + 1

⇒ 8 C = 1

⇒ C = 1 8

Portanto, a solução particular é

y p n = n 2 2 n 8

E a solução geral é dada por

y n = C 1 2 n + C 2 n 2 n + n 2 2 n 8

Passo 3

Usando as condições iniciais

y 0 = 0 ,             y 1 = 0

Temos que

0 = y 0 = C 1

E

0 = y 1 = 2 C 2 + 1 4 ⇒ C 2 = - 1 8