EDO com Mudança de Variáveis

Teoria Completa

Introdução

Até agora você já viu vários métodos para resolver diversos tipos de EDO. Nessa parte nós vamos tratar de alguns casos especiais, casos onde vamos ter que fazer uma mudança de variável pra poder resolver a equação. Vamos tentar passar pra vocês um método pra identificar a mudança de variável e como proceder depois.

Método da substituição de variável

Nesse assunto, cada equação pode ter uma mudança diferente então não temos fórmulas padrão pra todas as equações. A ideia é procurar a parte que tá gerando problema na equação e substituir pra chegar em uma equação que nós sabemos resolver. Pegar o que tá estranho e tentar substituir isso. Eu sei que isso tá meio confuso, mas vai tudo ficar mais calaro nos exemplos que vamos ver agora.

Exemplo 1

x e 2 y d y d x + e 2 y = ln ⁡ x x  

Vamos lá. O que ta bem estranho nessa equação? O fato do y aparecer como e 2 y . A gente não sabe resolver uma EDO com e 2 y então vamos fazer a seguinte substituição.

u = e 2 y

Vamos calcular d y d x em função de u e d u d x . Para isso vamos derivar essa equação que temos acima em função de x .

d u d x = e 2 y 2 d y d x  

d y d x = d u d x e - 2 y 2 = d u d x u - 1 2

Substiuindo y e d y d x na equação

x u d u d x u - 1 2 + u = ln ⁡ x x

x 2 d u d x + u = ln ⁡ x x

Agora nós já temos um EDO de 1ª ordem que nós sabemos resolver. Vamos dividir a equação por x 2 .

d u d x + 2 u x = 2 ln ⁡ x x 2

A x = 2 x

B x = 2 ln ⁡ x x 2

Calculando I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ 2 x d x = 2 ln ⁡ x = ln ⁡ x 2

I x = e ln ⁡ x 2 = x 2

Calculando ∫ I x B x d x

∫ x 2 2 ln ⁡ x x 2 d x = 2 ∫ ln ⁡ x d x

Vamos utilizar integração por partes para resolver essa integral de ln ⁡ x . Chamando u = ln ⁡ x e d v = d x .

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ x 1 x d x = x ln ⁡ x - x  

Logo teremos que.

∫ I x B x d x = 2 x ln ⁡ x - 2 x

Utilizando a fórmula para encontrar a solução da EDO de 1ª ordem.

u x = 1 I x ( ∫ I x B x d x + C )

u x = 1 x 2 ( 2 x ln ⁡ x - 2 x + C )

Encontramos a solução para u , agora nós temos que voltar com a nosso variável y , ou seja, temos que realizar a mudança de variável inversa. Como u = e 2 y podemos escrever anossa equação na forma implícita da seguinte forma.

e 2 y = 1 x 2 ( 2 x ln ⁡ x - 2 x + C )

Exemplo 2

x sen ⁡ y d y d x + cos ⁡ y =   - x 2 e x  

Esse cos ⁡ y e sen ⁡ y tão muito estranhos nessa equação. Vamos tentar a substituição u = cos ⁡ y . Você deve ta pensando o porque de não estarmo fazendo a substituição u = sen ⁡ y , vamos calcular d u d x pra vocês perceberem que parada legal aparece usando a substituição do cosseno.

d u d x = - sen ⁡ y d y d x  

Apareceu justamente a outra parte da equação que tava dando problema. Quando trabalhamos com substituição de várivael temos que pensar na derivada das subtituiçoes pra ver se elas vão ajudar a gente, como essa ajudou.

Realizando a mudança de variável.

- x d u d x + u = x 2 e x  

Dividindo a equação por – x .

d u d x - u x = x e x

Chegamos em uma EDO de 1ª ordem, agora é só resolver.

A x = - 1 x

B x = x e x

Calculando I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ - 1 x d x = ln ⁡ x - 1

I x = e ln ⁡ x - 1 = x - 1

Calculando ∫ I x B x d x

∫ x - 1 x e x = ∫ e x = e x

Utilizando a formula para EDO de 1ª ordem

u x = 1 I x ( ∫ I x B x d x + C )

u x = 1 x - 1 e x + C

u x = x e x + x C

Realizando a mudança de variável inversa

cos ⁡ y = x e x + x C

Exemplo 3

y ' ' + y ' 2 + 1 = 0

Agora você já deve estar pegando o jeito e já percebeu que o problema dessa equação é esse ( y ' ) 2 , Vamos substituir ele.

u = y '

Derivando a equação em função de x .

u ' = y ' '

Realizando a mudança de variável

u ' + u 2 + 1 = 0

Isso é uma equação separável. Escrevendo naquele formato característico de separável.

d u d x = - u 2 - 1

d u u 2 + 1 = - d x

Integrando os dois lado da equação.

∫ 1 u 2 + 1 d u = tg - 1 ⁡ u

Vale lembrar que essa integral é uma daquelas decoradas que você deve ter visto lá quanto tava estudando integral.

∫ - d x = - x

Igualando as duas equações e somando uma constante de integração C .

tg - 1 ⁡ u = - x + C

u = tg ⁡ ( C - x )

Realizando a mudança inversa de variável

y ' = tg ⁡ ( C - x )

Agora basta resolver essa outra EDO que é bem imediata quando a gente lembrar da integral de tangente.

∫ tg ⁡ - x d x = ln ⁡ ( cos ⁡ x )

Dessa forma

y = ln ⁡ cos ⁡ C - x + D

Onde D é uma constante.

Revisão

Vamos relembrar rapidinho o que temos que fazer para resolver esses casos de EDO.

  1. Identificar o que está atrapalhando nossa EDO.
  2. Definir a substituição de variável, u .
  3. Calcular d u d x
  4. Aplicar a mudança de variável e conferir se caímos em uma equação que sabemos resolver.
  5. Resolver a equação

Expandir

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp87-5

Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada

d y d x - 4 x y = 2 x 5 e y x 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para fazermos uma substituição numa equação a principal ideia é procurar o que está dando problema e substituir isso. Analisando essa equação, se o termo na direita fosse função só de x tds os nosso problemas estariam resolvidos. Vamos tentar fazer a seguinte substituição pra dar um jeito naquele exponencial.

y = u x 4

Passo 2

Calculando d y d x em função de u e x .

d y d x = d u d x x 4 + 4 u x 3

Substiuindo y ' e y na equação

u ' x 4 + 4 u x 3 - 4 x u x 4 = 2 x 5 e u

u ' x 4 + 4 u x 3 - 4 u x 3 = 2 x 5 e u

u ' x 4 = 2 x 5 e u

d u d x = 2 x e u

Agora chegamos numa equação separável bonita. Vamos so escrever ela de uma forma mais elegante e vamos partir pra resolução.

e - u d u = 2 x d x

Passo 3

Integrando o lado esquerdo da equação

∫ e - u d u = - e - u

Integrando o lado direito da equação

∫ 2 x d x = x 2

Passo 4

Igualando os dois lados e somando uma constante de integração C

- e - u = x 2 + C

Substituindo u na equação

e y x 4 = - x 2 - C

Resposta

e y x 4 = - x 2 - C

Exercício Resolvido #2

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp87-3

Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada

y d x + 1 + y e x d y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para fazermos uma substituição numa equação a principal ideia é procurar o que está dando problema e substituir isso. Analisando essa equação, o termo mais diferente é aquele y e x . Vamos tentar fazer a seguinte substituição pra dar um jeito naquele exponencial.

u = y e x

u e x = y

Passo 2

Calculando d y d x em função de u e x .

d y d x = d u d x 1 e x - u e x  

Dividindo a nossa equação inicial por d x

y + 1 + y e x y ' = 0

Substituindo y ' e y .

u e x + 1 + u u ' e x - u e x = 0

u e x + u ' e x - u e x + u u ' e x - u 2 e x = 0