Coeficientes Constantes Homogênea

Teoria Completa

Introdução:

Faaaaala aí! Vamos dar prosseguimento ao estudo das EDO’s. Você lembra que já vimos como resolver EDO’s de 2ª ordem com coeficientes constantes homogênea? Se não, é só dar uma olhadinha na teoria, que tá tudo bem explicadinho pra você arrasar nessa teoria aqui também! Antes, estávamos tratando de equações desse tipo:

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = 0

Beleza, agora imagina que tenhamos isso:

y ' ' ' x - 3 y ' ' x + 4 y ' x + 2 y x = 0

A única diferença é que temos derivadas de ordem maior que dois envolvidas.

Como que faremos pra resolver isso? Você vai ver que é muito parecido com EDO de 2 ª ordem.

Olha mais alguns exemplos do que vamos estudar nessa teoria:

y ( 4 ) + 4 y ' ' ' - 2 y ' ' + 7 y ' + y = 0

y ( 5 ) - y 4 + 3 y ' ' ' - 5 y ' ' + y ' - 3 y = 0

y ' ' ' - 6 y ' ' + 9 y ' + 4 y = 0

Percebeu alguma semelhança em todas elas? Todas estão igualadas a ZERO e os coeficientes que acompanham y e suas derivadas são NÚMEROS. Por isso, é chama de EDO Superior Homogênea com Coeficientes Constantes.

De maneira geral, as EDOs superiores homogêneas têm a seguinte cara:

a n y ( n ) + a n - 1 y ( n - 1 ) + … + a 3 y ' ' ' + a 2 y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0

Com todos  a 0 , a 1 a 2 … a n  constantes.

Como que faremos pra resolver isso? Você vai ver que é muito parecido com EDO de 2 ª ordem.

Encontrando a equação auxiliar:

Pra começar, nada melhor que um exemplo né? Dá uma olhada:

y ' ' ' - 5 y ' ' + 6 y ' = 0

Bom, a ideia aqui é a mesma de EDO de 2 ª ordem, que seria pensar numa função cujas derivadas sejam bem parecidas com a própria função! Então, chutaremos de novo y = e r x

Substituindo na EDO:

e r x ' ' ' - 5 e r x ' ' + 6 e r x ' = 0

r 3 e r x - 5 r 2 e r x + 6 r e r x = 0

e r x r 3 - 5 r 2 + 6 r = 0

Maneiro! Temos um produto de duas parcelas sendo zero. Isso significa que ou uma é zero, ou a outra é. Porém, e r x nunca é zero. Logo:

r 3 - 5 r 2 + 6 r = 0

Aeeeee, chegamos num polinômio! Bora resolvê-lo :)

r r 2 - 5 r + 6 = 0

r 1 = 0     o u     r 2 - 5 r + 6 = 0

r 2 = 2   e   r 3 = 3

Encontramos nossas três raízes. Vamos escrever as soluções assim, ó:

r 1 = 0 → y 1 = c 1 e 0 x

r 2 = 2 → y 2 = c 2 e 2 x

r 3 = 3 → y 3 = c 3 e 3 x

Podemos agora escrever a solução geral, que vai ser sempre a soma de todos os y k :

y x = y 1 + y 2 + y 3

y x = c 1 e 0 x + c 2 e 2 x + c 3 e 3 x

y x = c 1 + c 2 e 2 x + c 3 e 3 x

MUITO SHOW! Vamos generalizar?

Dada uma EDO desse tipo:

a n y ( n ) + a n - 1 y ( n - 1 ) + … + a 3 y ' ' ' + a 2 y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0

Montaremos a equação auxiliar:

a n r n + a n - 1 r n - 1 + … + a 3 r 3 + a 2 r 2 + a 1 r + a 0 = 0

Encontraremos as raízes da equação e para cada uma delas teremos um y k . Por fim, escrevemos a solução geral:

y x = y 1 + y 2 + y 3 + … + y n - 1 + y n

Beleza... Agora preciso te dar uma notícia meio chata. Quando temos uma equação de grau  n  devemos ter  n  raízes, o detalhe que não necessariamente temos  n  raízes diferentes, basta que as multiplicidades das raízes somem n . Como nós estamos tratando de polinômios, temos que ter em mente que algumas raízes podem ter multiplicidade maior que um (reais ou complexas) :/ Vamos ver cada caso?

Raízes com multiplicidade 1:

Bom, se tem multiplicidade um, temos que ver o caso em que ela é real e o caso em que ela é complexa:

  • Se a raiz for real, a solução é dada por
  • y 1 = c 1 e r 1 x

  • Se a raiz for complexa, então

r = α + β i

Quando temos uma raiz complexa dessa forma podemos garantir que vamos ter uma outra raiz complexa que vai ser

r = α - β i

E a solução dessas duas juntas vai ser

y 1 + y 2 = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x

Olha um exemplo com raízes complexas:

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = 0

Começamos com a equação auxiliar

r 3 - r 2 + r - 1 = 0

r 2 r - 1 + r - 1 = 0

Colocando r - 1 em evidência:

r - 1 r 2 + 1 = 0

Isso nos dá que

r = 1   o u   r = ± i

Todas essas raízes apareceram uma vez só, então tem multiplicidade 1 .

Para r = 1 , que é uma raiz real, temos

y 1 = c 1 e x

Para r = ± i , que é complexa, temos

y 2 + y 3 = e 0 x c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n x

y 2 + y 3 = c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n x

Então a solução geral vai ser:

y x = y 1 + y 2 + y 3

y x = c 1 e x + c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n x

Raízes com multiplicidade maior que 1:

Imagina que temos duas raízes r 1 e r 2 iguais (chamaremos ambas de r )! A solução de cada uma será:

y 1 = c 1 e r x

y 2 = c 2 x e r x

Entendeu a ideia? Você vai multiplicar a solução pela variável até que ela fique diferente das outras. E se forem quatro raízes iguais?

y 1 = c 1 e r x

y 2 = c 2 x e r x

y 3 = c 3 x 2 e r x

y 4 = c 4 x 3 e r x

Sacou? Olha um exemplo:

y ( 6 ) + 8 y ( 4 ) + 16 y ' ' = 0

Começamos com a equação auxiliar:

r 6 + 8 r 4 + 16 r 2 = 0

r 2 r 4 + 8 r 2 + 16 = 0

Mas repara que r 4 + 8 r 2 + 16 = r 2 + 4 2 , então

r 2 r 2 + 4 2 = 0

Isso nos diz que:

r 2 = 0     o u     r 2 + 4 2 = 0

Da primeira temos r = ± 0 . Esse ± só tá aí pra você ver que são duas raízes iguais.

Da segunda, tiramos que

r 2 + 4 = ± 0

Isso é só pra você ver que:

r 2 + 4 = 0                         r 2 + 4 = 0

O que nos dá

r = ± 2 i           e             r = ± 2 i

E as nossas raízes são

0,0 , 2 i , - 2 i , 2 i , - 2 i

Repara que tem uma galera aí com multiplicidade 2 . Agora vamos escrever a solução. Para r = 0 :

y 1 = c 1 e 0 x = c 1

y 2 = c 2 x e 0 x = c 2 x

Para r = ± 2 i :

y 3 + y 4 = e 0 x c 3 cos ⁡ 2 x + c 4 s e n 2 x = c 3 cos ⁡ 2 x + c 4 s e n 2 x

y 5 + y 6 = c 5 cos ⁡ 2 x + c 6 s e n 2 x x

Então a solução geral vai ser:

y x = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6

y x = c 1 + c 2 x + c 3 cos ⁡ 2 x + c 4 s e n 2 x + c 5 cos ⁡ 2 x + c 6 s e n 2 x x

Dá trabalho, mas praticando tudo dá certo!

Tá... Mas e na hora de encontrar as raízes, como faço?

Relaxa, vou te ensinar um método muito bom.

Método de Briot-Ruffini

Exemplo: Vamos encontrar a solução geral da EDO abaixo.

y 5 + y 4 - 2 y ' ' ' - 2 y ' ' + y ' + y = 0

A equação auxiliar é:

r 5 + r 4 - 2 r 3 - 2 r 2 + r + 1 = 0

Como encontrar as raízes dessa equação?!

O detalhe nesse método é que você só pode usá-lo se você conhecer uma raiz. Então, o que a gente faz é ver os candidatos a serem raízes.

Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser  1 , vamos chamar isso de

a = 1

Qual o valor do cara sem a variável  r ? Vai ser  1 , vamos chamar isso de

b = 1

As possíveis raízes vão ser os divisores de  b  sobre os divisores de  a , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.

Nesse caso, os divisores de  b  são  ± 1 . Os divisores de  a  são ± 1 . Logo, as possíveis raízes são

r = ± 1

Então temos que testar essas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar  0 . Se der  0 , o valor de  r  é raiz, e se não der  0 , ele não é raiz.

Vamos começar testando r = 1

1 + 1 - 2 - 2 + 1 + 1 = 0

2 - 2 - 2 + 2 = 0

0 = 0

Portanto, r 1 = 1 é raiz.

Agora que temos uma raiz dessa equação, podemos aplicar o método de Briot-Ruffini para diminuir essa equação em  1  grau. Você lembra como é esse método? Primeiro vamos colocar a nossa equação aqui embaixo:

r 5 + r 4 - 2 r 3 - 2 r 2 + r + 1 = 0

A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando  0  vezes o r  elevado aos graus que não aparecem. No nosso caso, todos os graus estão presente na equação.

Agora montamos o seguinte quadrinho:

No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.

Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar:

O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.

Nesse caso fazemos

1.1 + 1 = 2

Esse primeiro  1  nessa equação imediatamente acima é o coeficiente, o segundo  1  é o número do canto superior direito e aquele outro  1  é o próximo coeficiente.

Fazendo essa conta chegamos ao valor  2