Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

y ' ' ' + y ' ' - 2 y = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' ' + y ' ' - 2 y = 0

Assim:

m 3 + m 2 - 2 = 0

Então, nossas raízes são m = 1 ,   m = - 1 + i e m = - 1 - i

Então temos 3 raízes distintas. Nossa solução vai ficar assim:

y = c 1 . e x + c 2 . e ( - 1 + i ) x + c 3 . e ( - 1 - i ) x

y = c 1 . e x + c 2 . e - x . e x i + c 3 . e - x . e - x i

Vamos reescrever a parte complexa usando a fórmula de Euler:

y = c 1 . e x + e - x . c 2 . cos ⁡ x + i . s e n x + c 3 . cos ⁡ x - i . s e n x

E acabamosss

Resposta

y = c 1 . e x + e - x . c 2 . cos ⁡ x + i . s e n x + c 3 . cos ⁡ x - i . s e n x

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