Método da Variação dos Parâmetros

Teoria Completa

Olha quem tá aqui!!! Como é que se diz mesmo? “O bom filho a casa torna”

E aí, beleza? Cara, sei que você já deve estar cansado de casos não homogêneos, mas eles estão no fim! A gente já viu o método dos coeficientes indeterminados. Ele é bem útil para achar a solução particular, mas só serve quando o termo não homogêneo é uma combinação de senos, cossenos, exponenciais e polinômios.

Suponha que você encontre algo desse tipo:

y ' ' x + y x = t g ( x )

É... Complicou né? Pra resolver essa equação, teremos que aprender um novo método e ele se chama método da variação dos parâmetros.

A primeira coisa que temos que ter nesse método é a solução da equação homogênea associada (se você não lembra, é aquela que a gente faz o termo que não envolve  y ( x )  igual a zero). No nosso caso, a homogênea associada é

y ' ' x + y x = 0

Muitas vezes o próprio enunciado nos conta qual é a solução da homogênea, mas e quando ele não nos contar? Choramos? Entregamos a prova em branco?

Nãããão!!! Usamos o método da equação característica (se você não lembra, volta lá na nossa teoria). Para o caso de uma EDO desse tipo

a y ' ' + b y ' + c y = 0

A gente usava a seguinte equação auxiliar

a r 2 + b r + c = 0

E a solução era dada pela nossa querida tabelinha

Aqui no nosso caso, teremos que  a = 1 b = 0 c = 1  . Ficaria:

r 2 + 1 = 0

Então, a solução da homogênea é

y h x = c 1 sen ⁡ x + c 2 c o s ⁡ ( x )

A gente pode escrever essa solução como

y h x = c 1 y 1 + c 2 y 2

PRE PA RA, que agora é hora de começar o método! Para encontrar a solução da EDO não homogênea, ou seja, a solução particular, a gente vai supor que ela é bem parecida com a da homogênea. A única diferença é que aquelas constantes  c 1 , c 2  serão funções  f 1 f 2 , isto é

y p x = f 1 x y 1 + f 2 x y 2 → y p x = f 1 x s e n x + f 2 c o s ⁡ ( x )

Cara, eu nunca te pedi nada, mas quero muito que você confie em mim quando eu disser que vou pular a parte dos cálculos mais pesados. É pro seu próprio bem!

As fórmulas pra você encontrar f 1 e f 2 já estão prontinhas pra você!

f 1 x = ∫ y 2 x B x M d x

f 2 x = ∫ - y 1 x B x M d x

Onde B ( x ) é aquela função esquisita que te fez usar esse método, que no nosso caso, é t g ( x ) e

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1

No nosso caso,

M = c o s ⁡ ( x ) - s e n ( x ) s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) = c o s 2 x + s e n 2 x = 1

Então

f 1 x = ∫ cos ⁡ x t g ( x ) d x = - c o s ⁡ ( x )

f 2 x = ∫ - s e n x t g ( x ) d x = s e n x + ln ⁡ cos ⁡ x 2 - s e n x 2 - ln ⁡ s e n x 2 + cos ⁡ x 2

Portanto

y p x = f 1 x s e n x + f 2 c o s ⁡ ( x )

Que vai ser algo bem grande hahaha Depois disso, é só somar com a solução da homogênea e tcharan!!! Prontinho!

Passo a Passo

  1. Arrume a EDO para ficar com a cara y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )
  2. Resolva a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: y h , caso o problema não forneça a solução da homogênea.
  3. Identifique  y 1 ( x )  e  y 2 ( x )
  4. Encontre a cara da solução particular  y p x = f 1 x y 1 + f 2 x y 2
  5. Calcule  y 1 ' e y 2 '
  6. Calcule M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1
  7. Calcule
  8. f 1 x = ∫ y 2 x B x M d x

    f 2 x = ∫ - y 1 x B x M d x

  9. Encontre solução geral:  y x = y h x + y p ( x )
  10. Substitua condições iniciais, caso existam

Cara, o melhor jeito de pegar esse passo a passo é fazendo exercício! Bora lá!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 217 - 29

Sabendo-se que y 1 = x   ,     y 2 = x ln ⁡ x formam um conjunto fundamental de soluções para x 2 y " - x y ' + y = 0 em ( 0 ,   ∞ ) , encontre a solução geral para:

x 2 y " - x y ' + y =   4 x l n ( x )

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Passo 1

Vamos relembrar o passo a passo do método da variação dos parâmetros:

  1. Arruma a EDO para ficar com a cara: y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )
  2. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: y h x ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
  3. Identificar y 1 ( x ) e y 2 ( x )
  4. Encontrar a cara da solução particular y p x = y 1 x . f 1 x + y 2 x . f 2 ( x )
  5. Calcular y 1 ' x e y 2 ' x
  6. Calcular M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x
  7. Calcule
  8. f 1 x = ∫ y 2 x . B x M d x

    f 2 x = ∫ - y 1 x . B x M d x

  9. Encontrar solução geral: y x = y h x + y p x
  10. Substituir condições iniciais caso exista

Passo 2

Seguindo exatamente esses passos temos:

Colocando a equação na forma: y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )

Temos:

y ' ' - y ' x + y x 2 = 4 ln ⁡ x x

p x = - 1 x

q x = 1 x 2

B x = 4 ln ⁡ x x

Passo 3

O problema já fornece a solução da homogênea. Temos então:

y 1 = x  

    y 2 = x ln ⁡ x

Passo 4

A solução particular será:

y p x = f 1 x x + f 2 x x ln ⁡ x

Passo 5

Calculando :

y 1 ' = 1

y 2 ' = ln ⁡ x + x . 1 x = ln ⁡ x + 1

Passo 6

Calculando M temos:

M = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x

M = 1 x ln ⁡ x - ( ln ⁡ x + 1 x )

M = - x

Passo 7

Calculando:

f 1 x = ∫ y 2 x . B x M d x

Temos:

f 1 x = ∫ x l n x 4 ln ⁡ x x - x d x

f 1 x = - 4 ∫ ln ⁡ x 2 x d x

Como resolver essa integral? Vamos usar a substituição simples:

u = l n ⁡ ( x )

d u = 1 x d x

d x = x d u

Substituindo na integral temos:

f 1 x = - 4 ∫ u 2 x x d u

f 1 x = - 4 ∫ u 2 d u

f 1 x = - 4 u 3 3

f 1 x = - 4 3 ln ⁡ x 3

Calculando :

f 2 x = ∫ - y 1 x . B x M d x

f 2 x = ∫ - x . 4 ln ⁡ x x - x d x

f 2 x = 4 ∫ l n ⁡ ( x ) x d x

Vamos fazer uma substituição simples:

u = l n ⁡ ( x )

d u = 1 x d x

d x = x d u

Substituindo:

f 2 x = 4 ∫ u x x d u

f 2 x = 4 ∫ u d u

f 2 x = 4 u 2 2 = 2 u 2

f 2 x = 2 ln ⁡ x 2

Logo:

y p x = f 1 x x + f 2 x x l n ( x )

y p x = - 4 3 ln ⁡ x 3 x + 2 ln ⁡ x 2 x l n ( x )

y p x = - 4 3 ln ⁡ x 3 x + 2 ln ⁡ x 3 x = 2 3 x ln ⁡ x 3

Passo 8

Encontrar a solução geral:

y x = y h x + y p x

Sabemos que :

y h x = c 1 y 1 + c 2 y 2

Logo:

y h x = c 1 x + c 2 x l n ( x )

Então:

y x = c 1 x + c 2 x l n x + 2 3 x ln ⁡ x 3

Resposta

y x = c 1 x + c 2 x l n x + 2 3 x ln ⁡ x 3

Exercício Resolvido #2

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 218 - 32

Sabendo-se que y 1 = c o s ⁡ ( ln ⁡ x )   ,     y 2 = s e n ( l n x ) são soluções linearmente independentes para x 2 y " + x y ' + y = 0 em ( 0 ,   ∞ ) ,

  1. Encontre a solução particular para:
  2. x 2 y " + x y ' + y =   s e c ⁡ ( l n ( x ) )

  3. Dê a equação solução geral para a equação e defina um intervalo para que esta seja válida
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos relembrar o passo a passo do método da variação dos parâmetros:

  1. Arruma a EDO para ficar com a cara: y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )
  2. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: y h x ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
  3. Identificar y 1 ( x ) e y 2 ( x )
  4. Encontrar a cara da solução particular y p x = y 1 x . f 1 x + y 2 x . f 2 ( x )
  5. Calcular y 1 ' x e y 2 ' x
  6. Calcular M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x
  7. Calcule
  8. f 1 x = ∫ y 2 x . B x M d x

    f 2 x = ∫ - y 1 x . B x M d x

  9. Encontrar solução geral: y x = y h x + y p x
  10. Substituir condições iniciais caso exista

Seguindo exatamente esses passos temos:

  1. Colocando a equação na forma: y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )
  2. Temos:

    y " + y ' / x   + y / x 2 = s e c ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) / x 2

    p x = 1 x

    q x = 1 x 2

    B x = s e c ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) x 2

    Passo 2

  3. O problema já fornece a solução da homogênea.
  4. Passo 3

  5. Temos então:
  6. y 1 = c o s ⁡ ( ln ⁡ x )  

        y 2 = s e n ( ln ⁡ ( x ) )

    Passo 4

  7. A solução particular será:
  8. y p x = f 1 x c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) + f 2 x s e n ( ln ⁡ x )

    Passo 5

  9. Calculando :
  10. Pela regra da cadeia:

    y 1 ' = - s e n ln ⁡ x x

    Também pela regra da cadeia:

    y 2 ' = cos ⁡ ln ⁡ x x

    Passo 6

  11. Calculando M temos:
  12. M = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x

    M = - s e n ln ⁡ x x s e n ( l n x ) - cos ⁡ ln ⁡ x x cos ⁡ ln ⁡ x

    M = - s e n ln ⁡ x 2 x - cos ⁡ ln ⁡ x 2 x = - s e n ln ⁡ x 2 + cos ⁡ ln ⁡ x 2 x

    Agora, pela relação fundamental da trigonometria:

    s e n ln ⁡ x 2 + cos ⁡ ln ⁡ x 2 = 1

    Portanto,

    M = - 1 x

    Passo 7

  13. Calculando:

f 1 x = ∫ s e n l n x . sec ⁡ ln ⁡ x x 2   - 1 x d x

Temos:

f 1 x = - ∫ x s e n l n x . sec ⁡ ln ⁡ x x 2 d x

Sabemos ainda que:

sec ⁡ ln ⁡ x = 1 c o s ⁡ ( ln ⁡ x )

Substituindo:

f 1 x = - ∫ 1 x s e n l n x . 1 c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) d x

f 1 x = - ∫ 1 x s e n ln ⁡ x cos ⁡ ln ⁡ x   d x

Alguém sabe como resolver isso? Essa integral é meio chatinha mas dá pra fazer.

Vamos começar fazendo a substituição:

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

d x = x d u

Substituindo:

f 1 x = - ∫ s e n u cos ⁡ u 1 x x d u = - ∫ s e n u cos ⁡ u d u

Agora vamos fazer mais uma substituição:

v = c o s ⁡ ( u )

d v = - s e n u d u

d u = d v - s e n u

Substituindo temos:

f 1 x = - ∫ s e n u v 1 - s e n u d v

f 1 x = ∫ 1 v d v

f 1 x = ln ⁡ v

f 1 x = ln ⁡ cos ⁡ u

f 1 x = l n ⁡ | c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) |

Calculando :

f 2 x = ∫ - c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) . s e c ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) x 2 - 1 x d x

f 2 x = ∫ ( cos ⁡ ln ⁡ x ) sec ⁡ ln ⁡ x x   d x

Sabemos que:

sec ⁡ ln ⁡ x = 1 c o s ⁡ ( ln ⁡ x )

Então:

f 2 x = ∫ 1 x   d x

f 2 x = ln ⁡ x = l n ⁡ ( x )

Pois estamos trabalhando com o intervalo ( 0 , ∞ )

Logo:

y p x = f 1 x cos ⁡ ln ⁡ x + f 2 x s e n ln ⁡ x

y p x = l n ⁡ | c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) | cos ⁡ ln ⁡ x + l n ⁡ ( x ) s e n ln ⁡ x

Passo 2

b)

  1. Vamos Encontrar a solução geral:

y x = y h x + y p x

Sabemos que :

y h x = c 1 y 1 + c 2 y 2

Logo:

y h x = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x   + c 2 s e n ( l n x )

Então:

y x = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x   + c 2 s e n l n x + l n ⁡ | c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) | cos ⁡ ln ⁡ x + l n ⁡ ( x ) s e n ln ⁡ x

Passo 3

Já encontramos a equação geral mas agora temos que encontrar um intervalo para o qual a equação geral esteja válida. Ou seja, devemos encontrar um intervalo em que todos os termo da EDO devem existir:

x 2 y " + x y ' + y =   s e c ⁡ ( l n ( x ) )

Lembre que a função sec ⁡ θ   não está definida nos pontos θ = - π 2