Teoria Completa
Combinação Linear de Funções
Fala, galera! Tudo tranquilo? Vamos estudar agora os principais pontos a respeito de dependência linear de funções.
Considere as funções a seguir:
Queremos saber se é uma combinação linear de , ou seja, se:
Sendo uma constante.
Temos então:
Se existir que satisfaça a equação acima, então é uma combinação linear de .
Vamos tentar encontrar :
Portanto é uma combinação linear de . Beleza?
Dependência e Indepenência Linear de Funções
Já entedemos o que significa uma função ser uma combinação linear de outra função. Mas pra que isso vai nos servir?
Se uma função for uma combinação linear de uma outra função , então e são funções Linearmente Dependentes.
Voltando ao nosso exemplo, vimos que é uma combinação linear de , logo e são linearmente dependentes.
Generalizando:
Seja e funções quaisquer. e são linearmente dependentes, se uma for combinação linear da outra, ou seja, como vimos acima:
Sendo uma constante.
Podemos escrever essa equação de outra forma:
Multiplicando ambos os lados por uma constante qualquer temos:
Vamos chamar , que é uma constante, de . Então temos:
Portanto, duas funções e são linearmente dependentes se:
Sendo e constantes, com uma delas diferente de zero.
Caso contrário, elas são linearmente independentes.
Wronskiano de Funções:
Que parada é essa “Wrosnkiano”??? Não se preocupe! Vou te explicar com bastante calma, passo a passo, tudo que precisamos saber sobre esse tal de Wrosnkiano.
Vamos continuar usando as funções:
.
Podemos calcular suas derivadas:
O Wronskiano de duas funções nada mais é do que:
Usando as funções do nosso exemplo, fica:
Deu pra entender agora como calcular o Wronskiano de duas funções,né?!
Podemos também calcular o Wronskiano de funções. A fórmula fica:
Tá mas pra que isso serve? Vamos ver a seguir que o Wronskiano nos diz muito sobre a independência linear dessas funções.
Wronskiano e Independência Linear
O teorema a seguir vai relacionar o Wronskiano e independência linear de funções.
Teorema:
Suponha que sejam diferenciáveis pelo menos vezes. Se for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo , então as funções serão linearmente independentes em .
Vamos ver agora um exemplo de aplicação do teorema.
Exemplo:
Vamos aplicar o teorema que acabamos de ver:
Começamos encontrando :
Perceba que e são diferenciáveis para . Logo .
Vamos calcular agora o Wronskiano:
O teorema necessita de pelo menos um ponto no intervalo em que o Wronskiano não se anula para afirma que as funções são Linearmente Independentes.
Perceba que nunca se anula.
Portanto, podemos garantir que e são Linearmente Independentes.
Partiu exercícios.
Exercício Resolvido #1
Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo
Passo 1
Observando as funções dadas no problema, não tem nenhuma que, de cara, podemos desconfiar que seja combinação linear das outras. Logo, para verificar a independência linear, vamos ter de calcular o Wronskiano das funções.
Passo 2
Vimos na teoria como calcular o Wronskiano de duas funções. Para calcular o Wronskiano de 3 funções vamos ter:
Portanto vamos começar calculando as derivadas:
Para
Para
Para
Perceba que e são diferenciáveis vezes no intervalo
Passo 3
Vamos calcular o Wronskiano agora:
Passo 4
Pelo teorema que estudamos, como o Wronskiano nunca se anula no intervalo
Podemos afirmar que e são Linearmente Independentes.
Resposta
e são Linearmente Independentes.
Exercício Resolvido #2
Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo
Passo 1
Perceba que tem muita cara de ser uma combinação linear de e . Portanto vamos tentar colocar as funções na forma:
Com pelo menos uma das 3 constantes diferentes de zero.
Temos então:
Ajeitando temos:
Do termo elevado ao quadrado temos:
Do termo de expoente 1:
Passo 2
Agora vamos substituir as constantes na equação :
Fica:
Portanto provamos que e são linearmente dependentes.
Resposta
e são Linearmente dependentes.
Exercício Resolvido #3
Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo
Passo 1
Para que e sejam linearmente dependentes, temos de ter:
Para todo , com pelo menos uma das constantes diferente de zero.
Ou seja:
Tem que ser satisfeita para , que é o mesmo que , e para , que é mesmo que .
Passo 2
Vamos analisar a situação :
Para , , então temos:
Fica:
Ajeitando:
Igualando o termo constante do lado esquerdo com o do lado direito temos:
A única possibilidade é:
O que não satisfaz as condições para dependência linear pois para isso seria necessário que pelo menos uma das constantes fosse diferente de zero.
Logo, e são linearmente independentes em
Resposta
e são Linearmente independentes.