Wronskiano - Dependência e Independência Linear

Teoria Completa

Combinação Linear de Funções

Fala, galera! Tudo tranquilo? Vamos estudar agora os principais pontos a respeito de dependência linear de funções.

Considere as funções a seguir:

f t = 3 e t + 1

g t = e t - 1

Queremos saber se f ( t ) é uma combinação linear de g ( t ) , ou seja, se:

f t = k g ( t )

Sendo k uma constante.

Temos então:

3 e t + 1 = k e t - 1

Se existir k que satisfaça a equação acima, então f ( t ) é uma combinação linear de g ( t ) .

Vamos tentar encontrar k :

k = 3 e t + 1 e t - 1 = 3 e t + 1 - t + 1 = 3 e 2

Portanto f t é uma combinação linear de g ( t ) . Beleza?

Dependência e Indepenência Linear de Funções

Já entedemos o que significa uma função ser uma combinação linear de outra função. Mas pra que isso vai nos servir?

Se uma função f ( t ) for uma combinação linear de uma outra função g ( t ) , então f ( t ) e g ( t ) são funções Linearmente Dependentes.

Voltando ao nosso exemplo, vimos que f t = 3 e t + 1 é uma combinação linear de g t = e t - 1 , logo f ( t ) e g ( t ) são linearmente dependentes.

Generalizando:

Seja f ( t ) e g ( t ) funções quaisquer. f ( t ) e g ( t ) são linearmente dependentes, se uma for combinação linear da outra, ou seja, como vimos acima:

f t = k g ( t )

Sendo k uma constante.

Podemos escrever essa equação de outra forma:

f t - k g t = 0

Multiplicando ambos os lados por uma constante qualquer k 1 temos:

k 1 f t - k 1 k g t = 0

Vamos chamar - k 1 k , que é uma constante, de k 2 . Então temos:

  k 1 f t + k 2 g t = 0

Portanto, duas funções f ( t ) e g ( t ) são linearmente dependentes se:

k 1 f t + k 2 g t = 0

Sendo k 1 e k 2 constantes, com uma delas diferente de zero.

Caso contrário, elas são linearmente independentes.

Wronskiano de Funções:

Que parada é essa “Wrosnkiano”??? Não se preocupe! Vou te explicar com bastante calma, passo a passo, tudo que precisamos saber sobre esse tal de Wrosnkiano.

Vamos continuar usando as funções:

f t = 3 e t + 1 ; g t = e t - 1 .

Podemos calcular suas derivadas:

f ' t = 3 e t + 1 ; g ' t = e t - 1

O Wronskiano de duas funções nada mais é do que:

W f t , g t = f ( t ) g ( t ) f ' ( t ) g ' ( t ) = f t g ' t - f ' t g ( t )

Usando as funções do nosso exemplo, fica:

W 3 e t + 1 , e t - 1 = 3 e t + 1 e t - 1 3 e t + 1 e t - 1 = 3 e t + 1 e t - 1 - 3 e t + 1 e t - 1 = 0

Deu pra entender agora como calcular o Wronskiano de duas funções,né?!

Podemos também calcular o Wronskiano de n funções. A fórmula fica:

W f 1 , f 2 , … , f n = f 1 f 2 ⋯ f n f 1 ' f 2 ' ⋯ f n ' ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f 1 n - 1 f 2 n - 1 ⋯ f n n - 1  

Tá mas pra que isso serve? Vamos ver a seguir que o Wronskiano nos diz muito sobre a independência linear dessas funções.

Wronskiano e Independência Linear

O teorema a seguir vai relacionar o Wronskiano e independência linear de funções.

Teorema:

Suponha que f 1 ( t ) ,   f 2 ( t ) , … , f n ( t ) sejam diferenciáveis pelo menos ( n - 1 ) vezes. Se W f 1 , f 2 , … , f n for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I , então as funções f 1 t , f 2 t … f n ( t ) serão linearmente independentes em I .

Vamos ver agora um exemplo de aplicação do teorema.

Exemplo:

Vamos aplicar o teorema que acabamos de ver:

f t = e t

g t = e 2 t

Começamos encontrando :

f ' t = e t

g ' t = 2 e 2 t

Perceba que f ( t ) e g ( t ) são diferenciáveis para t   ∈ ( - ∞ , ∞ ) . Logo I = ( - ∞ , ∞ ) .

Vamos calcular agora o Wronskiano:

W f t , g t = f ( t ) g ( t ) f ' ( t ) g ' ( t ) = f t g ' t - f ' t g ( t )

W e t , e 2 t = e t e 2 t e t 2 e 2 t = 2 e 3 t - e 3 t = e 3 t

O teorema necessita de pelo menos um ponto no intervalo I em que o Wronskiano não se anula para afirma que as funções são Linearmente Independentes.

Perceba que e 3 t nunca se anula.

Portanto, podemos garantir que f t = e t e g t = e 2 t são Linearmente Independentes.

Partiu exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 164 - 21

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ∞ , ∞

f 1 ( x ) = 1 + x ,   f 2 ( x ) = x , f 3 ( x ) = x 2

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Passo 1

Observando as funções dadas no problema, não tem nenhuma que, de cara, podemos desconfiar que seja combinação linear das outras. Logo, para verificar a independência linear, vamos ter de calcular o Wronskiano das funções.

Passo 2

Vimos na teoria como calcular o Wronskiano de duas funções. Para calcular o Wronskiano de 3 funções vamos ter:

W f 1 , f 2 , f 3 = f 1 f 2 f 3 f ' 1 f 2 ' f 3 ' f 1 " f 2 " f 3 "

Portanto vamos começar calculando as derivadas:

Para f 1 ( x )

f 1 x = 1 + x

f 1 ' x = 1

f 1 " ( x ) = 0

Para f 2 ( x )

f 2 x = x

f 2 ' x = 1

f 2 " ( x ) = 0

Para f 3 ( x )

f 3 x = x 2

f 3 ' x = 2 x

f 3 " ( x ) = 2

Perceba que f 1 x , f 2 ( x ) e f 3 ( x ) são diferenciáveis n vezes no intervalo ( - ∞ , ∞ )

Passo 3

Vamos calcular o Wronskiano agora:

W f 1 , f 2 , f 3 = f 1 f 2 f 3 f ' 1 f 2 ' f 3 ' f 1 " f 2 " f 3 " = 1 + x x x 2 1 1 2 x 0 0 2 =

1 + x 2 -   0 - x 2 - 0 + x 2 0 - 0 = 2 + 2 x - 2 x + 0 = 2

Passo 4

Pelo teorema que estudamos, como o Wronskiano nunca se anula no intervalo I = ( - ∞ , ∞ )

Podemos afirmar que f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente Independentes.

Resposta

f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente Independentes.

Exercício Resolvido #2

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 164 - 15

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ∞ , ∞

f 1 x = x ,   f 2 x = x 2 , f 3 x = 4 x - x 2

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Passo 1

Perceba que f 3 ( x ) tem muita cara de ser uma combinação linear de f 1 ( x ) e f 2 ( x ) . Portanto vamos tentar colocar as funções na forma:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x + k 3 f 3 x = 0  

Com pelo menos uma das 3 constantes diferentes de zero.

Temos então:

k 1 x + k 2 x 2 + 4 k 3 x - k 3 x 2 = 0   ( i )

Ajeitando temos:

k 1 x + k 2 x 2 = - 4 k 3 x + k 3 x 2

Do termo elevado ao quadrado temos:

k 2 = k 3

Do termo de expoente 1:

k 1 = - 4 k 3

Passo 2

Agora vamos substituir as constantes na equação ( i ) :

- 4 k 3 x + k 3 x 2 + 4 k 3 x - k 3 x 2 = 0

Fica:

0 = 0

Portanto provamos que f 1 x ,   f 2 ( x ) e f 3 ( x ) são linearmente dependentes.

Resposta

f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente dependentes.

Exercício Resolvido #3

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 164 - 20

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ∞ , ∞

f 1 x = 2 + x ,   f 2 x = 2 + | x |

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Passo 1

Para que f 1 ( x ) e f 2 ( x ) sejam linearmente dependentes, temos de ter:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x = 0

Para todo x   ∈ ( - ∞ , ∞ ) , com pelo menos uma das constantes diferente de zero.

Ou seja:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x = 0

Tem que ser satisfeita para x   ∈ ( - ∞ , 0 )