Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

Teoria Completa

Solução Particular

Faaaala aí! Agora que você já viu quando a f ( x ) é uma soma de funções, você deve estar pensando “Ah, não tem como piorar, impossível”. E o que você me diz disso aqui:

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = x 2 e 4 x

E que tal você resolver isso

y ' ' x - 6 y ' x + 5 y x = x c o s x

Hahahah relaxa, vou te mostrar como resolver esse monstrinho. Você vai ver que é de boa!

Vamos começar com esse exemplo aqui mesmo

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = x 2 e 4 x

Lembra como resolver EDO não homogênea? Toma aqui o passo a passo:

Resolução de EDO não homogênea com coeficientes constantes

  1. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea:  y h
  2. Encontrar a solução particular:  y p
  3. Encontrar solução geral:  y x = y h x + y p ( x )

Bom, a solução homogênea dessa EDO é y h = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x

Vamos partir para a particular. Ora, dá uma olhada no f x = x 2 e 4 x . Concorda comigo que é um polinômio do 2 º grau multiplicado por uma exponencial? Acho mega justo a gente chutar um polinômio vezes uma exponencial. Olha só

y p 1 x = A x 2 + B x + C

y p 2 x = D e 4 x

y p x = y p 1 x y p 2 x

y p x = A x 2 + B x + C D e 4 x

y p x = D A x 2 + D B x + D C e 4 x

y p x = E x 2 + F x + G e 4 x

Ou seja, a gente só precisa colocar as constantes no polinômio! Perceba que nossa sugestão não aparece na solução homogênea, então podemos seguir tranquilos com ela! A partir daqui, é o mesmo procedimento de sempre, amigx

y p x = E x 2 + F x + G e 4 x

y p ' x = 4 E x 2 + F x + G e 4 x + 2 E x + F e 4 x

y p ' ' x = 16 E x 2 + F x + G e 4 x + 8 2 E x + F e 4 x + 2 E e 4 x

Substituindo na EDO

16 E x 2 + F x + G e 4 x + 8 2 E x + F e 4 x + 2 E e 4 x - 5 4 E x 2 + F x + G e 4 x + 2 E x + F e 4 x + 6 E x 2 + F x + G e 4 x = x 2 e 4 x

Agrupando os termos semelhantes:

x 2 e 4 x 2 E + x e 4 x 6 E + 2 F + e 4 x 3 F + 2 E + 2 G = x 2 e 4 x

Vamos comparar os coeficientes em ambos os lados

2 E = 1 6 E + 2 F = 0 3 F + 2 E + 2 G = 0

Obtendo E = 1 / 2 , F = - 3 / 2 e G = 7 / 4 .

y p x = 1 2 x 2 - 3 2 x + 7 4 e 4 x

y x = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x + 1 2 x 2 - 3 2 x + 7 4 e 4 x

Pronto!!! Nem doeu tanto!

Agora, vou colocar aqui alguns exemplos, apenas mostrando como seriam as sugestões, ok? (Lembrando que eu já to comparando com a solução homogênea de cada uma!)

  • y ' ' x - 2 y ' x + y x = x e 2 x
  • y p x = A x + B e 2 x

  • y ' ' x + y x = x 2 cos ⁡ x

y p x = A x 2 + B x + C D c o s x + E s e n x

Misturando tudo...

E se você se deparar com essa EDO?

y ' ' x + y x = x 2 cos ⁡ x + x e - x + 1

Não entre em pânico! Isso nada mais é do que misturar as duas coisas que vimos agora: soma e produto!

Olha como ficaria a particular:

y p x = A x 2 + B x + C D c o s x + E s e n x + F x + G e - x + H

Show! Vamos praticar!!!

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Exercício Resolvido #1

EDO de 2ª ordem homogênea, EDO de 2ª ordem não homogênea

Seja a equação diferencial ordinária y ' ' t - 4 y ' t + 4 y t = f ( t ) .

  1. Considere f ( t ) ≡ 0 . Encontre a solução geral desta equação diferencial ordinária.
  2. Considere, agora, que f t = t 2 e 3 t , y 0 = 6 e y ' 0 = 15 . Encontre a solução para este problema de valor inicial.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos resolver o item (a):

y ' ' t - 4 y ' t + 4 y t = 0

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

Ótimo! A equação já está na forma que queremos!

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' + c y = 0 1 y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

Logo:

a = 1 b = - 4 c = 4

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 4 2 - 4 1 ( 4 )

⇒ Δ = 0

⇒ Δ = 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 - 4 r + 4 = 0

⇒ r 2 - 4 r + 4 = 0

Cálculo das raízes:

r = - b ± Δ 2 a = - ( - 4 ) ± 0 2 ( 1 )

⇒ r = 2

Passo 5

Encontrar a solução:

y t = c 1 e r t + c 2 t e r t

Substituindo o valor de r :

y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t

⇒ y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t

Item (a) resolvido! Vamos ao item (b)!

Passo 6

y ' ' t - 4 y ' t + 4 y t = t 2 e 3 t y 0 = 6 y ' 0 = 15

Basta encontrar agora a solução particular da EDO não homogênea!

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = f ( t ) :

A equação já está nessa forma:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = f ( t )

→ f t = t 2 e 3 t

Passo 7

Encontrar y p ( t ) com coeficientes a determinar:

A função f ( t ) é uma multiplicação de diferentes funções:

  • Função polinomial: t 2
  • Função exponencial: e 3 t

Então y p ( t ) será também uma multiplicação desses tipos de funções:

y p t = A t 2 + B t + C . e 3 t

Passo 8

Verificar se a solução particular y p ( t ) não é solução geral da equação homogênea:

Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea! Veja que a homogênea é e 2 t e a particular e 3 t .

Passo 9

Encontrar derivadas de y p ( t ) :

y p t = A t 2 + B t + C e 3 t y p ' t = 3 A t 2 + 2 A + 3 B t + ( B + 3 C ) e 3 t y p ' ' t = 9 A t 2 + 12 A + 9 B t + ( 2 A + 6 B + 9 C ) e 3 t

Passo 10

Substituir na equação e encontrar constantes:

y ' ' t - 4 y ' t + 4 y t = t 2 e 3 t

9 A t 2 + 12 A + 9 B t + ( 2 A + 6 B + 9 C ) e 3 t - 4 3 A t 2 + 2 A + 3 B t + B + 3 C e 3 t + 4 A t 2 + B t + C e 3 t = t 2 e 3 t