Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções
Teoria
Solução Particular
Faaaala aí! Agora que você já viu quando a é uma soma de funções, você deve estar pensando “Ah, não tem como piorar, impossível”. E o que você me diz disso aqui:
E que tal você resolver isso
Hahahah relaxa, vou te mostrar como resolver esse monstrinho. Você vai ver que é de boa!
Vamos começar com esse exemplo aqui mesmo
Lembra como resolver EDO não homogênea? Toma aqui o passo a passo:
Resolução de EDO não homogênea com coeficientes constantes
- Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea:
- Encontrar a solução particular:
- Encontrar solução geral:
Bom, a solução homogênea dessa EDO é
Vamos partir para a particular. Ora, dá uma olhada no . Concorda comigo que é um polinômio do grau multiplicado por uma exponencial? Acho mega justo a gente chutar um polinômio vezes uma exponencial. Olha só
Ou seja, a gente só precisa colocar as constantes no polinômio! Perceba que nossa sugestão não aparece na solução homogênea, então podemos seguir tranquilos com ela! A partir daqui, é o mesmo procedimento de sempre, amigx
Substituindo na EDO
Agrupando os termos semelhantes:
Vamos comparar os coeficientes em ambos os lados
Obtendo , e .
Pronto!!! Nem doeu tanto!
Agora, vou colocar aqui alguns exemplos, apenas mostrando como seriam as sugestões, ok? (Lembrando que eu já to comparando com a solução homogênea de cada uma!)
Misturando tudo...
E se você se deparar com essa EDO?
Não entre em pânico! Isso nada mais é do que misturar as duas coisas que vimos agora: soma e produto!
Olha como ficaria a particular:
Show! Vamos praticar!!!
Resolução de EDO não homogênea com coeficientes constantes
Misturando tudo...
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
EDO de 2ª ordem homogênea, EDO de 2ª ordem não homogênea
Seja a equação diferencial ordinária .
- Considere . Encontre a solução geral desta equação diferencial ordinária.
- Considere, agora, que , e . Encontre a solução para este problema de valor inicial.
Passo 1
Vamos resolver o item (a):
Colocar a EDO na forma :
Ótimo! A equação já está na forma que queremos!
Passo 2
Encontrar , e :
Comparando as equações:
Logo:
Passo 3
Verificar discriminante: , ou ?
Passo 4
Encontrar raízes da equação auxiliar:
Cálculo das raízes:
Passo 5
Encontrar a solução:
Substituindo o valor de :
Item (a) resolvido! Vamos ao item (b)!
Passo 6
Basta encontrar agora a solução particular da EDO não homogênea!
Colocar a EDO na forma :
A equação já está nessa forma:
Passo 7
Encontrar com coeficientes a determinar:
A função é uma multiplicação de diferentes funções:
- Função polinomial:
- Função exponencial:
Então será também uma multiplicação desses tipos de funções:
Passo 8
Verificar se a solução particular não é solução geral da equação homogênea:
Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea! Veja que a homogênea é e a particular
Passo 9
Encontrar derivadas de :
Passo 10
Substituir na equação e encontrar constantes:
Resolvendo o sistema:
Passo 11
Encontrar substituindo constantes encontradas:
Substituindo as constantes:
Passo 12
Encontrar solução geral:
Passo 13
Resolver PVI:
Calcular derivada:
Calcular e :
Substituir condições iniciais dadas:
Resolvendo o sistema:
Substituindo na solução geral, encontramos a solução particular do PVI:
E pronto! Item (b) resolvido! Fim de papo!
Resposta
Exercício Resolvido #2
EDO de 2ª ordem não homogênea
Resolva a EDO
Passo 1
Vemos uma EDO de segunda ordem, não homogênea, certão? Simbora pro polinômio característico, resolver a homogênea primeiro!
Assim a solução da homogênea é:
Passo 2
Agora temos que resolver a não homogênea, vamos usar o método dos coeficientes a determinar!
Analisando a parte polinomial, vemos que um bom chute seria:
E da parte trigonométrica, um bom chute seria :
Assim a solução particular é dada por:
Passo 3
Cuidado! Abre essa multiplicação rapidão. Você vai ver q quando você multiplica o por , vai ficar uma constante vezes , ou seja, ficou com a mesma cara que a solução homogênea. A mesma coisa acontece pro , por causa disso, vamos multiplicar tudo por , que é o que vimos na nossa teoria:
Agora sim! Vamos achar o valor dessas constantes, para isso vamos multiplicar os paranauês:
Percebe que eu juntei as constantes: por exemplo, chamei de de novo, isso não muda nada, porque vamos determinar essas constantes agora.
Passo 4
Derivando:
Não esquece da regra do produto! Então, por exemplo:
Sacou? Bem, temos que derivar de novo essa bagaça =((
Ok, vai derivando termo por termo, com calma, que chega lá!
Passo 5
Substituindo na EDO:
Agrupando:
Passo 6
Igualando os termos
Isso tá uma loucura hahaha, mas vamos lá, da quarta equação nós temos que:
Da segunda, nós temos que:
Da terceira:
E já vimos na primeira que
Passo 7
Uffa!! Ficou assim:
Então ok
Passo 8
Então a solução geral é:
Até vou parar pra tomar uma limonada, que questãozinha hen! hahah
Resposta
Exercício Resolvido #3
EDO de 2ª ordem não Homogênea
Resolva o problema de contorno:
Passo 1
A equação é não homogênea, então a solução geral é
onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos começar achando a solução homogênea ! A equação homogênea é a mesma, mas com 0 do lado direito:
A equação auxiliar é:
Resolvendo
Temos
Então a solução homogênea da equação é:
Passo 2
Agora que o bicho pega, vamos achar a solução particular! Lembrando que a equação é:
Temos que determinar qual vai ser o nosso “chute” pra . Vamos começar identificando a função do lado direito da equação.
Temos uma função exponencial multiplicando uma trigonométrica, então nossa solução particular também vai ser algo do tipo!
Passo 3
Como a função não é solução da equação homogênea, podemos tentar aquela solução do passo anterior mesmo. Toma cuidado para não confundir, na solução homogênea temos , na particular temos !
Passo 4
Show! Vamos derivar a função, usando as regra do produto e da cadeia:
Agora é arregaçar as mangas e calcular essa derivada segunda: