Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

Teoria Completa

Solução Particular

Faaaala aí! Agora que você já viu quando a f ( x ) é uma soma de funções, você deve estar pensando “Ah, não tem como piorar, impossível”. E o que você me diz disso aqui:

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = x 2 e 4 x

E que tal você resolver isso

y ' ' x - 6 y ' x + 5 y x = x c o s x

Hahahah relaxa, vou te mostrar como resolver esse monstrinho. Você vai ver que é de boa!

Vamos começar com esse exemplo aqui mesmo

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = x 2 e 4 x

Lembra como resolver EDO não homogênea? Toma aqui o passo a passo:

Resolução de EDO não homogênea com coeficientes constantes

  1. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea:  y h
  2. Encontrar a solução particular:  y p
  3. Encontrar solução geral:  y x = y h x + y p ( x )

Bom, a solução homogênea dessa EDO é y h = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x

Vamos partir para a particular. Ora, dá uma olhada no f x = x 2 e 4 x . Concorda comigo que é um polinômio do 2 º grau multiplicado por uma exponencial? Acho mega justo a gente chutar um polinômio vezes uma exponencial. Olha só

y p 1 x = A x 2 + B x + C

y p 2 x = D e 4 x

y p x = y p 1 x y p 2 x

y p x = A x 2 + B x + C D e 4 x

y p x = D A x 2 + D B x + D C e 4 x

y p x = E x 2 + F x + G e 4 x

Ou seja, a gente só precisa colocar as constantes no polinômio! Perceba que nossa sugestão não aparece na solução homogênea, então podemos seguir tranquilos com ela! A partir daqui, é o mesmo procedimento de sempre, amigx

y p x = E x 2 + F x + G e 4 x

y p ' x = 4 E x 2 + F x + G e 4 x + 2 E x + F e 4 x

y p ' ' x = 16 E x 2 + F x + G e 4 x + 8 2 E x + F e 4 x + 2 E e 4 x

Substituindo na EDO

16 E x 2 + F x + G e 4 x + 8 2 E x + F e 4 x + 2 E e 4 x - 5 4 E x 2 + F x + G e 4 x + 2 E x + F e 4 x + 6 E x 2 + F x + G e 4 x = x 2 e 4 x

Agrupando os termos semelhantes:

x 2 e 4 x 2 E + x e 4 x 6 E + 2 F + e 4 x 3 F + 2 E + 2 G = x 2 e 4 x

Vamos comparar os coeficientes em ambos os lados

2 E = 1 6 E + 2 F = 0 3 F + 2 E + 2 G = 0

Obtendo E = 1 / 2 , F = - 3 / 2 e G = 7 / 4 .

y p x = 1 2 x 2 - 3 2 x + 7 4 e 4 x

y x = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x + 1 2 x 2 - 3 2 x + 7 4 e 4 x

Pronto!!! Nem doeu tanto!

Agora, vou colocar aqui alguns exemplos, apenas mostrando como seriam as sugestões, ok? (Lembrando que eu já to comparando com a solução homogênea de cada uma!)

  • y ' ' x - 2 y ' x + y x = x e 2 x
  • y p x = A x + B e 2 x

  • y ' ' x + y x = x 2 cos x

y p x = A x 2 + B x + C D c o s x + E s e n x

Misturando tudo...

E se você se deparar com essa EDO?

y ' ' x + y x = x 2 cos x + x e - x + 1

Não entre em pânico! Isso nada mais é do que misturar as duas coisas que vimos agora: soma e produto!

Olha como ficaria a particular:

y p x = A x 2 + B x + C D c o s x + E s e n x + F x + G e - x + H

Show! Vamos praticar!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

EDO de 2ª ordem homogênea, EDO de 2ª ordem não homogênea

Seja a equação diferencial ordinária y ' ' t - 4 y ' t + 4 y t = f ( t ) .

  1. Considere f ( t ) 0 . Encontre a solução geral desta equação diferencial ordinária.
  2. Considere, agora, que f t = t 2 e 3 t , y 0 = 6 e y ' 0 = 15 . Encontre a solução para este problema de valor inicial.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos resolver o item (a):

y ' ' t - 4 y ' t + 4 y t = 0

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

Ótimo! A equação já está na forma que queremos!

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' + c y = 0 1 y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

Logo:

a = 1 b = - 4 c = 4

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 4 2 - 4 1 ( 4 )

Δ = 0

Δ = 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 - 4 r + 4 = 0

r 2 - 4 r + 4 = 0

Cálculo das raízes:

r = - b ± Δ 2 a = - ( - 4 ) ± 0 2 ( 1 )

r = 2

Passo 5

Encontrar a solução:

y t = c 1 e r t + c 2 t e r t

Substituindo o valor de r :

y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t

y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t

Item (a) resolvido! Vamos ao item (b)!

Passo 6

y ' ' t - 4 y ' t + 4 y t = t 2 e 3 t y 0 = 6 y ' 0 = 15

Basta encontrar agora a solução particular da EDO não homogênea!

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = f ( t ) :

A equação já está nessa forma:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = f ( t )

f t = t 2 e 3 t

Passo 7

Encontrar y p ( t ) com coeficientes a determinar:

A função f ( t ) é uma multiplicação de diferentes funções:

  • Função polinomial: t 2
  • Função exponencial: e 3 t

Então y p ( t ) será também uma multiplicação desses tipos de funções:

y p t = A t 2 + B t + C . e 3 t

Passo 8

Verificar se a solução particular y p ( t ) não é solução geral da equação homogênea:

Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea! Veja que a homogênea é e 2 t e a particular e 3 t .

Passo 9

Encontrar derivadas de y p ( t ) :

y p t = A t 2 + B t + C e 3 t y p ' t = 3 A t 2 + 2 A + 3 B t + ( B + 3 C ) e 3 t y p ' ' t = 9 A t 2 + 12 A + 9 B t + ( 2 A + 6 B + 9 C ) e 3 t

Passo 10

Substituir na equação e encontrar constantes:

y ' ' t - 4 y ' t + 4 y t = t 2 e 3 t

9 A t 2 + 12 A + 9 B t + ( 2 A + 6 B + 9 C ) e 3 t - 4 3 A t 2 + 2 A + 3 B t + B + 3 C e 3 t + 4 A t 2 + B t + C e 3 t = t 2 e 3 t

A t 2 + 4 A + B t + 2 A + 2 B + C e 3 t = t 2 e 3 t

A = 1 4 A + B = 0 2 A + 2 B + C = 0

Resolvendo o sistema:

A = 1 B = - 4 C = 6

Passo 11

Encontrar y p ( x ) substituindo constantes encontradas:

y p t = A t 2 + B t + C e 3 t

Substituindo as constantes:

y p t = t 2 - 4 t + 6 e 3 t

Passo 12

Encontrar solução geral:

y t = y h t + y p ( t )

y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t + t 2 - 4 t + 6 e 3 t

y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t + t 2 - 4 t + 6 e 3 t

Passo 13

Resolver PVI:

y 0 = 6 y ' 0 = 15

Calcular derivada:

y ' t = 2 c 1 e 2 t + c 2 1 + 2 t e 2 t + 3 t 2 - 10 t + 14 e 3 t

Calcular y ( 0 ) e y ' ( 0 ) :

y 0 = c 1 + 6

y ' 0 = 2 c 1 + c 2 + 14

Substituir condições iniciais dadas:

y 0 = 6 y ' 0 = 15

c 1 + 6 = 6 2 c 1 + c 2 + 14 = 15

Resolvendo o sistema:

c 1 = 0 c 2 = 1

Substituindo na solução geral, encontramos a solução particular do PVI:

y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t + t 2 - 4 t + 6 e 3 t

y t = t e 2 t + t 2 - 4 t + 6 e 3 t

E pronto! Item (b) resolvido! Fim de papo!

Resposta

  1. y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t

y t = t e 2 t + t 2 - 4 t + 6 e 3 t

Exercício Resolvido #2

EDO de 2ª ordem não homogênea

Resolva a EDO

y ' ' + y = x - 1 cos x

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Passo 1

Vemos uma EDO de segunda ordem, não homogênea, certão? Simbora pro polinômio característico, resolver a homogênea primeiro!

r 2 + 1 = 0

r = ± i

Assim a solução da homogênea é:

y h = c 1 cos ( x ) + c 2 sen ( x )

Passo 2

Agora temos que resolver a não homogênea, vamos usar o método dos coeficientes a determinar!

Analisando a parte polinomial, vemos que um bom chute seria: y p 1 = A x + B

E da parte trigonométrica, um bom chute seria : y p 2 = C cos ( x ) + D sen ( x )

Assim a solução particular é dada por:

y p = ( A x + B ) ( C cos x + D sen x )

Passo 3

Cuidado! Abre essa multiplicação rapidão. Você vai ver q quando você multiplica o B por Ccos ( x ) , vai ficar uma constante vezes cos ( x ) , ou seja, ficou com a mesma cara que a solução homogênea. A mesma coisa acontece pro sen ( x ) , por causa disso, vamos multiplicar tudo por x , que é o que vimos na nossa teoria:

y p = ( A x 2 + B x ) ( C cos x + D sen x )

Agora sim! Vamos achar o valor dessas constantes, para isso vamos multiplicar os paranauês:

y p = A x 2 cos ( x ) + B x 2 sen ( x ) + C x cos ( x ) + D x sen ( x )

Percebe que eu juntei as constantes: por exemplo, chamei A C de A de novo, isso não muda nada, porque vamos determinar essas constantes agora.

Passo 4

Derivando:

y p ' = - A x 2 sen x + 2 A x cos x + B x 2 cos x + 2 B x sen x - C x sen x + C cos x + D x cos x + D sen ( x )

Não esquece da regra do produto! Então, por exemplo:

  A C x 2 cos x ' = A C x 2 sen x + 2 A C x cos x

Sacou? Bem, temos que derivar de novo essa bagaça =((

y p ' ' = - A x 2 cos x - 2 A x sen x - 2 A x sen x + 2 A cos x - B x 2 sen x + 2 B x cos x + 2 B x cos x + 2 B sen x - C x cos x - C sen x - C sen x - D x sen x + D cos x + D cos ( x )

Ok, vai derivando termo por termo, com calma, que chega lá!

Passo 5

Substituindo y p ' '   e   y p   na EDO:

- 2 A x sen x - 2 A x sen x + 2 A cos x + 2 B x cos x + 2 B x cos x + 2 B sen x - C sen x - C sen x + D cos x + D cos ( x ) = x - 1 cos x

Agrupando:

- 4 A x sen x + 2 B - 2 C sen x + 2 A + 2 D cos x + 4 B x cos x = x cos x - cos ( x )

Passo 6

Igualando os termos

- 4 A = 0 A = 0 2 B - 2 C = 0 B = C 2 A + 2 D = - 1 4 B = 1

Isso tá uma loucura hahaha, mas vamos lá, da quarta equação nós temos que:

B = 1 4

Da segunda, nós temos que:

C = 1 4

Da terceira:

D = - 1 2

E já vimos na primeira que A = 0

Passo 7

Uffa!! Ficou assim:

y p = 1 4 x 2 sen ( x ) + 1 4 x cos ( x ) - 1 2 x sen ( x )

Então ok

Passo 8

Então a solução geral é:

y = y h + y p

y = c 1 cos ( x ) + c 2 sen ( x ) + 1 4 x 2 sen ( x ) + 1 4 x cos ( x ) - 1 2 x sen ( x )

Até vou parar pra tomar uma limonada, que questãozinha hen! hahah

Resposta

y = c 1 cos ( x ) + c 2 sen ( x ) + 1 4 x 2 sen ( x ) + 1 4 x cos ( x ) - 1 2 x sen ( x )

Exercício Resolvido #3

EDO de 2ª ordem não Homogênea

Resolva o problema de contorno:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = e x cos 2 x y 0 = 0 ,       y π 2 = 0

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Passo 1

A equação é não homogênea, então a solução geral é

y = y h + y p

onde y h é a solução homogênea e y p é a solução particular.

Vamos começar achando a solução homogênea y h ! A equação homogênea é a mesma, mas com 0 do lado direito:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = 0

A equação auxiliar é:

r 2 - 4 r + 5 = 0

Resolvendo

  r = - b ± i Δ 2 a = 4 ± 2 i 2 = 2 ± i

Temos

α = 2     e     β = 1

Então a solução homogênea da equação é:

e α x c 1 cos β x + c 2 sen β x  

y h x = e 2 x c 1 cos x + c 2 sen x  

Passo 2

Agora que o bicho pega, vamos achar a solução particular! Lembrando que a equação é:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = e x cos 2 x

Temos que determinar qual vai ser o nosso “chute” pra y p . Vamos começar identificando a função do lado direito da equação.

Temos uma função exponencial multiplicando uma trigonométrica, então nossa solução particular também vai ser algo do tipo!

y p ( x ) = e x A cos 2 x + B sen 2 x

Passo 3

Como a função e x cos ( 2 x ) não é solução da equação homogênea, podemos tentar aquela solução do passo anterior mesmo. Toma cuidado para não confundir, na solução homogênea temos e 2 x , na particular temos e x !

Passo 4

Show! Vamos derivar a função, usando as regra do produto e da cadeia:

y p ' x = e x A cos 2 x + B sen 2 x + e x A - sen 2 x . 2 + B cos 2 x . 2

y p ' x = e x A cos 2 x + B sen 2 x - 2 A sen 2 x + 2 B cos 2 x

  y p ' x = e x A + 2 B cos 2 x + B - 2 A sen 2 x

Agora é arregaçar as mangas e calcular essa derivada segunda:

y p ' ' x = e x A + 2 B cos 2 x + B - 2 A sen 2 x + e x A + 2 B - sen 2 x . 2 + B - 2 A cos 2 x . 2  

y p ' ' x = e x A + 2 B cos 2 x + B - 2 A sen 2 x - 2 A + 2 B sen 2 x + 2 B - 2 A cos 2 x

y p ' ' x = e x A + 2 B cos 2 x + B - 2 A sen 2 x - 2 A + 4 B sen 2 x + 2 B - 4 A cos 2 x

y p ' ' x = e x A + 2 B + 2 B - 4 A cos 2 x + B - 2 A - 2 A - 4 B sen 2 x

  y p ' ' x = e x 4 B - 3 A cos 2 x - 4 A + 3 B sen 2 x

Ufa! Demorou mas foi!

Passo 5

Agora vamos substituir y p , y p ' e y p ' ' na EDO:

y p ' ' - 4 y p ' + 5 y p = e x cos 2 x

O que dá esse troço bizarro aí:

e x 4 B - 3 A cos 2 x - 4 A + 3 B sen 2 x - 4 e x A + 2 B cos 2 x + B - 2 A sen 2 x + 5 e x A cos 2 x + B sen 2 x = e x cos 2 x

A primeira coisa que podemos fazer é cortar e x dos 2 lados:

4 B - 3 A cos 2 x - 4 A + 3 B sen 2 x - 4 A + 2 B cos 2 x + B - 2 A sen 2 x + 5 A cos 2 x + B sen 2 x = cos ( 2 x )

Melhorou um pouco né? Agora vamos juntar todos os senos e cossenos:

4 B - 3 A - 4 A + 2 B + 5 A cos ( 2 x ) + - 4 A - 3 B - 4 B - 2 A + 5 B sen ( 2 x ) = c o s ( 2 x )

4 B - 3 A - 4 A - 8 B + 5 A cos 2 x + - 4 A - 3 B - 4 B + 8 A + 5 B sen ( 2 x ) = c o s ( 2 x )

- 2 A - 4 B cos 2 x + 4 A - 2 B sen 2 x = c o s ( 2 x )

Passo 6

Excelente! Repare que do lado direito temos

cos 2 x = 1 . cos 2 x + 0 . sen ( 2 x )

Ou seja, vamos cair num sistema:

- 2 A - 4 B = 1 4 A - 2 B = 0

Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e somá-la com a segunda:

2 - 2 A - 4 B + 4 A - 2 B = 2.1 + 0

- 4 A - 8 B + 4 A - 2 B = 2

- 10 B = 2

  B = - 2 10 = - 1 5

E pela segunda equação, temos

4 A = 2 B

2 A = B = - 2 10

A = - 1 10

Passo 7

Então solução particular é:

y p ( x ) = e x A cos 2 x + B sen 2 x

y p x = e x - 1 10 cos 2 x - 2 10 sen 2 x

y p x = - 1 10 e x cos 2 x + 2 sen 2 x

Lembrando que achamos a solução homogênea

y h x = e 2 x c 1 cos x + c 2 sen x

Logo, a solução geral da equação vai ser

y = y h + y p

y x = e 2 x c 1 cos x + c 2 sen x - 1 10 e x cos 2 x + 2 sen 2 x

Passo 8

Ótimo, estamos quase acabando, só falta determinar c 1 e c 2 ! É agora que entram as condições de contorno:

y 0 = 0 y π 2 = 0

Vamos calcular y 0 :

y 0 = e 0 c 1 cos 0 + c 2 sen 0 - 1 10 e 0 cos 0 + 2 sen 0

y 0 = 1 . c 1 . 1 + c 2 . 0 - 1 10 1 ( 1 + 2.0 )

y 0 = c 1 - 1 10

Ou seja:

c 1 - 1 10 = 0

c 1 = 1 10

Passo 9

Agora partiu y π 2 :

y π 2 = e π c 1 cos π 2 + c 2 sen π 2 - 1 10 e π 2 cos π + 2 sen π

y π 2 = e π 1 10 . 0 + c 2 . 1 - 1 10 e π 2 - 1 + 2.0

y π 2 = e π c 2 + 1 10 e π 2

E como y π 2 = 0 :

e π c 2 + 1 10 e π 2 = 0

e π c 2 = - 1 10 e π 2

c 2 = - 1 10 e π 2 e π

c 2 = - 1 10 e - π 2

Passo 10

Finalmente conseguimos! A solução geral da equação é, portanto:

y x = e 2 x 1 10 cos x - 1 10 e - π 2 sen x - 1 10 e x cos 2 x + 2 sen 2 x

y x = 1 10 e 2 x cos x - e - π 2 sen x - e x cos 2 x + 2 sen 2 x

Resposta

y x = 1 10 e 2 x cos x - e - π 2 sen x - e x cos 2 x + 2 sen 2 x

Exercício Resolvido #4

EDO de 2ª Ordem não Homogênea

A EDO x ' ' - 4 x = t e t + cos 2 t possui uma solução geral da forma:

(a) x t = A t + B e t + C cos 2 t + D sen 2 t + c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

(b) x t = A t + B e t + C t cos 2 t + D t sen 2 t + c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

(c) x t = A t + B e t + c 1 e 2 t cos 2 t + c 2 e - 2 t sen 2 t

(d) A t e t + C cos 2 t + D sen 2 t + c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

(e) t A t + B e t + C cos 2 t + D sen 2 t + c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A equação é não homogênea, então a solução geral é

x = x h + x p

onde x h é a solução homogênea e x p é a solução particular.

Vamos começar achando a solução homogênea x h ! A equação homogênea é a mesma mas com 0 do lado direito:

x ' ' - 4 x = 0

A equação já está na forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

com a = 1 ,   b = 0 e c = - 4 . Vamos calcular o discriminante!

Δ = b 2 - 4 a c = 0 - 4.1 - 4 = 16 = 4 > 0

Show! A equação auxiliar é

r 2 - 4 = 0

r 2 = 4

r = ± 2

r 1 = 2     e     r 2 = - 2

Não precisamos do discriminante pra achar as raízes, mas precisamos do sinal dele pra saber qual é a forma da solução da equação. Como Δ > 0 , vamos ter:

x h t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

    x h t = c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

Passo 2

Excelente, agora vamos achar a solução particular! Na verdade, felizmente, não vamos ter que fazer quase nada! Pois é, basta olhar as opções: todas elas envolvem número desconhecidos A , B , C e D . Ou seja, só temos que achar qual vai ser a forma da solução, sem tem que fazer todas as contas chatas!

Vamos dar uma olhada na função do lado direito da EDO:

t e t + cos 2 t

Temos a soma de duas funções, então vamos achar qual seria a solução pra cada uma delas separada e depois a gente soma os resultados, beleza?

Passo 3

A primeira função é t e t , um polinômio de grau 1 multiplicando uma exponencial. Então o nosso primeiro reflexo é tentar algo do tipo

x p 1 t = A t + B e t

Essa x p 1 não é solução da homogênea (não há nenhum termo e t ou t e t na solução homogênea), então esse é o “chute” certo!

A outra função é cos 2 t . Não tem mistério né? Vamos fazer a soma de um cosseno e de um seno:

x p 2 t = C cos 2 t + D sen 2 t

A solução homogênea não tem função trigonométrica nenhuma então assim tá ótimo!

Juntando as duas soluções particulares que a gente achou:

x p t = A t + B e t + C cos 2 t + D sen 2 t

Passo 4

Como a solução particular não tem termos da solução homogênea, esse é o palpite que usaremos como solução particular.

Passo 5

Agora juntando com a solução da homogênea, obtemos a solução geral:

x t = A t + B e t + C cos 2 t + D sen 2 t + c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

Resposta

Alternativa (a)

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