Modelagem – Circuito RLC

Teoria Completa

Introdução

Uma modelagem muito comum que vamos ter são os circuitos elétricos envolvendo 1 indutor, 1 resistor e 1 capacitor.

Aqui para chegar nas equações se usa as Leis de Kirchhoff. Não vamos focar nas explicações físicas para isso tudo, o importante aqui é saber como são os circuitos e chegar nas modelagens da corrente ou da carga. Para chegar no Circuito RLC vai ser uma mistura do circuito L-R e R-C. Vamos olhar rapidinho como eles são.

Circuito em série L-R

Um circuito desse vai ser representado assim.

Esses circuitos vão conter um indutor e um resistor. Aqui vamos ter a EDO para chegar na função da corrente em função do tempo. Essa EDO vai ser

L d i d t + R i ( t ) = E ( t )

A indutância, L , e a resistência, R , podem ser definidas por constantes ou por funções de t .

Esse E t é a função da Tensão que passa pelo circuito.

Circuitos em série R-C

Um circuito desse vai ser representado assim.

Esses circuitos vão ter um capacitor e um resistor. Aqui vamos ter a EDO para chegar na função da carga no capacitor q t   em função do tempo. Essa EDO vai ser

R d q d t + 1 C q ( t ) = E t

A capacitância, C , e a resistência, R , podem ser definidos por constantes ou por funções de t .

Esse E t é a função da Tensão que passa pelo circuito.

Circuito RLC

Quando temos envolvendo 1 indutor, 1 resistor e 1 capacitor o nosso circuito vai ser

Aqui a nossa EDO vai ficar uma junção das duas ali de cima

L d i d t + R i ( t ) + 1 C q ( t ) = E ( t )

O problema aqui é que temos duas variáveis, a corrente e a carga. Vamos usar a relação entre elas

i = d q d t

Aí passamos a ter uma EDO de 2ª Ordem.

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Aqui temos a EDO para q t , se ele quiser i t basta fazer a primeira derivada de q t em relação ao tempo.

Quando E t = 0 , as vibrações elétricas do circuito são ditas livres. Nossa EDO se reduz a:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = 0

Já estudamos EDO’s de 2° ordem aplicados a problemas físicos. Lá em Movimento Harmônico Amortecido (MHA) a EDO era a seguinte:

x ¨ + 2 λ x ˙ + ω 0 2 x = 0

Deu pra lembrar?! Tínhamos 3 casos :

  • Criticamente Amortecido, quando ∆ = 0 .
  • Superamortecido, quando ∆ > 0 .
  • Subamortecido, quando ∆ < 0 .

Aqui não vai ser diferente. Voltando a nossa EDO de 2° Ordem:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = 0

A equação auxiliar vai ser:

L r 2 + R r + 1 c = 0

Então, podemos encontrar:

∆ = R 2 - 4 L c

Logo, para R ≠ 0 , temos 3 casos:

  • Criticamente amortecido: ∆ = 0
  • O que implica em R 2 - 4 L c = 0

  • Superamortecido: ∆ > 0
  • O que nos leva a R 2 - 4 L c > 0

  • Subamortecido: ∆ < 0

Resultando em R 2 - 4 L c < 0

Observação:

Quando E t = 0 e R = 0 , dizemos que o circuito é não amortecido, a resposta do circuito é harmônica simples.

Partiu exercícios?!

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Exercício Resolvido #1

UERJ - Cálculo 3 - Lista 7 Fernando Lopes

Resolva o circuito RLC

Sabendo que as quedas de tensão são:

I n d u t o r     L d I d t R e s i s t o r     R I C a p a c i t o r   Q C

E que a força eletromotriz da fonte é:

E t = E 0 sen ⁡ ( w s t )

Faça

2 b = R L             w 0 2 = 1 L C             F = w 0 E 0 L

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pela teoria de Kirchoff, a tensão fornecida à um circuito fechado deve ser igual as quedas de tensões ao longo dele, assim:

L d I d t + R I + Q C = E 0 sen ⁡ ( w s t )

Pela definição de corrente:

I = d Q d t → d Q = I d t →     Q = ∫ I d t

Subtituindo isso na EDO:

L d I d t + R I + 1 C ∫ I d t = E 0 sen ⁡ ( w s t )

Derivando tudo com relação ao tempo:

L d 2 I d t 2 + R d I d t + I C = E 0 w s cos ⁡ ( w s t )

Não esquece da regra da cadeia: ( E 0 sen ⁡ ( w s t ) ) ' = E 0 w s cos ⁡ ( w s t )

Bem bem, tá quase com a cara que a gente gosta, vamos dividir tudo por L :

d 2 I d t 2 + R L d I d t + 1 C L I = E 0 w s L cos ⁡ w s t

Beleza, vamos escrever agora em função das variáveis que ele definiu:

d 2 I d t 2 + 2 b d I d t + w 0 2 I = F cos ⁡ w s t

Agora temos que resolver essa parada ae né? Simbora

Passo 2

Resolver a EDO homogênea!

d 2 I d t 2 + 2 b d I d t + w 0 2 I = 0

Fazendo a equação característica:

r 2 + 2 b + w 0 2 = 0

r 1 = - 2 + 4 b 2 - 4 w 0 2 2 = - 2 + 4 b 2 - w 0 2 2 = - 2 + 2 b 2 - w 0 2 2 = - 1 + b 2 - w 0 2 r 2 = - 2 - 4 b 2 - 4 w 0 2 2 = - 2 - 4 b 2 - w 0 2 2 = - 2 - 2 b 2 - w 0 2 2 = - 1 - b 2 - w 0 2

Bem, a resposta varia de acordo com o sinal do cara dentro da raiz, podemos separa em 3 casos,

b 2 - w 0 2 > 0 ⇒ b > w 0

b 2 - w 0 2 = 0 ⇒ b = w 0

b 2 - w 0 2 < 0 ⇒ b < w 0

Lembrando que, pelas propriedades físicas usadas, o b > 0

Pensa bem, o sistema está impondo uma voltagem oscilante no sistema, então uma solução de resposta da corrente oscilando parece justo se o amortecimento não for muito grande. O que expressaria oscilação seria para o caso b < w 0 , porque ae a solução seria uma combinação de seno com cosseno, o que representa bem o que queremos.

r 1 = - 1 + i w 0 2 - b 2

r 1 = - 1 - i w 0 2 - b 2

Assim a solução da equação homogênea é:

I h = e - t c 1 cos ⁡ w 0 2 - b 2 . t + c 2 sen ⁡ w 0 2 - b 2 . t

Galera, paranauê bolado, você pode juntar esse s e n e c o s :

A sen ⁡ ( c t ) + B cos ⁡ ( c t ) = A 2 + B 2 cos ⁡ c t + ϕ = C cos ⁡ c t + ϕ

Assim fica:

c 1 cos ⁡ w 0 2 - b 2 . t + c 2 sen ⁡ w 0 2 - b 2 . t = A cos ⁡ w 0 2 - b 2 . t + ϕ

Basicamente trocamos as duas constantes para determinar :   c 1 e c 2   por A e ϕ

Passo 3

A carona da função é F cos ⁡ w s t do outro lado, né? Então podemos chutar uma solução particular desse tipo:

I p = k 1 . cos ⁡ w s t + k 2 . sen ⁡ ( w s t )

Como a homogênea é multiplicada por exponencial, esse tipo de solução é viável para a particular, não tem necessidade de multiplica-la por nada, assim:

I p ' = - k 1 w s sen ⁡ w s t + k 2 w s . cos ⁡ ( w s t )

I p ' ' = - k 1 w s 2 cos ⁡ w s t - k 2 w s 2 sen ⁡ w s t

Substituindo em:   d 2 I d t 2 + 2 b d I d t + w 0 2 I = F cos ⁡ w s t

Obtemos:

- k 1 w s 2 cos ⁡ w s t - k 2 w s 2 sen ⁡ w s t - 2 b k 1 w s sen ⁡ w s t + 2 b k 2 w s . cos ⁡ w s t + w 0 2 k 1 . cos ⁡ w s t + w 0 2 k 2 . sen ⁡ w s t = F cos ⁡ w s t

Para gigante, né ? O.o ...vamos juntar o que tem cosseno e o que tem seno:

sen ⁡ w s t - k 2 w s 2 - 2 b k 1 w s + w 0 2 k 2 + cos ⁡ w s t - k 1 w s 2 + 2 b k 2 w s + w 0 2 k 1 = F cos ⁡ w s t