Modelagem - MHS

Teoria Completa

Aplicações a Física

Fala aí, tatuí!!! Agora que já sabemos resolver EDO’s de 2ª Ordem homogêneas com coeficientes constantes, vamos utilizar isso para resolver problemas físicos. Os principais tipos de problemas que vamos abordar aqui são:

  • Movimento Harmônico Simples (MHS): Sistema Massa-Mola
  • MHS: Pêndulo Simples
  • MHS: Pêndulo Físico

Vamos ver cada um deles, passo a passo, a fim de treiná-los em relação à modelagem de problemas físicos, pois, nesse tipo de problema, a parte que apresenta maior dificuldade é conseguir montar a equação diferencial corretamente a partir das informações fornecidas no enunciado.

Movimento Harmônico Simples(MHS):Sistema Massa-Mola

Movimento harmônico é qualquer movimento que tenha a cara de seno, cosseno ou combinação entre eles, ou seja, a movimentação do corpo respeita uma relação de seno ou cosseno, vamos ver isso na prática!!!

Quando a gente tem só uma mola e um bloquinho, o sistema é esse aqui (repare que não tem atrito envolvido):

O sistema está em movimento e a massa m oscila em torno da posição de equilíbrio.

Vamos encontrar uma equação que descreva o movimento do corpo.

Imagine que alguém pegou essa massa m e deu uma puxadinha nele e largou! O sistema entrou em movimento. Como não tem atrito envolvido, esse corpo vai oscilar para sempre! Vamos ver como isso fica?

Analisando as forças atuantes no bloco em um instante genérico temos:

Só temos a força elástica (normal e peso se anulam). Logo, a força resultante é a força elástica. Então:

F R = F e l

Pela Lei de Hooke:

F e l = - k x

Repare que é negativa pois tem direção contrária ao deslocamento da massa, ou seja, quando você desloca a massa para frente, ela aplica força para trás!

Logo:

⇒ F R = - k x

Pronto!

Agora é só substituir na Segunda Lei de Newton:

F R = m a

Só que a aceleração é a derivada segunda da posição:

a = x ¨

Onde:

x ¨ = x " =   d 2 x d t 2

Substituindo:

F R = m a

⇒ - k x = m x ¨

Passando tudo para o mesmo lado:

⇒ m x ¨ + k x = 0

Dividindo tudo por m :

⇒ x ¨ + k m x = 0

Sempre que a gente tiver esse sistema, a gente vai encontrar essa equação. É com ela com que você tem que se preocupar!

Vamos escrever com a cara que estamos acostumados:

d 2 x d t 2 + k m x = 0

A gente chama de   ω = k m , a gente precisa dele para achar a frequência de oscilação do sistema será dada por f = ω 2 π   . Logo o período de oscilação do sistema é dado por T = 1 f = 2 π ω

Então temos:

d 2 x d t 2 + ω 2 x = 0

Portanto, chegamos a uma EDO de segunda ordem homogênea de coeficientes constantes! Já sabemos resolvê-la! A equação auxiliar é:

r 2 + ω 2 = 0

∆ = 0 2 - 4 1 ω 2

∆ = - 4 ω 2

Logo ∆ < 0 . Usando a fórmula de Bhaskara temos:

r = 0 ± 2 ω i 2

r = ± ω i

Então, a solução geral será:

x t = e 0 c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n ω t

x t = c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n ( ω t )

MHS Pêndulo Simples:

Outro exemplo de Movimento Harmônico Simples (MHS) é o pêndulo Simples

Vamos fazer um passo a passo para mostrar o raciocínio que iremos utilizar

Passo 1: diagrama de corpos livres e forças atuantes.

Isolando a massa, temos o seguinte:

Passo 2: encontrar força resultante.

Como não há movimento na direção do fio, podemos decompor o peso nessa direção e na direção do movimento, perpendicular (setas pontilhadas).

Então a força resultante é dada por:

F R = P sen ⁡ θ

Passo 3: aplicar a Segunda Lei de Newton:

F R = m a

Sabemos que a = x ¨ , mas no caso do pêndulo, temos que:

x = l sen ⁡ θ

Veja a figura abaixo para melhor entendimento.

Esse seno tá atrapalhando nossa vida, não é?

Mas para pequenos valores de θ : sen ⁡ θ ≈ θ

Observação: apareceu um seno, fala que o ângulo é pequeno e substitui o seno pelo próprio ângulo.

Então: x = l θ

Derivando duas vezes:

x ¨ = l θ ¨

Passo 4: chegar à equação do MHS

Substituindo na Segunda Lei de Newton:

F R = m a

⇒ - P sen ⁡ θ = m l θ ¨

⇒ - m g sen ⁡ θ = m l θ ¨

⇒ - g sen ⁡ θ = l θ ¨

⇒ l θ ¨ + g sen ⁡ θ = 0

De novo, vamos usar a aproximação para pequenos valores de θ :

sen ⁡ θ ≈ θ

Logo:

l θ ¨ + g θ = 0

⇒ θ ¨ + g l θ = 0

Comparando com a equação do MHS:

θ ¨ + ω 2 θ = 0

Percebeu que tem exatamente a mesma cara do nosso primeiro exemplo? Pois é, é só resolver um, que é o mesmo estilo de resolução para todos os outros!

MHS: Pêndulo Físico

Outro exemplo é o pêndulo físico!

Nesse caso, temos um corpo de massa m e momento de inércia I , preso a um eixo em um ponto cuja distância ao centro de massa é d .

Vamos ao passo-a-passo:

Passo 1: diagrama de corpos livres e forças atuantes.

Temos um par de ação e reação nessa massa. Então a força resultante é zero!

E agora?

Agora a gente usa a Segunda Lei de Newton para rotação:

τ R = I α

Onde τ R é o torque resultante, I é o momento de inércia e α é a aceleração angular.

Vamos calcular o torque em relação ao ponto   O do eixo, ou seja, o ponto que não se move:

τ = - P d sen ⁡ θ

Passo 2: encontrar torque resultante:

Como o torque que calculamos é o único que atua no corpo, então:

τ R = - P d sen ⁡ θ

Passo 3: aplicar a Segunda Lei de Newton:

τ R = I α

Como α = θ ¨

⇒ - P d sen ⁡ θ = I θ ¨

⇒ I θ ¨ + P d sen ⁡ θ = 0

Para pequenos valores de θ : sen ⁡ θ ≈ θ

Então:

I θ ¨ + P d θ = 0

⇒ θ ¨ + P d I θ = 0

Perceba que essa EDO tem a mesma “cara” que as outras EDO’s que encontramos para o sistema-massa mola e o pêndulo simples.

Importante: não precisa decorar isso. Só estamos fazendo pra você pegar o “feeling” de como montar e resolver a equação do MHS, beleza?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNA - Mecânica Aplicada - Vibrações Mecânicas

Um oscilador harmônico possui massa m = 10   k g e período de vibração natural, medido em um osciloscópio, igual a 35   m s . Determinar a constante de mola.

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Passo 1

Pois bem, para começarmos um problema como esse, acho melhor eu e você entendermos o como um todo, e esse será o nosso primeiro passo:

Temos que determinar a constante de mola de um oscilador harmônico equivalente a um sistema massa-mola. Podemos determinar isso, lembrando que mola tem a ver com frequência, e a frequência natural de um sistema harmônico massa mola é dada por:

ω 0 = k m

E é daí que vamos tirar a constante de mola k !

Passo 2

Toda frequência angular, é medido se tivermos um período T através da maravilhosa igualdade:

ω 0 = 2 π T

Como no nosso caso T = 35   m s . Só que temos que converter para segundos. Isso é tranquilo, lembrando que m i l i = 10 - 3 ...

T = 35 ⋅ 10 - 3   s

Portanto...

ω 0 = 2 π T           →                 ω 0 = 2 π 35 ⋅ 10 - 3     →

ω 0 = 2 π 35 ⋅ 10 3

Passo 3

Finalmente podemos substituir tudo na equação da frequência natural de um sistema massa mola:

ω 0 = k m           →

2 π 35 ⋅ 10 3 = k 10             →

Elevando ambos os lados ao quadrado:

2 π 35 ⋅ 10 3 2 = k 10             →

k = 4 π 2 35 2 ⋅ 10 7     N / m

Resposta

k = 4 π 2 35 2 ⋅ 10 7     N / m

Exercício Resolvido #2

UERJ - Cálculo 3 - Lista 6 Fernando Lopes - 1

Exercício nº 1 letra lista 6 de Cálculo III – IME - UERJ – Prof. Fernando Lopes C. -2014

Resolva o sistema de oscilações

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Passo 1

Vamos usar a segunda lei de Newton para conseguir montar a equação diferencial.

F R = m a

Mas para isso, precisamos fazer o diagrama de forças.

Analisando as forças atuantes no bloco em um instante genérico temos:

Só temos a força elástica (normal e peso se anulam). Logo, a força resultante é a força elástica.

Passo 2

Então, pelo diagrama de forças atuantes temos:

F R = F e l

Porém, pela Lei de Hooke:

F e l = - k x

Logo:

⇒ F R = - k x

Substituindo na Segunda Lei de Newton:

F R = m a

- k x = m a

Que é o mesmo que:

m d 2 x d t 2 + k x = 0

d 2 x d t 2 + k m x = 0

Onde:

ω 2 = k m

Passo 3

A equação característica dessa EDO é:

r 2 + ω 2 = 0

Logo

r = ± i ω

O que evidencia que a solução tem a carona de:

x = c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n ⁡ ( ω t )

Da pra juntar esses dois caras em um só:

x = C . c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

E tchã!Fechou clã! Isso vale para o pêndulo físico e o pêndulo simples! O que muda em cada um deles é o ω !

Resposta

x = C . c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

Exercício Resolvido #3

Encontre a solução da equação do pêndulo simples de comprimento l = 2,5   m e condições iniciais:

θ 0 = 1 θ ' 0 = 3

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Passo 1

Vamos partir da equação do pendulo simples:

θ ¨ + g l θ = 0

Substituindo os valores encontramos:

θ ¨ + 4 θ = 0