Funções Definidas Implicitamente

Teoria Completa

O que diabos é isso?

Vamos começar com um exemplo no R onde o mundo é mais belo e todo mundo gosta mais!

Considere essa equação

x 2 + y 2 = 4

Se a gente quiser, conseguimos isolar o y e escrevê-lo em função do x , certo? Assim

y 2 = 4 - x 2

y = ± 4 - x 2

Dai a gente encontrou duas expressões pra y em função de x , que estavam ali o tempo todo:

f 1 x = y 1 = 4 - x 2

f 2 x = y 2 = - 4 - x 2

Funções definidas implicitamente numa equação são exatamente isso: funções de x que estão dentro de uma equação, sem que a gente consiga, simplesmente olhando pra equação, enxergar a cara delas. Mas que estão lá!!

Se você reparar, se a gente jogar essas duas funções y 1 e y 2 naquela primeira equação, vamos ver que elas são, de fato, soluções:

x 2 + ± 4 - x 2 2 - 4 = 0

4 - 4 = 0

Sacou a parada?

Então, em termos matemáticos, o que a gente tem é:

Uma função y = g ( x ) está definida implicitamente numa equação f x , y = 0 se, quando a gente substituir y = g x nessa equação, o resultado for zero, ou seja, f x , g x = 0 , para todo x no domínio de g ( x ) .

E, se a gente fizer

f x , y = x 2 + y 2 - 4 = 0

y = g x = ± 4 - x 2

f x , g x = x 2 + ± 4 - x 2 2 - 4 = 0

Vamos ver que essa definição foi exatamente o que a gente fez ali em cima, né?

Então, agora já sabe: Equações que definem funções implicitamente serão representadas na forma:

e q u a ç ã o   q u a l q u e r   d e   q u a n t a s   v a r i á v e i s   e u   q u i s e r = 0

Beleza. Mas já que aqui não tem mais criança, imagine agora que temos a equação de 3 variáveis x , y , z :

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Verifique se ela define z como uma função de x e y .

Pelo que eu acabei de dizer ali em cima, vamos pegar essa equação e jogar tudo pra um lado só, pra poder igualar a zero. Assim

F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Beleza, agora para achar o z , a gente só precisa isolá-lo e escrevê-lo como função de x e y .

z = ± 1 - x 2 - y 2

Ou seja, temos duas expressões para z em função de x e y :

Tá, mas como a gente sabe se essas expressões estão, de fato, definidas implicitamente naquela equação?

Lembra da definição que eu te dei pra funções definidas implicitamente de uma variável?

Então, ela vale para aqui também. Só precisamos fazer um pequeno ajuste já que, para mais de uma variável, o que temos são vetores. Aí fica assim:

Dada um função F : R n + m R m que leva cada par de vetores

X , Y = x 1 , , x n ; y 1 , , y m

no par de vetores

F X , Y = F x 1 , , x n ; y 1 , , y m

A gente diz que tem uma função g : R n R m é definida implicitamente pela equação F X , Y = 0 , se quando a gente substituir Y = g X nessa equação, o resultado for zero, ou seja, se F X , g X = 0 , para todo X no domínio de g .

Relaxa, o que a gente ta dizendo aqui é EXATAMENTE a mesma coisa que disse pra uma variável, só que agora, a equação F X , Y = 0 , que define implicitamente uma função, é uma função vetorial e a nossa função definida implicitamente, Y = g ( X ) , é uma função de várias variáveis x 1 ,   x 2 , x 3 ...

Então, o Y são as funções que são definidas implicitamente e o X são as variáveis dessas funções.

Vamos continuar no nosso exemplo pra você entender melhor.

Queremos saber se z pode ser definido implicitamente como uma função de x e y , então, o que temos é:

X = ( x , y )

Y = z

E, portanto,

Y = g X = g x , y z = ± 1 - x 2 - y 2

Agora, queremos saber se esse z pode ser definido implicitamente como uma função de x e y por aquelas expressões que encontramos pra z . Então, precisamos substituir z = Y = g ( X ) na nossa equação

F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

E vê se dá mesmo zero. Vejamos

x 2 + y 2 + ± 1 - x 2 - y 2 2 - 1 = 0

x 2 + y 2 + 1 - x 2 - y 2 - 1 = 0 = 0

Opa, deu zero, então z está definido implicitamente como função de x e y .

Agora vamos lá, duas coisas que você NÃO PODE esquecer de jeito maneira:

  • Em ( X , Y ) o Y são as funções que são definidas implicitamente e o X são as variáveis dessas funções.
  • Equações que definem funções implicitamente são representadas na forma

F X , Y = 0

Pode acontecer também de ele te dar a equação e perguntar se ela define uma função implicitamente num ponto então a primeira coisa é verificar que ela é 0 no ponto que ele quer que você veja se tem implícita beleza?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo 2B, Parte 14, exemplo 14.1.1

Mostre que

y = g x = 1 - x 2   ,   x 1

Está dada de forma implícita na equação

x 2 + y 2 - 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pra verificar se essa equação define y implicitamente como função de x , temos que ver se ao substituir y = g ( x ) em f x , y , dá zero.

Temos:

f x , y = x 2 + y 2 - 1 = 0

y = g x = 1 - x 2

Passo 2

-

Substituindo:

f x , g y = x 2 + 1 - x 2 2 - 1 = x 2 + 1 - x 2 - 1 = 0 = 0

Logo   y = g x = 1 - x 2 está de fato implícito na equação dada.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.314. questão 4.

Considere a equação

x - 2 3 y + x e y - 1 = 0

  1. Esta equação define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 1,1 ) ?
  2. E numa vizinhança do ponto ( 0,0 ) ?
  3. E numa vizinhança do ponto ( 2,1 ) ?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pra verificar se essa equação define y implicitamente como função de x numa vizinhança de um ponto, temos que ver se ao substituir o ponto em f x , y , dá zero.

Temos:

f x , y = x - 2 3 y + x e y - 1 = 0

Passo 2

a )

Substituindo:

f 1,1 = 1 - 2 3 1 + 1 e 1 - 1 = - 1 3 + 1 = - 1 + 1 = 0

Logo esta equação define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 1,1 ) .

Passo 3

b )

Substituindo:

f 0,0 = 0 - 2 3 0 + 0 e 0 - 1 = 0 + 0 = 0

Logo esta equação define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 0,0 ) .

Passo 4

c )

Substituindo:

f 2,1 = 2 - 2 3 1 + 2 e 1 - 1 = 0 + 2 = 2 0

Logo esta equação não define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 2,1 ) .

Resposta

  1. Esta equação define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 1,1 ) .
  2. Esta equação define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 0,0 ) .
  3. Esta equação não define y como função de x numa vizinhança do ponto ( 2,1 ) .

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo 2B, Parte 14, exemplo 14.2.1

Determine y e z como funções de x implícitas nas equações abaixo:

x + y + z = 1

2 x + z = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Equações que definem funções implicitamente são representadas na forma

F X , Y = 0

Queremos determinar y e z como funções de x , então

X = x

Y = ( y , z )

Passo 2

Primeiro vamos então jogar tudo para um lado só nessas equações:

x + y + z - 1 = 0

2 x + z - 2 = 0

Assim, temos

F X , Y = x + y + z - 1 ,   2 x + z - 2 = ( 0,0 )

F x , y , z = x + y + z - 1 ,   2 x + z - 2 = ( 0,0 )

Beleza? Só substitui!

Passo 3

Agora, se a gente olhar a segunda equação, vemos que dá pra isolar o e já acha-lo como uma função de x :

z = 2 - 2 x

E substituindo isso na primeira equação, podemos achar y em função de x :

x + y + 2 - 2 x = 1

y = 1 - 2 - x + 2 x

y = x - 1

Passo 4

Beleza, mas a gente não tem certeza se essas funções estão de fato definidas implicitamente naquelas equações, então, pra ter certeza, vamos substituí-las na expressão de F ( X , Y ) e vê se da zero:

F x , y , z = x + y + z - 1 ,   2 x + z - 2

F x , y , z = x + x - 1 + 2 - 2 x - 1,2 x + 2 - 2 x - 2 = ( 0,0 )

Otimo, deu certo, então

z = z x = 2 - 2 x

y = y x = x - 1

Resposta

z = z x = 2 - 2 x

y = y x = x - 1

Exercício Resolvido #4

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.320. questão 3a.

Verifique que a curva C obtida como interseção das superfícies

x 2 + y 2 + z 2 = 4

E

x 2 + y 2 = 2 y

Pode ser parametrizada no parâmetro z numa vizinhança do ponto ( 1,1 , 2 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que ele quer saber é se a equação da curva C define x e y como funções de z na vizinhança do ponto ( 1,1 , 2 ) .

Temos então que achar a equação da curva de interseção, que será nossa equação F X , Y e verificar se, ao substituir esse ponto, dá zero.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a curva C .

Como ela é interseção das duas superfícies, tem que satisfazer ambas as equações.

Vamos então isolar o x ² na segunda equação

x 2 = 2 y - y ²

E agora substituir na primeira equação

2 y - y 2 + y 2 + z 2 = 4

2 y + z 2 = 4

Essa é nossa curva de interseção C

Passo 3

Ela define nossa equação F ( X , Y ) , então, vamos jogar tudo pra um lado só pra termos aquele formato de “ e q u a ç ã o = 0

F X , Y = 2 y + z 2 - 4

Passo 4

-

Agora vamos substituir o ponto ( 1,1 , 2 ) e vê se da zero:

2.1 + 2 2 - 4 = 2 + 2 - 4 = 0

Logo, a curva C pode ser parametrizada no parâmetro z numa vizinhança do ponto ( 1,1 , 2 ) .

Resposta

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