Teorema da Função Implícita

Teoria Completa

“Ah não, mais um teorema!?”

Relaxa, esse você já conhece: era ele que você usava quando fazia derivação implícita lá em cálculo de uma variável.

Ele nos permite determinar a derivada de uma função definida implicitamente por uma equação, sem ter que explicitar essa função, até porque muitas vezes não dá pra fazer isso. Vamos ver como funciona.

Digamos que a gente tenha a equação

F x , y , z = x 2 + x y + cos x - z 2 + ln cos z + x

E queremos saber se z está definido implicitamente por essa equação como uma função de x e y .

Temos então

X = x , y

Y = z

Mas, como vamos fazer isso se nesse caso não dá pra isolar o z e fazer aquele esquema de substituir na equação pra ver se dá zero?

É ai que o teorema da função implícita entra! Ele vai nos dizer se podemos definir as variáveis de Y em função das variáveis de X e, se for possível, vai nos dar também as derivadas de Y em função de X .

Parece bom, né? Então vamos ao teorema.

O Ministério da Saúde adverte: num primeiro olhar esse teorema parece assustador, mas analisando com carinho você verá que ele é só chato mesmo, mas não é difícil.

Bom, feitas as devidas advertências, vamos ao teorema de verdade agora:

Se ( X 0 , Y 0 ) é tal que

F X 0 , Y 0 = 0

F Y ( X 0 , Y 0 )

É inversível, então, numa vizinhança de X 0 existe uma função diferenciável

Y = g X

Que está definida implicitamente na equação F X , Y = 0 e

g ' X = - F Y X , g X - 1 . F X X , g X

WHAAAAAAAAAAAAT????

Respira fundo e fica calmo! Vou te explicar parte por parte!

Se, ao substituir a expressão F ( X , Y ) num ponto qualquer ( X 0 , Y 0 ) , der zero e se a derivada parcial de F em relação a Y nesse ponto for uma matriz inversível, isto é, tiver determinante diferente de zero, então, ali perto de X 0 , Y = g ( X ) está definido implicitamente na equação F X , Y = 0 (mesmo que a gente não saiba a expressão dessa função) e é uma função diferenciável. E mais, sua derivada é igual a menos o inverso da derivada de F em relação a Y vezes a derivada de F em relação a X .

Ufa! Dá uma segunda liga nisso pra fixar melhor.

Agora deixa eu te mostrar direitinho o que é F Y , F X e g ' ( X ) .

A primeiro coisa é lembrar que Y são as funções definidas implicitamete, e X são as variáveis.

Agora, o que diabos é F Y ? Ele vai ser essa matriz aqui:

F Y X , Y = f 1 y 1 f 1 y m f 2 y 1 f 2 y m f m y 1 f m y m

Onde cada uma dessas f 1 , f 2 são as compoenentes da função F e cada um desses y são as coordenadas que queremos ver se é uma função.

No nosso exemplo, já vimos ali em cima que Y = z .

Além disso, nossa função F x , y , z = x 2 + x y + cos x - z 2 + ln cos z + x só tem uma componente f 1 . Então, essa parada fica:

F Y X , Y = f 1 z = x 2 + x y + cos x - z 2 + ln cos z + x z = - 2 z + 1 z + x

Sacou a ideia?

Isso vai ser o jacobiano de F em relação as componentes do vetor Y , beleza?

Depois temos que ver se o determinante dessa matriz jacobiana é diferente de zero, para sabermos se ela é inversível.

Mas, pra isso, devemos olhar em um ponto ( X 0 , Y 0 ) específico, então vamos fazer a conta para o ponto

X 0 , Y 0 = x 0 , y 0 , z 0 = 1,1 , 1

Tá, calculando nesse ponto então

D e t F Y X 0 , Y 0 = - 2 1 + 1 1 + 1 = - 2 + 1 2 = - 3 2 0

Como esse determinante deu diferente de 0 podemos dizer que, com aquela equação do exemplo podemos definir implicitamente z em função de x e y perto, mas bem pertiiiinho mesmo do ponto 1,1 , 1 .

Isso não quer dizer que conseguimos escrever z em função de x e y , mas pelo menos agora a gente sabe que a função está ali, implícita, mas está, ou seja

Y = z = g X = g ( x , y )

O teorema permite também que a gente calcule g ' ( X ) , que nesse caso, são as derivadas de z em função de x e de y .

Para isso temos que achar agora a matriz jacobiana F X X , Y , que vai ser

F X X , Y = f 1 x 1 f 1 x n f 2 x 1 f 2 x n f m x 1 f m x n

Onde cada uma dessas f 1 , f 2 são as compoenentes da função F e cada um desses x são as as variáveis da nossa função definida implicitamente.

Ainda no nosso exemplo, temos

F X X , Y = f 1 x f 1 y F X X , Y = 2 x + y - sen x + 1 z + x x

Vamos trocar os valores de x , y e z no ponto 1,1 , 1

F X X , Y = 2 1 + 1 - sen 1 + 1 1 + 1 1 = 7 2 - sen 1 1

Finalmente, a derivada da nossa função implícita vai ser representada por g ' X , e a fórmula que o teorema nos dá para calcular essa derivada é

g ' X = - F Y X , Y - 1 . F X X , Y

Assim, no nosso exemplo, para o ponto X = 1,1 , temos

g ' 1,1 = z x 1,1 z y 1,1 = - - 3 2 - 1 7 2 - sen 1 1

z x 1,1 z y 1,1 = 2 3 7 2 - sen 1 1 = 7 3 - 2 3 sen 1 2 3

Então, temos que

z x 1,1 = 7 3 - 2 3 sen 1

z y 1,1 = 2 3

Vamos dar uma revisada no passo a passo para entender como fazer essa paradinha direito.

  • Primeiro precisamos achar a nossa função
  • F x , y , z = 0 , , 0

    Com quantas componentes forem necessárias.

  • Depois identificamos Y , que são as funções definidas implicitamete, e X que são as variáveis.
  • Fazemos a seguinte matriz

F Y X , Y = f 1 y 1 f 1 y m f 2 y 1 f 2 y m f m y 1 f m y m

E fazemos, para essa matriz

D e t F Y X , Y 0

No ponto ( X 0 , Y 0 ) , garantindo que as variáveis de Y podem ser definida implicitamente em função de X , ali pertinho desse ponto.

OBS: uma boa dica é que o número de variáveis de Y é sempre igual ao número de funções componentes de F x , y , z , ou seja, o número de funções ddefinidas implicitamente deve ser igual ao número de equações dadas no problema.

  • Fazemos a outra matriz
  • F X X , Y = f 1 x 1 f 1 x n f 2 x 1 f 2 x n f m x 1 f m x n

  • Achamos as derivadas de Y em função de X

g ' X = y 1 x 1 y 2 x n y 2 x 1 y 2 x n y m x 1 y m x n = - F Y X , Y - 1 × F X X , Y

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 12, questão 5.

Mostre que a equação

x 3 + y 3 + z 3 = x + y + z

Define implicitamente uma função z = f ( x , y ) de classe C ¹ cujo gráfico está na vizinhança do ponto ( 1,1 , 1 ) .

Expresse z x e z y .

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Passo 1

Vamos lá a primeira coisa a fazer é identificar quem é o vetor X e quem é o vetor Y .

Como ele quer tudo em função de x e y

X = x , y

O resto vai ser do vetor Y

Y = z

Assim também temos X 0 e Y 0

X 0 = x 0 , y 0 = ( 1,1 )

Y 0 = z 0 = 1

Vamos identificar também nosso F ( X , Y ) , jogando tudo pra um lado só na equação do problema:

F X , Y = F x , y , z = x 3 + y 3 + z 3 - x - y - z

Passo 2

Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve a equação né?

1 3 + 1 3 + 1 3 - 1 - 1 - 1 = 0

Beleza, ele serve porque F X 0 , Y 0 = 0 !

Passo 3

Para vermos se a equação define implicitamente precisamos achar primeiro F Y , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a z porque é F Y = F z

F Y = f 1 z = [ 3 z ² - 1 ]

Passo 4

Agora temos que ver se D e t F Y 0 no ponto 1,1 , 1

det F Y = 3 . 1 ² - 1 = 2 0

Show! Como ele é diferente de 0 podemos definir z em função de   x e y .

Passo 5

Agora para encontrar a derivada de Y = z = g X = g ( x , y ) temos que a fórmula da derivada é

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Então, primeiro temos que fazer F X

F X = f 1 x f 1 y = 3 x 2 - 1 3 y 2 - 1

Agora, substituímos no ponto:

F X = 3 . 1 2 - 1 3 . 1 2 - 1 = 2 2

Passo 6

Agora, vamos calcular a inversa de F Y

F Y = 3 z 2 - 1

F Y - 1 = 1 3 z 2 - 1

Substituindo no ponto:

F Y - 1 = 1 3 . 1 2 - 1 = 1 2

Passo 7

Agora é só substituir tudo na formula da derivada

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

g ' X 0 = z x z y = z x ( 1 ) z y ( 1 ) = - 2 - 1 . 2 2

g ' X 0 = z x z y = - 1 2 . 2 2 = - 1 - 1

Resposta

z x = - 1

z y = - 1

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 12, questão 1.

Verifique as hipóteses do teorema da função implícita no ponto P 0 = ( 1,1 ) e calcule y ' ( 1 ) e y ' ' ( 1 ) para

ln x y - 2 x y + 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá a primeira coisa a fazer é identificar quem é o vetor X e quem é o vetor Y .

Como ele quer y em função de x

X = x

O resto vai ser do vetor Y

Y = y

Assim também temos X 0 e Y 0

X 0 = x 0 = 1

Y 0 = y 0 = 1

Vamos identificar também nosso F ( X , Y ) :

F X , Y = F ( x , y ) = ln x y - 2 x y + 2

Passo 2

Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve a equação né?

ln 1.1 - 2.1 . 1 + 2 = 0 - 2 + 2 = 0

Beleza, ele serve porque F X 0 , Y 0 = 0 !

Passo 3

Para vermos se a equação define implicitamente precisamos achar primeiro F Y , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a y porque é F Y = F y

F Y = f 1 y = x x y - 2 x

Passo 4

Agora temos que ver se D e t F Y 0 no ponto 1,1

det F Y = 1 1.1 - 2.1 = - 1 0

Show! Como ele é diferente de 0 podemos definir y em função de   x .

Pronto, verificamos as hipóteses do teorema da função inversa.

Passo 5

Agora para encontrar as derivadas de Y = y = g X = g ( x ) temos que a fórmula da derivada é

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Então, primeiro temos que fazer F X

F X = f 1 x = y x y - 2 y

Agora, substituímos no ponto:

F X = 1 1.1 - 2.1 = - 1

Passo 6

Agora, vamos calcular a inversa de F Y

F Y = x x y - 2 x = x - 2 x 2 y x y

F Y - 1 = x y x - 2 x 2 y

Substituindo no ponto:

F Y - 1 = 1.1 1 - 2.1 2 . 1 = - 1 1 = - 1

Passo 7

Agora é só substituir tudo na formula da derivada

g ' X = - F Y - 1 . F X

g ' X = y x = - x - 2 x 2 y x y - 1 . y x y - 2 y

g ' X = y x = - x y x - 2 x 2 y . y - 2 x y ² x y = - y - 2 x y ² x - 2 x 2 y

Substituindo no ponto:

g ' X 0 = y x 1 = y ' 1 = - 1 - 2.1 . 1 2 1 - 2.1 2 . 1 = - 1

Passo 8

Para achar y ' ' ( x ) vamos derivar novamente a expressão de y ' x = - y - 2 x y ² x - 2 x 2 y

y ' ' x = - y ' - 2 y 2 - 2 x 2 y y ' x - 2 x 2 y - ( 1 - 4 x y - 2 x 2 y ' ) ( y - 2 x y 2 ) x - 2 x 2 y 2

Substituindo no ponto:

y ' ' 1 = - - 1 - 2 1 2 - 2 1 2.1 - 1 . 1 - 2.1 2 . 1 - 1 - 4.1 . 1 - 2.1 2 . - 1 . 1 - 2.1 . 1 2 1 - 2.1 2 . 1 2

y ' ' 1 = - + 1 . - 1 - - 1 . ( - 1 ) 1 = 2

Resposta

y ' 1 = - 1

y ' ' 1 = 2

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.314. questão 6.

Encontre os pontos da lemniscata de equação

x 2 + y 2 2 - 2 a 2 x 2 - y 2 = 0

Em que as retas tangentes são horizontais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos

X = x

Y = y

E

F X , Y = F x , y = x 2 + y 2 2 - 2 a 2 x 2 - y 2

Para achar os pontos onde as retas tangentes são horizontais, devemos primeiro achar a derivada de y em relação a x , para depois igualar isso a zero. Certo?

Passo 2

Para encontrar as derivadas de Y = y = g X = g ( x ) temos que a fórmula da derivada é

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Então, primeiro temos que fazer F X

F X = f 1 x = 4 x x 2 + y 2 - 4 a ² x ( x 2 - y 2 )

Passo 3

Agora vamos calcular F Y

F Y = f 1 y = 4 y x 2 + y 2 + 4 a ² y ( x 2 - y 2 )

Passo 4

Agora, vamos calcular a inversa de F Y

F Y = 4 y x 2 + y 2 + 4 a ² y ( x 2 - y 2 )

F Y - 1 = 1 4 y x 2 + y 2 + 4 a ² y ( x 2 - y 2 )

Passo 5

Agora é só substituir tudo na formula da derivada

g ' X = - F Y - 1 . F X

g ' X = y x = - 4 y x 2 + y 2 + 4 a ² y ( x 2 - y 2 ) - 1 . 4 x x 2 + y 2 - 4 a ² x ( x 2 - y 2 )

g ' X = y x = - 1 4 y x 2 + y 2 + 4 a 2 y x 2 - y 2 . 4 x x 2 + y 2 - 4 a 2 x x 2 - y 2

g ' ( x ) = - 4 x x 2 + y 2 - 4 a ² x ( x 2 - y 2 ) 4 y x 2 + y 2 + 4 a ² y ( x 2 - y 2 )

Passo 6

A reta tangente é horizontal nos pontos em que

g ' x = 0

Então

4 x x 2 + y 2 - 4 a 2 x x 2 - y 2 = 0

4 x x 2 + y 2 = 4 a 2 x x 2 - y 2

x 2 + y 2 = a 2 x 2 - y 2

Isso

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

Exercício Resolvido #4

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.323. questão 1.

É possível “resolver” o sistema de equações

x y 2 + x y u + y v 2 = 3

u 3 y z + 2 x v - u 2 v 2 = 2

Para u ( x , y , z ) e v ( x , y , z ) próximo de x , y , z , u , v = ( 1,1 , 1,1 , 1 ) ?

Calcule v y em x , y , z = ( 1,1 , 1 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que ele quer saber é se esse sistema de equações define u e v como funções de x , y , z nas vizinhanças de .   ( 1,1 , 1,1 , 1 ) .

Vamos usar o teorema da função implícita. Então

X = x , y , z

X 0 = ( 1,1 , 1 )

Y = u , v

Y 0 = ( 1,1 )

F X , Y = F x , y , z , u , v = x y 2 + x y u + y v 2 - 3 , u 3 y z + 2 x v - u 2 v 2 - 2

Passo 2

Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve ao sistema de equações

1.1 2 + 1.1 . 1 + 1.1 2 - 3 = 0

1 3 . 1.1 + 2.1 . 1 - 1 2 . 1 2 - 2 = 0

Beleza, ele serve porque F X 0 , Y 0 = ( 0,0 ) !

Passo 3

Para vermos se a equação define implicitamente precisamos achar primeiro F Y , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a u , v porque é F Y = F u , v

F Y = f 1 u f 1 v f 2 u f 2 v = x y 2 y v 3 u 2 y z - 2 u v ² 2 x - 2 u ² v

Passo 4

Agora temos que ver se D e t F Y 0 no ponto 1,1

det F Y 0 = 1 2 3 - 2 2 - 2 = 1 2 1 0 = - 2 0

Beleza, deu diferente de zero, então essa matriz é inversivel e é possível resolver o sistema para u ( x , y , z ) e v ( x , y , z ) próximo de x , y , z , u , v = ( 1,1 , 1,1 , 1 )

Passo 5

Agora, pra calcular a derivada, como ele só quer v y , vamos usar a derivação implícita pra facilitar as nossas vidas!

Se fossemos usar o teorema inteiro, a gente ia calcular essa derivada também, mas além dela calcularíamos as derivadas de u e v em relação não só a y , mas também a x e z . Ou seja, varias trabalhos desnecessários.

Com a derivação implícita, a gente deriva cada equação em relação a y considerando que u e v são funções de y :

2 x y + x u + x y u y + 1 v 2 + 2 v y v y = 0

3 u u y y z + u 3 z . 1 + 2 x v y - 2 u u y v 2 - 2 v v y u 2 = 0

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas v y   e   u y .

Se isolarmos u y na primeira equação e substituirmos na segunda, depois de resolver essas contas gigantes e substituir o ponto ( 1,1 , 1 ) , encontraremos

v y = - 1

Resposta

v y = - 1

Exercício Resolvido #5

UFF, Cálculo 2B, Parte 14, exemplo 14.3.4

Considere as equações

x u + y v + z w = 1

x + y + z + u + v + w = 0

x y + z u v + w = 0

Suponha que x , y , z são funções diferenciáveis de u , v e w que estão implícitas nas equações acima. Determine x w , y w e z w derivando implicitamente as equações acima com respeito a w .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá, como o problema mesmo diz, vamos derivar implicitamente as equações acima com respeito a w , considerando que x , y , z são funções de w :

x w u + y w v + z w w + z = 0

x w + y w + z w + 1 = 0

x w y + y w x + z w u v + 1 = 0

Temos um sistema com 3 equações e 3 incognitas.

Passo 2

Resolvendo o sistema:

Isolando x w   na primeira equação:

x w = - y w v - z w w - z u

Substituindo na segunda equação e isolando y w :

y w = - z w u - w + z - u u - v

Assim:

x w = - y w v - z w w - z u = - - z w u - w + z - u u - v v - z w w - z u = z w v - w - z - v

Substituindo tudo isso na terceira equação:

z w v - w - z - v y + - z w u - w + z - u u - v x + z w u v + 1 = 0

Passo 3

E, fazendo milhões de contas, chegamos em:

z w = z y u - z y v + v y u - v 2 y - u + v u v y - v 2 y - u w y + v w - u x + x w + u 2 v - v 2  

y w = - z y u - z y v + v y u - v 2 y - u + v u v y - v 2 y - u w y + v w - u x + x w + u 2 v - v 2 u - w + z - u u - v

x w = z y u - z y v + v y u - v 2 y - u + v u v y - v 2 y - u w y + v w - u x + x w + u 2 v - v 2 v - z y u - z y v + v y u - v 2 y - u + v u v y - v 2 y - u w y + v w - u x + x w + u 2 v - v 2 w - z u

Resposta

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