Área de Superfícies

Teoria Completa

Introdução

Uma das várias aplicações das integrais de linha, que vamos ver agora, é o cálculo da área de algumas superfícies. A área de qualquer superfície pode ser obtida a partir de uma, pasmem, integral de superfície! Mas existe um caso específico que podemos calcular a área da superfície com uma integral de linha, são as superfícies de revolução.

Superfícies de revolução são superfícies obtidas a partir da rotação de uma curva em torno de algum eixo. Não entendeu? Vê se com esse exemplo fica mais claro! Já estamos familiarizados com a reta y = x , ela é bem simples, né? O que acontece se rodarmos ela em torno do eixo y no intervalo - 1 x 1 ? Olha o esboço como seria:

Veja que a linha preta é a nossa curva original y = x . Simplesmente pegamos ela e rodamos em torno do eixo y .

Beleza, entendi como é a superfície de rotação, mas e aí? Como calculo sua área? Fica tranquilo, tem um teorema bem simples que vai nos dar a área da superfície de rotação com uma só integral: o Teorema de Pappus

Teorema de Pappus

O Teorema de Pappus diz que, para a rotação de uma curva σ t = x t , y t ao redor do eixo x , a área da superfície é dada por:

Á r e a = 2 π C y d S

E para a rotação ao redor do eixo y , a área é dada por:

Á r e a = 2 π C x d S

Onde d S = σ ' t d t

Temos que tomar alguns cuidados aqui:

1º) A fórmula representa a área de uma rotação completa, por isso o termo 2 π ali! Vou te mostrar um exemplo que teríamos que fazer uma modificação nessa fórmula:

Pense na rotação da curva y = x 2 ao redor do eixo y no intervalo de - 1 x 1 . A curva e a superfície vão ser essas aqui:

Perceba que, fazendo somente metade da rotação já conseguimos gerar a superfície, né? Isso acontece porque a curva é simétrica em relação ao eixo y ! Sempre que tivermos isso vamos ter que pensar em como calcular a área correta. Nesse caso, ao invés de utilizar a fórmula com 2 π , vamos simplesmente dividir por dois, afinal nós só fizemos metade da rotação! Sempre esboce suas curvas e superfícies para não calcular a área errada!

) Estamos tratando da integral de um módulo, temos que analisar quando o termo é positivo e quando é negativo! Vai ficar mais claro no exemplo a seguir

Exemplo

Vamos tentar calcular a área daquele exemplo lá de cima. Só para relembrar as informações, o exercício rotacionou a curva y = x em torno do eixo y no intervalo de - 1 x 1

Passo 1: Beleza, o teorema de pappus para a rotação completa no eixo y diz isso aqui:

Á r e a = 2 π C x d S

Precisamos primeiro encontrar uma parametrização para a curva, tirar esse módulo de dentro da integral, sem seguida calcular σ ' t e, por fim, juntar tudo na integral.

Passo 2: Muitas questões vão nos dar a parametrização direto, nesse caso aqui não foi assim. Uma parametrização simples é a seguinte:

x t = t

y = x y t = t

σ t = ( t , t )

- 1 t 1

Passo 3: Como fazemos pra tirar esse módulo de x ai da integral? Precisamos ver quando x é positivo e quando é negativo, no nosso caso:

x ( t ) = t

x t = - t s e - 1 t < 0 t s e   0 t 1

Então precisamos dividir a nossa integral em duas:

Á r e a = 2 π 0 1 t d S - 2 π - 1 0 t d S

Passo 4: Precisamos agora calcular o valor de σ ' t , pra isso:

σ t = t , t

σ ' t = 1,1

σ ' t = 1 2 + 1 2 = 2

Passo 5: Vamos terminar calculando as duas integrais!

Á r e a = 2 π 0 1 t 2 d t - 2 π - 1 0 t 2 d t

= 2 π 2 t 2 2 t = 0 t = 1 - 2 π 2 t 2 2 t = - 1 t = 0

= 2 π 2 2 - 0 - 2 π 0 - 2 2 = 2 π 2 2 + 2 π 2 2 = 2 π 2

Á r e a = 2 π 2

Pronto! Bem simples né, aqui vai um breve passo a passo:

Passo 1: Montar o problema, explicitando o teorema de pappus e esclarecendo o que precisa calcular

Passo 2: Obter uma parametrização para a curva.

Passo 3: Retirar o módulo da integral

Passo 4: Calcular σ ' t

Passo 5: Juntar tudo na integral do teorema de pappus e resolvê-la

Tranquilo, né? Agora é só partir pra alguns exercícios pra garantir que entendemos tudo, vamos lá?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Calcule a área da superfície S obtida pela revolução da curva σ ( t ) em torno do eixo y .

σ t = cos t ,   1 + sen t

0 t π 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Rotação de uma curva em relação ao eixo y , né? O enunciado nos pede a área da superfície gerada, isso é exatamente o tipo de questão pra usarmos o teorema de pappus! Como já temos a nossa superfície parametrizada, vamos aplicar direto o teorema!

É válido a gente fazer o esboço do gráfico para saber se a área é igual a rotação completa da curva, lembra? No nosso exercício a curva é assim:

E a superfície gerada é essa aqui:

Percebe que precisamos dar a volta completa dessa curva para gerar a superfície, certo? Portanto usamos a fórmula do teorema de pappus normalmente:

Á r e a = 2 π C x d S

Usamos módulo de x porque a rotação é ao redor do eixo y , lembra?

Beleza, então precisamos tirar esse módulo de dentro da integral, calcular o valor de σ ' t e depois resolver a integral, vamos lá?

Passo 2

Vamos tirar o módulo da integral, primeiro, para isso precisamos analisar se x é positivo ou negativo no intervalo dado!

x t = cos t

0 t < π 2

A função cos t é sempre positiva nesse intervalo, certo? Então, para todo o intervalo:

x = x = cos t

Passo 3

Precisamos calcular o valor de σ ' t , para isso, vamos derivar a parametrização da curva:

σ t = cos t ,   1 + sen t

x ' t = - sen t

y ' t = cos t

σ ' t = - sen t 2 + cos t 2 = 1

σ ' t = 1

Passo 4

Voltando para a nossa integral:

Á r e a = 2 π C x d S = 2 π 0 π 2 cos t d t

= 2 π sen t t = 0 t = π 2 = 2 π sen π 2 - sen 0 = 2 π

Resposta

2 π

Exercício Resolvido #2

Calcule a área da superfície S obtida pela revolução da curva y = 1 - x 2 em torno do eixo y no intervalo - 1 x 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Área de superfície de revolução, sabemos que aqui precisamos usar o Teorema de Pappus! Vamos fazer um esboço da curva e da superfície pra entender melhor o enunciado:

Perceba que não precisamos rotacionar completamente a curva para obter essa superfície! Lembra daquele caso em que a curva é simétrica em relação ao eixo? Isso acontece aqui também. Então, para calcular a área correta, precisamos fazer metade da rotação só, com isso:

Á r e a = π C x d S

Precisamos parametrizar a curva, tirar o módulo da integral, calcular σ ' t e depois juntar tudo, beleza?

Passo 2

Uma parametrização simples da curva y = 1 - x 2 é a seguinte:

x ( t ) = t

y ( t ) = 1 - t 2

- 1 t 1

Passo 3

Vamos começar analisando quando a função x ( t ) é positiva e quando é negativa:

x t = t

Dado o intervalo que obtivemos, - 1 t 1 , vemos que x ( t ) é positivo no intervalo 0 t 1 e negativo no intervalo - 1 t 0 , portanto:

x = t p a r a   0 t 1 - t p a r a - 1 t 0

π C x d S = π 0 1 t d S - π - 1 0 t d S

Passo 4

Precisamos agora calcular o termo σ ' t , para isso vamos derivar a nossa parametrização:

σ t = t , 1 - t 2

x ' t = 1

y ' t = - 2 t

σ ' t = 1 + - 2 t 2 = 4 t 2 + 1

σ ' t = 4 t 2 + 1

Passo 5

Juntando tudo na integral:

Á r e a = π 0 1 t 4 t 2 + 1 d t - π - 1 0 t 4 t 2 + 1 d t

Em ambas integrais vamos fazer a seguinte substituição:

u = 4 t 2 + 1

d u = 8 t   d t

t   d t = d u 8

t = - 1 u = 4 - 1 2 + 1 = 5

t = 0 u = 4 0 2 + 1 = 1

t = 1 u = 4 1 2 + 1 = 5

Ficamos com:

Á r e a = π 1 5 u d u 8 - π 5 1 u d u 8

Podemos inverter a segunda integral se mudarmos o sinal né?

=   π 1 5 u d u 8 + π 1 5 u d u 8 = 2 π 1 5 u d u 8

π 4 2 3 u 3 2 u = 1 u = 5 = π 6 5 5 - 1

Á r e a = π 5 5 - 1 6

Resposta

π 5 5 - 1 6

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