Centro de Massa e Momento de Inércia

Teoria Completa

Centro de Massa

Podemos ter várias motivações mecânicas para a utilização do conceito do centro de massa de um corpo, mas como aqui estamos estudando Cálculo, e não Física, vamos focar no cálculo para encontrar esse centro de massa. Como estamos estudando Integrais de Linha, iremos nos limitar ao cálculo do centro de massa para arames, hastes e fios finos, como tínhamos feito para a massa.

Pra você não ficar sem o conceito, o centro de massa é um ponto. Esse ponto é o ponto médio de distribuição de massa, entendeu nada né? Ele é o ponto onde podemos concentrar a massa do arame e considerá-lo uma bolinha onde o tamanho não importa.

O que queremos encontrar são as coordenadas x , y e z do centro de massa, normalmente representados em três dimensões por ( x - ,   y - ,   z - ) ou em duas por x - , y - .

Nesse ponto, temos a média ponderada da distribuição de massa ao longo da curva. Tomando o exemplo a coordenada x - , cada “pedaço” contribui com sua posição x i e sua massa m i . De forma que o centro de massa vai ser dado pela soma disso tudo, dividido pela massa total:

x - = ∑ i = 1 n x i ∙ m i M

Fazendo n → ∞ , vamos levar esse somatório para uma integral na nossa curva:

x - = ∫ C x   d m M

Meio estranho? Acho que o conceito é um pouco sim, mas os cálculos são relativamente simples, então vamos logo ao que importa.

Definição

Como vimos na teoria de Integral de linha de escalar, d m de um fio pode ser substituído por:

d m = δ x , y , z d s

E que a massa total M , como integral da função densidade, pode ser obtida por

M = ∫ C δ x , y , z d s

Então usando a fórmula que escrevemos lá em cima:

x - = ∫ C x   d m M = ∫ C x   δ x , y , z d s ∫ C δ x , y , z d s

Da mesma forma:

y - = ∫ C y   d m M = ∫ C y   δ x , y , z d s ∫ C δ x , y , z d s

E

z - = ∫ C z   d m M = ∫ C z   δ x , y , z d s ∫ C δ x , y , z d s

Então, quando a questão pede o centro de massa, só obtemos a resposta quando encontramos o ponto ( x - ,   y - , z - ) , ou seja, precisamos calcular 4 integrais de linha! (1 para a massa total e mais 3, uma para cada coordenada.)

Vamos ver um exemplo:

Exemplo

Calcule o centro de massa do fio γ t = t , t , 0 ≤ t ≤ 1 , com densidade linear δ x , y = x y .

Passo 1: Montar o problema

Aqui vamos lembrar que o que queremos calcular é x - e y - , dados por:

x - = ∫ C x   δ x , y d s M

y - = ∫ C y   δ x , y d s M

E que a massa pode ser calculada pela integral de linha:

M = ∫ C δ x , y d s

Onde δ ( x , y ) = x y .

Passo 2: Encontrar σ → ' t

Para isso, vamos fazer:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 = 1 + 1 = 2

Passo 3: Calcular a massa

Vamos escrever nossa densidade em termos de t

x y → t 2

Jogando naquela integral que tínhamos lá em cima:

M = ∫ 0 1 t ∙ t ∙ 2 d t = 2 t 3 3 0 1 = 2 3

Passo 4: Calcular x -

O que tínhamos era:

x - = ∫ C x   δ x , y d s M

Mas já temos a massa, então vamos calcular a integral do numerador:

∫ C x   δ x , y d s = ∫ 0 1 t ∙ t 2 ∙ σ → ' t d t = 2 ∙ t 4 4 0 1 = 2 4

Então, o que vamos ter é:

x - = ∫ C x   δ x , y d s M = 2 4 ∙ 3 2 = 3 4

Passo 5: Calcular y -

Queremos calcular:

y - = ∫ C y   δ x , y d s M

Mas, por acaso, as contas vão ser bem parecidas, porque:

∫ C y   δ x , y d s = ∫ 0 1 t ∙ t 2 ∙ σ → ' t d t = 2 ∙ t 4 4 0 1 = 2 4

E, então:

y - = ∫ C y   δ x , y d s M = 2 4 ∙ 3 2 = 3 4

Ou seja, resumindo o passo-a-passo, vamos ter:

Passo 1: Montar o problema

Passo 2: Encontrar σ → ' t

Passo 3: Calcular a massa

Passo 4: Calcular x -

Passo 5: Calcular y -

Momento de Inércia

O conceito de momento de inércia de um corpo está ligado ao movimento de rotação. Ele representa a dificuldade de um corpo girar em relação a uma reta.

Por isso, não falamos em momento de inércia sem dar um complemento. É sempre “o momento de inércia em relação a uma reta L ( L é um exemplo genérico, mas pode ser em relação ao eixo x , y etc.).

A distribuição, então, está relacionada ao quadrado da distância r de cada ponto, de elemento infinitesimal de massa d m , a essa reta L . Se somarmos cada um desses valores ao longo de uma curva ficamos com a fórmula geral:

I L = ∫ C r 2 d m

Lembrando que, utilizando essa definição com integral de linha, estamos nos limitando ao cálculo de figuras que podem ser modeladas por curvas, como arames, fios e hastes finas, e que para esse tipo de corpo, podemos escrever d m = δ x , y , z d s .

Com isso, só precisamos definir a reta L e ver como que fica a distância r , então vamos analizar os casos principais.

Para cada reta que os exercícios pedirem, voce terá uma reta L diferente e, consequentemente, uma distância r diferente. Mas, por sorte, os eixos de rotação mais pedidos são os eixos coordenados x , y e z , que são “fixos”. Os eixos não mudam de um problema para outro, né?

Mas como que fica r , então?

Bem, vamos pegar o exemplo do momento de inércia em relação ao eixo z .

Se pegarmos o plano x y , ou qualquer plano com z constante, temos que o eixo z passa pela origem 0,0 , então a distância até a origem pode ser dada, pelo teorema Pitágoras, por x 2 + y 2 , concorda?

Jogando na fórmula que definimos lá em cima:

I z = ∫ C r 2 d m = ∫ C x 2 + y 2 δ x ,   y ,   z d s

Posso te convencer que o mesmo raciocínio pode ser aplicado para os eixos x e y , então? Acho que sim, né? Haha

Então, temos também:

I x = ∫ C r 2 d m = ∫ C y 2 + z 2 δ x ,   y ,   z d s

E

I y = ∫ C r 2 d m = ∫ C x 2 + z 2 δ x ,   y ,   z d s

Muita integral, não é? Então é bom que estejamos craques nessas integrais, vamos lá fazer uns exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo Volume II,11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp. 549-46.

Encontre a massa e o centro de massa de um fio com densidade constante δ que está ao longo da hélice r t = 2 sen ⁡ t i + ( 2 cos ⁡ t ) j + 3 t k , 0 ≤ t ≤ 2 π .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como ele quer o centro de massa, devemos fazer

M = ∫ c δ x , y , z d s

x - = ∫ C x δ x , y , z d s M

y - =   ∫ C y δ x , y , z d s M

z - = ∫ C z δ x , y , z d s M

Onde δ x , y , z = δ

Passo 2

Agora precisamos achar σ → ' t . As derivadas são

d x d t = 2 cos ⁡ t ,   d y d t = - 2 sen ⁡ t ,   d z d t = 3

Então pela fórmula:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 = 2 cos ⁡ t 2 + - 2 sen ⁡ t 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13

Um valor meio feio, mas constante, então tá bom, né? haha

Passo 3

A massa, então, vai ser dada por:

M = ∫ 0 2 π δ   .   13   d t =   13 δ   t 0 2 π = 13 δ 2 π - 0 = 2 π 13 δ

Podia ser pior, eu acho...

Mas, não acaba aqui, pois ele pede a centro de massa também, então vamos pro próximo passo.

Passo 4

Vamos começar com a coordenada em x :

∫ C x δ x , y , z d s =   ∫ 0 2 π x t δ x , y , z σ → ' t d t

A gente já viu como fica parametrização do x , que é 2 sen ⁡ t