Curvas Compostas

Teoria Completa

Curvas Compostas

Existem alguns problemas que a nossa região vai ter “furos”, por exemplo

∫ C 1 ( e x 2 + y ) d x + cos 3 ⁡ y + x 2 2 d y - ∫ C 2 ( e x 2 + y ) d x + cos 3 ⁡ y + x 2 2 d y

Sendo:

C 1 : σ → = 2 cos ⁡ t ,   2 sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

C 2 : σ → = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Obs: Note que o campo nas duas integrais é o mesmo! O esboço dessas curvas é esse aqui

Como podemos usar o teorema de Green?

O bom do teorema de Green é que, mesmo nesse caso em que temos uma curva composta, o teorema é válido! Vamos ter que tomar cuidado somente com a orientação das curvas.

Todas as curvas, olhando uma por uma, têm que estar orientadas positivamente. Ou seja, a região tem que ficar à esquerda quando percorremos a curva. Dá uma olhada nessa figura aqui comigo:

A primeira figura não está orientada positivamente. Note que, se andarmos sobre a curva de fora, a região fica à direita! Já na segunda figura, quando percorremos em ambas as curvas, a região de interesse fica à esquerda. Percebeu a diferença?

Depois de garantir tudo isso e considerando ∂ D = C 1 ∪ C 2 , o teorema fica assim

∮ ∂ D F → . d r → = ∫ C 1 F → d r → + ∫ C 2 F → d r → = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

De volta ao problema

Perceba então que já temos um problema: nossa curva composta não está orientada positivamente! A curva C 2 precisa ser invertida, fazemos isso desse jeito aqui

- ∫ C 2 F . d r = + ∫ C 2 - F → . d r

Graficamente, agora ficou certinho, vê só

Agora sim! Com uma curva composta orientada positivamente podemos usar o teorema de Green, fica assim

∫ C 1 F → . d r → + ∫ C 2 - F → . d r → = ∮ ∂ D F → . d r → = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Sendo D a região entre as duas curvas. Beleza, agora é só calcular a integral dupla!

Vamos começar calculando ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

F → = e x 2 + y , cos 3 ⁡ y + x 2 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = ∂ cos 3 ⁡ y + x 2 2 ∂ x - ∂ e x 2 + y ∂ y = x - 1

O que é consideravelmente simples, então não devemos ter problemas para calcular a integral.

Vamos jogar o valor na fórmula:

∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∬ D x - 1   d x d y

Para esse caso, o domínio D é bom para ser escrito em coordenadas polares, então:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ 2 π

1 ≤ r ≤ 2

J = r

Substituindo isso na integral dupla

∬ D x - 1   d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r cos ⁡ θ - 1 r   d r d θ

= ∫ 0 2 π r 3 3 cos ⁡ θ - r 2 2 1 2 d θ = ∫ 0 2 π 8 3 - 1 3 cos ⁡ θ - 4 2 - 1 2 d θ

= ∫ 0 2 π 7 3 cos ⁡ θ - 3 2 d θ = 7 3 sen ⁡ θ - 3 2 θ 0 2 π = - 3 2 2 π = - 3 π

Resumindo o passo-a-passo, então:

Passo 1: Montar o problema

Passo 2: Calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Passo 3: Calcular a integral dupla

Agora, vamos aos exercícios praticar isso aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ - Análise Vetorial - Lista 3 Flávio - 4f

Calcule ∫ C   F . d r , utilizando o Teorema de Green, onde F x , y = ( x + y , y + x 2 ) e C é a fronteira da região limitada por x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 , orientada positivamente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro, vamos fazer um esboço da curva. Como o enunciado fala, temos duas cincunferências, uma de raio 1 e outra de raio 2 .

A região limitada pelas curvas é essa coroa, entre o círculo vermelho e o azul.

Cuidado com a orientação da curva, lembre-se do seguinte: para a curva estar orientada positivamente, andando sobre ela, temos que ver a região que ela limita à nossa esquerda. Para a curva de fora, isso significa sentido anti-horário, para a de dentro, sentido horário. Essa é uma condição fundamental para aplicarmos o Teorema de Green!

Passo 2

Beleza, agora precisamos calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x y + x 2 = 2 x

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y x + y = 1

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 x - 1

Passo 3

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

∫ C   F . d r = ∬ D   2 x - 1 d x d y

Onde D é a região que vimos no passo 1 .

Passo 4

Como a região D está compreendida entre duas circunferências, a melhor saída aqui são as coordenadas polares. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Pelo próprio gráfico, vemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π , o que equivale a uma volta na circunferência. Os valores de r variam entre as duas curvas, logo 1 ≤ r ≤ 2 . Temos, então:

∫ C   F . d r = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ( 2 r cos ⁡ θ - 1 ) r   d r d θ =

Não se esqueça desse r da mudança para coordenadas polares!

Passo 5

Agora vamos resolver isso aí, integrando em relação a r temos:

= ∫ 0 2 π 2 r 3 3 cos ⁡ θ - r 2 2 1 2 d θ =

= ∫ 0 2 π 2 . 2 3 3 cos ⁡ θ - 2 2 2 - 2 . 1 3 3 cos ⁡ θ - 1 2 2 d θ =

= ∫ 0 2 π 16 3 cos ⁡ θ - 2 - 2 3 cos ⁡ θ + 1 2 d θ =

= ∫ 0 2 π 14 3 cos ⁡ θ - 3 2 d θ =

Agora em relação a θ :

= 14 3 sen ⁡ θ - 3 2 θ 0 2 π =

= - 3 π

Resposta

- 3 π

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Calcule ∫ C F → d r → para o campo F → = 2 x + 3 x 2 y 2 , 2 x + y + 2 x 3 y onde C é a curva orientada no sentido positivo e composta por

y = 4 - x 2 ,   - 2 ≤ x ≤ 2

y = 0 ,   - 2 ≤ x ≤ 2

x 2 + y - 2 2 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá, galera, essa curva é composta por vários pedaços, vamos juntar tudo em um esboço pra ver como fica

Aparentemente aqui podemos usar o teorema de Green, né? O teorema é esse aqui, onde C é a fronteira da região D .

∫ C F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

No nosso caso, a região D é aquela sombreada ali no esboço. Precisamos primeiro encontrar esse termo ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y