Curvas Abertas

Teoria Completa

Teorema de Green para Curvas Abertas

Como você faria essa integral aqui? Onde C é a metade superior da circunferência de raio 1 e centro na origem que liga 1,0 até - 1,0

∫ C   - y + e x d x + e y 2 ln ⁡ 1 + y 2 d y

Não se esquenta, ela é praticamente impossível de se fazer com a definição normal de integral de linha. Mas dá uma olha no termo ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y desse campo aí

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = ∂ e y 2 ln ⁡ 1 + y 2 ∂ x - ∂ - y + e x ∂ y = 1

Parece super tranquilo de usar o teorema de Green aqui, não é? O empecilho é que a curva está aberta, como resolvemos isso então?

O macete aqui é fechar a curva com outra curva C 1 simples de integrar (de preferência uma reta que seja constante em x ou y ). Olha só como fica esse aqui se fecharmos com a reta que liga as extremidades da curva C

“Mas pode fazer isso? Não vai mudar o resultado da integral, não? ”

Pra usar esse macete, a gente vai ter que “corrigir” o valor da integral, o teorema de Green diz isso aqui

∮ ∂ D   F → d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Para curvas abertas, vamos considerar ∂ D = C ∪ C 1 , dessa forma

∫ C   F → d r + ∫ C 1   F → d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Ou seja, conseguimos calcular uma integral de linha complexa, ou quase impossível, com uma integral de linha e uma integral dupla simples.

Só um detalhe importante: lembre-se que, ao acrescentar uma nova curva, temos que garantir que que a curva fechada terá a orientação positiva para aplicarmos o teorema.

De Volta ao Problema

Voltando pra nossa integral de linha bizarra, olha só como fica no final das contas. A curva C 1 que usamos para fechar C é essa reta aqui

C 1 = t , 0 ,   - 1 ≤ t ≤ 1

Portanto o teorema de Green fica assim

∫ C F → ∙ d r + ∫ C 1 F → ∙ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

∫ C F → ∙ d r + ∫ C 1 F → ∙ d r = ∬ D 1 d x d y = Á r e a   d e   D

∫ C F → ∙ d r = Á r e a   d e   D - ∫ C 1 F → ∙ d r

A integral de linha fica assim

C 1 = t , 0 ,   - 1 ≤ t ≤ 1

d x = 1

d y = 0

∫ C 1 - y + e x d x + e y 2 ln ⁡ 1 + y 2 d y = ∫ - 1 1 e t d t

= e - e - 1

A área da nossa região D é metade da área do círculo de raio 1 , portanto

Á r e a   d e   D = π r 2 2 = π 2

Juntando tudo isso

∫ C F → ∙ d r = Á r e a   d e   D - ∫ C 1 F → ∙ d r

∫ C F → . d r → = π 2 - e - e - 1

Pra resumir o passo-a-passo:

Passo 1: Montar o problema

Passo 2: Fechar a curva

Passo 3: Calcular a integral dupla

Passo 4: Calcular a integral de linha da curva C 1

Passo 5: Juntar tudo no teorema de Green

Vamos partir pros exercícios, temos várias formas de aparecer essas questões pra você, vamos lá?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ - Cálculo 3 - P1 2013.2 – 4

Calcular a integral de linha da função vetorial

F x , y = x + 2 y , sec ⁡ y 2 e tg ⁡ y 2 + 4 x

Ao longo da curva que liga o ponto ( 2,0 ) ao ponto ( 0,0 ) e é definida pela equação y = 1 - x - 1 2 .

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Passo 1

Essa integral de linha parece complicada de se calcular diretamente pela definição, não é? O campo vetorial envolve secantes, tangentes, termos não muito agradáveis de se trabalhar! Vamos tentar, então, aplicar o Teorema de Green e ver se encontramos algo mais simples.

A curva C em que devemos integrar é uma semicircunferência, pois, elevando a equação ao quadrado, temos

y 2 = 1 - x - 1 2   → x - 1 2 + y 2 = 1

Passo 2

Como y deve ser maior que zero, queremos a parte de cima da circunferência de raio 1 centrada em ( 1,0 ) . Mas essa curva não é fechada, certo? Então vamos fechá-la na maneira mais simples: com um segmento de reta σ que liga seus pontos final e inicial.

A curva final será, portanto:

Veja que ela está orientada positivamente, não se esqueça disso!

Aplicando, então, o Teorema de Green, teremos, então:

∫ C   F ⋅ d r + ∫ σ   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

∫ C   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y - ∫ σ   F ⋅ d r

Passo 3

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x sec ⁡ y 2 e tg ⁡ y 2 + 4 x = 4

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y x + 2 y = 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2

Passo 4

Aplicando o teorema de Green, temos:

∫ C   F ⋅ d r + ∫ σ   F ⋅ d r = ∬ D   2   d x d y = 2 ⋅ área D

Como se trata de uma semicircunferência de raio 1 , temos:

∫ C   F ⋅ d r + ∫ σ   F ⋅ d r = 2 ⋅ π ⋅ 1 2 2 = π

Passo 5

Falta, agora, calcular a integral sobre o segmento σ , para isso, vamos parametrizá-lo. Como temos o ponto inicial ( 0,0 ) e o final ( 2,0 ) ligados pela reta y = 0 , uma boa parametrização seria σ → = ( x , 0 ) , onde temos 0 ≤ x ≤ 2 ( y é constante e x varia).

Derivando essa expressão, temos σ ' → = ( 1,0 )

Passo 6

Montando a integral de linha sobre σ teremos:

∫ σ   F ⋅ d r = ∫ 0 2 x + 0 , sec ⁡ 0 2 e tg ⁡ 0 2 + 4 x ⋅ ( 1,0 ) d x

Veja que escrevemos o campo F em função da parametrização de σ .

∫ σ   F ⋅ d r = ∫ 0 2 x   d x = x 2 2 0 2 = 2

Passo 7

Fazendo a diferença entre esses dois resultados, finalmente calculamos a integral sobre C :

∫ C   F ⋅ d r = π - 2

Resposta

π - 2

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, pp. 229 ex. 6.8

Calcule ∫ C   e x sen ⁡ y   d x + e x cos ⁡ y + x d y , onde C é o arco da circunferência x 2 + y 2 = 1 , no primeiro quadrante, orientado no sentido anti-horário.

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Passo 1

Vamos fazer um esboço da curva:

A parametrização desse arco envolveria senos e cossenos, que, quando substituídos na expressão do campo vetorial, tornariam a integral muito complicada. Vamos, então, aplicar o Teorema de Green aqui.

Passo 2

Perceba que a curva C em que vamos integrar não é fechada, ela é composta apenas pelo arco de circunferência. O que faremos então? Vamos fechá-la, formando uma curva S = C ∪ C 1 ∪ C 2 , onde C 1 é o segmento de reta horizontal e C 2 o vertical. Vamos orientar essa curva S de positivamente.

Teremos, então:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∫ S   F ⋅ d r = ∫ C   F ⋅ d r + ∫ c 1   F ⋅ d r + ∫ C 2   F ⋅ d r

Agora, vamos isolar o termo que queremos, ∫ C   F . d r :

∫ C   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y - ∫ c 1   F ⋅ d r - ∫ C 2   F ⋅ d r

Como os segmentos C 1 e C 2 são simples de parametrizar, vamos calculá-los pela definição mesmo.

Passo 3

O campo vetorial da questão pode ser escrito como F = e x sen ⁡ y   , e x cos ⁡ y + x

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y