Teoria Completa
Dá uma olhada nesse campo aqui
e a curva que delimita a região .
A curva que temos é uma circunferência de raio centrada na origem, o problema é que não podemos usar o teorema de Green por que ele tem uma restrição que quase ninguém lembra: o campo tem que ser definido em toda região de integração.
Campos Singulares
“Ah, a gente nunca parou pra ver isso, o que seria um campo que não está definido? ”
Bem, normalmente, o campo está sempre definido, por isso não ligávamos muito. Só temos pontos de indeterminação (ou singularidade) quando temos aqueles bugs da matemática, tipo divisão por , raiz quadrada de número negativo, essas coisas que costumam dar problema.
Voltando para o nosso campo ali de cima
Perceba que a origem é o ponto em que o campo possui uma singularidade! Pra usar o teorema de Green aqui, a gente vai ter que dar uma roubada, olha só o que podemos fazer
O círculo menor possui um raio igual a 1, para facilitar as contas. A nossa curva, nesse caso, pode ser separada em duas, sendo a de fora e a de dentro.
Lembre-se que a orientação dela é muito relevante. Precisamos da orientação positiva, se você não lembra disso, dá uma olhada no tipo de curvas compostas, beleza?
Com isso, teremos que e:
E agora sim, , a fronteira para uma região onde é válido aplicar o teorema.
Portanto, teremos:
Onde a integral de linha de é a que nos queremos, então:
E assim fazemos para quantos pontos de indeterminação forem necessários. O princípio básico é conseguir fugir de todos esses pontos (as vezes tem mais de um) e, assim, vamos isolando um por um com curvas.
Passo-a-passo
Passo 1: Montar o problema
Passo 2: Isolar a singularidade
Passo 3: Calcular a integral dupla
Passo 4: Calcular a integral de linha sobre a curva interna
Passo 5: Somar tudo
Eu sei que é muita coisa, mas calma, é só ter esse passo a passo na cabeça que as questões não fogem muito disso. Vamos lá ver os exercícios, então?
Exercício Resolvido #1
Sejam e funções reais de classe e ( e como na figura), tais que em . Sendo , , as curvas dadas na figura, calcule , supondo que:
Passo 1
O exercício nos pede pra calcular o integral de linha vetorial escrita na forma:
Mas não temos muita informação sobre o campo , apenas sobre as derivadas de suas componentes, .
Por sorte isso, isso já é o suficiente pra calcularmos o teorema de Green:
Até ai tudo bem, né? O problema é que a nossa curva não satisfaz as condições do teorema, porque não é simples e o campo não é definido em toda a região limitada pela curva por causa dos pontos e .
Mas calma que tem solução pra isso, vamos ver como fica!
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a curva em dois pedaços, para garantir que, assim, teremos duas curvs simples. Dessa forma, vamos chamar de e (podemos ver que esse pedaço está no sentido horário e, portanto, botamos esse sinalzinho para identificar a orientação negativa) os pedaços:
Agora sim temos duas curvas fechadas e simples, de forma que:
Agora só temos que resolver as singularidades.
Passo 3
Lembra que podemos criar curvas com “buracos” pra usarmos no teorema de Green?
Se fizermos então:
(Lembrando que as curvas internas devem ter orientação positiva, no sentido horário. E as curvas externas, orientação positiva, no sentido anti-horário.)
Com isso, temos que as regiões limitadas por e são válidas, então e , e podemos aplicar o teorema de Green:
E
Então vamos resolver uma por uma pra ver como que fica!
Passo 4
Na primeira, vamos ter:
Que é dado na questão, então:
Passo 5
Para a segunda, vamos ter:
Que também foi dado:
Passo 6
Por fim, vamos só jogar esses valores na integral que tinhamos lá em cima, vamos lembrar:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva de equação orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos fazer um esboço da curva:
Essa integral de linha parece um pouco complicada de se calcular diretamente pela definição. Vamos, então, usar o Teorema de Green.
Mas aqui temos um problema: o campo não está definido em toda a região dentro da elipse, pois temos uma descontinuidade na origem, se substituirmos na função teremos zero no denominador. O que faremos então? É simples, basta tirarmos a origem da jogada. Se fizermos uma circunferência que “envolva” a origem e chamarmos de a região entre a circunferência e a elipse, o problema está resolvido. Faremos um circunferência de raio para facilitar nossos cálculos. Vamos fazer o novo gráfico para ver como fica essa parada
Temos então:
Passo 2
Vamos agora calcular :
Passo 3
Aplicando o teorema de Green, temos:
A área de é a área da elipse, dada por (onde e são seus semieixos) menos a do círculo. Então:
Guarde esse resultado. Agora vamos calcular a integral ao longo da circunferência.
Passo 4
Parametrizando a circunferência, temos: com variando de a (pois a circunferência está orientada no sentido horário, contrário ao trigonométrico).
Temos
Você poderia utilizar o intervalo de a desde que considerasse que essa integral teria sinal oposto, pois:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula que vimos capítulo passado:
Temos:
Passo 6
Agora vamos calcular o valor dessa integral. Para isso usaremos a equação do arco duplo:
Passo 7
O que queremos calcular é a integral de linha ao longo de , certo? Substituindo os valores que encontramos em:
Temos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule
Onde é a curva , , orientada de à
Passo 1
Vamos fazer um esboço da curva:
Essa integral de linha parece um pouco complicada de se calcular diretamente pela definição. Vamos, então, usar o Teorema de Green.
Repara que a curva não é fechada, para aplicarmos o teorema de Green devemos fechar essa curva.
Mas aqui temos um problema: o campo não está definido em toda a região dentro da elipse, pois temos uma descontinuidade na origem, se substituirmos na função teremos zero no denominador. O que faremos então? É simples, basta tirarmos a origem da jogada. Como temos que completar essa curva vamos pegar essa curva completando sem a origem.
Vamos fazer onde é uma circunferência de raio e centro na origem. A equação de vai ser
Pegamos uma circunferência de raio porque o gráfico vai ficar assim
Veja que não é positivamente orientada, pois deixa a região a direita. Devemos usar então:
Passo 2
Vamos agora calcular :
Passo 3
Logo, temos que resolver o seguinte:
Temos que fazer a integral de linha e a integral dupla, vamos começar pela integral de linha.
Passo 4
Parametrizando a semicircunferência, temos:
Com variando de a
Substituindo esses valores na fórmula que vimos capítulo passado:
Temos:
Vamos separar essa integral em duas
Passo 5
Começando com
Lembrando que
Vamos ter,
Passo 6
Vamos para a outra integral agora
Vamos fazer a integral indetermina, ignorando por enquanto os limites e o
Vamos fazer
Então
E a integral vai ficar
Resolvendo a integral vamos ter
Voltando para
Vamos voltar para a integral com os limites e o
Passo 7
Então, nossa integral de linha resulta em:
Passo 8
Vamos agora para a integral dupla,
Onde é a parte de dentro da circunferência e de fora da elipse
Antes de tudo vemos que essa integral vai ser
Passo 9
Vamos voltar para o gráfico que vimos antes.