Singularidade

Teoria Completa

Revisão - Teorema de Stokes

Seja S uma superfície orientada, se F → = F 1 ,   F 2 ,   F 3 podemos escrever o teorema de Stokes desse jeito aqui:

∬ S   r o t F → . n → d S = ∮ ∂ S   F → . d r

Mas isso só pode ser feito atendendo 3 condições:

  1. Curva fechada
  2. Orientada positivamente
  3. Sem singularidade

E se eu te der um campo desse jeitão aqui:

F → ( x , y , z ) = ( y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , z )

Dá pra ver que no no eixo z (onde x e y são iguais a zero) nós temos uma singularidade, ou seja pontos onde o campo não é definido. Então o que que a gente faz nesses casos? A gente procura um jeito de isolar a singularidade! Vem comigo que eu te mostro como podemos fazer isso!

Singularidades

Neste tipo, vamos aprender como resolver problemas com singularidade no campo. Mas primeiro vamos entender o que é uma singularidade!

Um campo com singularidades é um campo no qual pelo menos um ponto do domínio não está definido. O tipo mais comum de singularidade que conhecemos é a divisão por zero. Então, seja um campo

F x ,   y ,   z = 1 x ,   3 x y ,   7

Concorda comigo que este campo não está definido no plano x = 0 ? Porque neste plano a primeira componente do campo, 1 x , não está definida!

Assim, não podemos aplicar o teorema de Stokes em superfícies cujo x = 0 esteja no domínio!

Outro caso de singularidade comum é a raiz de números negativos. Como trabalhamos com o conjunto dos números reais, não existe raíz de número negativo, então devemos também ficar atento a este caso!

Nesta ideia de singularidade devemos sempre desconfiar quando encontrar frações, raízes de expoente par e logaritmos!

Observação: Falamos em pontos singulares, mas alguns casos encontramos não somente um ponto, e sim eixos singulares! Veja, se tivermos o seguinte campo:

F x ,   y ,   z = 1 x 2 + y 2 ,   3 x y ,   7

Temos que qualquer ponto do eixo coordenado z   resulta no valor nulo do denominador, então existe uma singularidade de eixo! Logo, não podemos usar nenhuma superfície que passe por este eixo.

Isolando a Singularidade

Já sabemos o que são as singularidades, agora iremos ver a ideia usada para que estas singularidades deixem de ser um problema!

No geral, para isolar uma singularidade, devemos pegar superfícies que não incluam estes pontos. Pois o Teorema de Stokes pode ser aplicado para qualquer superfície que tenha aquela borda!

Se ao definir esta nova superfície surgir uma nova borda, devemos ficar atentos para somar esta borda no teorema de Stokes.

Também devemos escolher uma borda nova que seja fácil de calcular a sua integral de linha!

∬ S '   r o t F → . n → d S = ∮ ∂ S 1   F → . d r + ∮ ∂ S 2   F → . d r

Onde, S ' é a nova superfície, ∂ S 1 é a borda original e ∂ S 2 é a nova borda de superfície S ' .

Vamos ver um exemplo para deixar mais claro o nosso problema e como resolver!

Exemplo: Calcule o trabalho realizado pelo campo F → ao longo de γ , onde

F → ( x , y , z ) = ( y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , z )

E γ é a curva dada pela interseção de x 2 + y 2 = 1 com z = y + 3 , orientada de forma que a projeção no plano x y é percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1:

Antes de tudo vamos fazer um gráfico da região para entender melhor a questão. Temos um cilindro elíptico cortado por um plano:

A questão pede para calcularmos a integral de linha em γ , que é a interseção do plano inclinado com o cilindro. Como podemos ver, γ forma uma elipse. Percebeu?

Passo 2:

Ok, agora vamos analisar o problema. Reparou que a expressão do campo não é nem um pouco amigável, né? Imagina ainda substituir uma parametrização nisso aí, sem condições. Então vamos simplificar as coisas.

O Teorema de Stokes nos diz isso aqui:

∮ ∂ S   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

Ou seja, podemos substituir essa integral de linha sobre a curva por uma integral do rotacional de F sobre uma superfície S que tenha a curva como fronteira. Ah, vamos usar o próprio retalho do plano em forma da elipse, né?

Agora vem o momento em que temos que tomar muito cuidado, olha a expressão do campo de novo:

F → ( x , y , z ) = ( y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , z )

Repare que x e y não podem ser iguais a zero, pois temos uma indeterminação, portanto, o campo não está definido no eixo z .

Então, não podemos usar o plano como superfície. Na verdade, não podemos usar nenhuma superfície que tenha apenas γ   como fronteira por causa disso!

Ferrou, né. Não, vamos usar uma superfície que tenha γ como uma parte de sua fronteira. Em vez de usar o plano, vamos usar esse pedaço do cilindro (parte lateral do cilindro), que também tem γ como fronteira.

Então, S é o pedaço do cilindro cortado pelo plano e ∂ S é a própria curva γ mais a borda debaixo do cilindro C (uma circunferência).Temos então:

∮ ∂ S   F → . d r = ∫ γ   F → . d r + ∫ C   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

Escolhemos fazer com a curva C porque é uma circunferência no plano x y , facilitanto o cálculo da integral de linha de C , como veremos a seguir! Além disso, não podemos pegar nenhuma superfície que passe pela origem, sendo mais fácil usar duas curvas do clindro.

Agora vamos pensar nas orientações. Se γ está no sentido anti-horário, pela Regra da Mão direita, S deve ter vetor normal apontando para dentro. Consequentemente, C , que tá em baixo, gira no sentido horário, para que o vetor normal continue apontando pra fora.

Passo 3:

Precisamos, então, calcular r o t F → , sabendo que

F → ( x , y , z ) = ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 , z )

Temos:

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = 0 - 0,0 - 0 , - 2 x y x 2 + y 2 2 - - ( - 2 x y x 2 + y 2 2 ) = 0,0 , 0

Passo 4:

Agora precisamos parametrizar S para encontrar seu vetor normal. Mas vamos pensar um pouco aqui, com malandragem.

Se a superfície é um cilindro com simetria em z , seu vetor normal tem essa componente nula. Seria algo assim:

n → = ( ? , ? , 0 )

Agora, fazendo o produto escalar disso com r o t F → olha o que encontramos:

∬ S   r o t F → . n → d s = ∬ S   0,0 , 0 ( ? , ? , 0 ) d s = 0

Nem precisamos parametrizar nada aqui então, pois o resultado dessa integral é zero, viu?

Passo 5:

Agora, para terminar a questão, precisamos calcular a integral de linha na outra borda da superfície, C .

Como a circunferência C está no plano x y , sua equação é a mesma do cilindro:

x 2 + y 2 = 1

Parametrizando isso aí, temos:

C → θ = cos ⁡ θ ,   s e n   θ , 0

Como temos uma volta completa no sentido horário, θ vai de 0 a 2 π .

Essa última componente z = 0 é porque a curva está no plano x y .

Certo, agora vamos derivar isso aí:

C → ' θ = - s e n   θ , cos ⁡ θ , 0

Agora vamos escrever o campo nas variáveis da parametrização e usar a fórmula:

∫ C   F → . d r → = ∫ C   F → x θ ,   y θ ,   z ( θ ) . C ' → d θ

F → ( x , y , z ) = ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 , z )

F → θ = cos ⁡ θ cos 2 ⁡ ( θ ) + s e n 2 ( θ ) , s e n ( θ ) cos 2 ⁡ ( θ ) + s e n 2 ( θ ) , 0

F → θ = cos ⁡ θ , s e n ( θ ) , 0

Levando para a integral e usando a relação fundamental da trigonometria s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , temos:

∫ C   F → . d r → = ∫ 0 2 π cos ⁡ θ , s e n θ , 0 . - s e n   θ , cos ⁡ θ , 0 d θ

= ∫ 0 2 π ( - cos ⁡ θ s e n θ + c o s ⁡ ( θ ) s e n ( θ ) ) d θ = ∫ 0 2 π 0 d θ = 0

Passo 6:

Temos então

∫ γ   F → . d r + ∫ C   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

∫ γ   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s - ∫ C   F → . d r = 0 - 0 = 0

Resposta:

0

Expandir

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 295 – 19.

Seja

F x ,   y ,   z = - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2 ,   z

Mostre que ∮ C F .   d r = 2 π , onde C é a curva x 2 + y 2 = 4 ,   z = 0 , orientada no sentido anti-horário.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos procurar alguma singularidade, olha a fração! Já vamos desconfiar que pode existir alguma coisa aí!

O demoninador da fração é x 2 + y 2 , então vamos igualar ele a zero:

x 2 + y 2 = 0

Para isso devemos ter

x = y = 0

Então existe uma singularidade de eixo, eixo z . Não podemos usar nenhuma superfície que tenha intercessão com o eixo z .

Passo 2

A superfície mais fácil de calcular a integral de linha seria o círculo limitado por x 2 + y 2 = 4 , mas esta superfície passa pelo ponto ( 0 ,   0 ) , que é um ponto de singularidade.

Então vamos pegar uma coroa circular limitada pelas curvas x 2 + y 2 = 4