Teoria Completa
Introdução
O Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, relaciona uma integral tripla sobre um volume com uma integral de superfície sobre a sua fronteira, que chamamos de . Você vai perceber que esse teorema possui certa semelhança com os teoremas de Stokes e Green.
Para aprender a aplicar o Teorema de Gauss, você precisa ter dois conceitos em mente. Primeiro, temos que saber como orientar essa superfície que limita o sólido . Você já viu que uma superfície é orientada por um campo vetorial de vetores normais a ela, mas há dois possíveis, qual escolhemos? Para uma superfície que limita um sólido estar orientada positivamente, seu vetor normal deve sempre apontar para fora do sólido. Veja a figura abaixo:
A região está compreendida entre duas esferas de raios diferentes. Como você pode ver, sempre aponta para fora de .
Agora precisamos introduzir outro conceito: o divergente de um campo vetorial. Para isso, considere um campo que tenha derivadas parciais definidas no . Sendo assim, seu divergente é dado por:
Podemos obter essa expressão fazendo o produto escalar:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Observação: Não confunda divergente com rotacional! O divergente é obtido por um produto escalar com o operador , o que resulta em um número, enquanto o rotacional é obtido por um produto vetorial, o que resulta em um vetor.
O Teorema de Gauss
Sendo uma superfície orientada positivamente, fronteira de uma região sólida e um campo vetorial que tenha derivadas parciais contínuas em , pelo Teorema de Gauss pode-se afirmar que:
Em outras palavras, esse teorema afirma que, nessas condições acima, o fluxo de pela superfície é igual à integral tripla do divergente desse campo em . Quando você cair, então, nessa integral tripla, precisará usar aqueles recursos que você já aprendeu para resolvê-la: mudanças esféricas, cilíndricas etc, então é uma boa dar uma revisada nisso!
Tudo bem, agora que já vimos o Teorema de Gauss, vamos entender um pouco mais da utilidade dele! Da mesma forma que usamos o Teorema de Stokes como uma forma de calcular integrais de linha mais complicadas, quanto temos que calcular uma integral de superfície complicada, o Teorema de Gauss pode ser uma forma mais simples de calculá-la!
Exemplo: Calcule o fluxo , onde e é a superfície do sólido limitado pelo cilindro e os planos e , com a normal apontando para fora da superfície.
Passo 1: Vamos fazer um gráfico dessa região
Como a região limitada por é fechada e está orientada positivamente, podemos aplicar o Teorema de Gauss, temos:
Passo 2: Calcular
Passo 3: Montar a integral
Onde .
Passo 4: Vamos fazer, agora, a substituição cilíndrica.
A região passa a ser descrita como , , e a integral passa a ser:
Passo 5: Resolver a integral
Exercício Resolvido #1
Determine o fluxo do campo vetorial:
Através da superfície do solido limitado pelas esferas de equações:
Orientadas com sentidos opostos e exteriores ao sólido .
Passo 1
Podemos ver que se trata de uma questão de Teorema de Gauss pois o campo em questão é muito complexo para se fazer a conta. Portanto, aplicando o Teorema:
Calculando o divergente:
Substituindo na fórmula, dá pra ver que o ideal é trabalhar com coordenadas esféricas:
Passo 2
Mudando para coordenadas esféricas temos:
E pelo Jacobiano temos o elemento de volume:
Passo 3
Substituindo:
Arrumando e calculando:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Seja a união das superfícies e dadas pelas equações abaixo:
Calcule , onde é o campo de vetores definido por e é o campo de vetores normais unitários exterior à região limitada por .
Passo 1
Vamos tentar imaginar como é o gráfico dessa superfície.
é um cone que tem o seu vértice na origem e vai aumentando o raio conforme o valor de aumenta, até o ponto em que , fazendo com que o raio do cone também valha .
é um cilindro de raio que começa no final do cone e vai até o ponto em que .
é um paraboloide que “termina” em e começa em , partindo do final do cilindro .
Juntando tudo, temos o seguinte:
Como podemos ver, a superfície é toda fechada.
Para calcular sobre uma superfície fechada, podemos usar o Teorema de Gauss.
Passo 2
O Teorema de Gauss é dado por:
Onde:
Passo 3
O divergente será:
Passo 4
Podemos escrever a região como:
Pra simplificar o nosso cálculo, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Os limites para e são tranquilos, para descobrirmos os limites para , basta substituir na relação que eu escrevi em . Os limites são dados por:
Passo 5
Assim, a integral tripla será:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Considere o campo vetorial
Seja uma constante. Determine o fluxo de através da superfície definida como a fronteira da região
Passo 1
Como o problema pede para calcularmos o fluxo de através da superfície , na verdade, ele está pedindo para calcularmos:
E como se trata de uma superfície fechada, podemos usar o Teorema de Gauss, que diz que:
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais dos componentes de para o divergente.
Portanto,
Passo 3
A nossa região é dada por:
Isso significa que é a região no interior da esfera
E fora do cone
O resultado é algo do tipo:
Passo 4
Como o nosso sólido é a parte de uma esfera, podemos usar coordenadas esféricas:
Vamos usar o que o problema nos disse sobre a região para descobrir os limites de , e .
Passo 5
Substituindo as coordenadas esféricas: