1.

Calcule ∫ γ   F → . d r → sendo

F → x , y , z = y - 2 x 2 + ( y - 2 ) 2 + x z - 2 y , - x x 2 + y - 2 2 + y z + 2 x , cos ⁡ ( z 2 ) ln ⁡ ( 2 + z 6 )

E γ é curva dade pela intersecção de x 2 + y - 2 2 = 4 e z = 2 y + 1 orientada de modo que sua projeção em O x y é percorrida no sentido anti-horário.

Resolução
2.

Seja

F x ,   y ,   z = - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2 ,   z

Mostre que ∮ C F .   d r = 2 π , onde C é a curva x 2 + y 2 = 4 ,   z = 0 , orientada no sentido anti-horário.

Resolução
3.

Calcule ∫ γ   F → . d r → , onde:

F → x , y , z = - y 2 x 2 + y 2 + y z , x 2 x 2 + y 2 - x z ,   e z 2 + z 2

E γ é a intersecção de z = 5 - x 2 - 2 y 2 e z = 3 x 2 + 1 , orientada de modo que a sua projeção no plano x y seja percorrida no sentido anti-horário.

Resolução
4.

Calcule o trabalho realizado pelo campo F → ao longo de γ , onde

F → x , y , z = - y x 2 + y 2 + 1 x 2 + y 2 ,   x ( x 2 + y 2 + 1 ) x 2 + y 2 , z - 1 cos 7 ⁡ z

E γ é a curva dada pela interseção de 4 x 2 + y 2 = 4 com z = y + 3 , orientada de forma que a projeção no plano x y é percorrida no sentido anti-horário.

Resolução
5.

Calcule ∫ γ   F → . d r → , onde:

F → x , y , z = - y 2 x 2 + y 2 + y z , x 2 x 2 + y 2 - x z ,   e z 2 + z 2

E γ é a intersecção de z = 5 - x 2 - 2 y 2 e z = 3 x 2 + 1 , orientada de modo que a sua projeção no plano x y seja percorrida no sentido anti-horário.

Resolução
6.

Calcule a integral de linha de campo vetorial ∫ C   F → . d r → , onde C é a curva parametrizada por γ θ = cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   θ 2 ,   θ ∈ 0,2 π e

F → x , y , z = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , e z

Dica: Usar Teorema de Stokes.

Resolução
7.

Calcule a integral de linha de campo vetorial ∫ C   F → . d r → , onde C é a curva parametrizada por γ θ = cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   θ 2 ,   θ ∈ 0,2 π e

F → x , y , z = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , e z

Dica: Usar Teorema de Stokes.

Resolução
8.

Questão 4: Calcule

∫ γ   F → ⋅ d r →

Onde

F → x ,   y ,   z = - y - 1 x 2 + y - 1 2 + z , x x 2 + y - 1 2 , e z 3

E γ é a intersecção da superfície z = y - 1 2 e x 2 + y - 1 2 = 1 orientada de projeção no plano x y é percorrida no sentido horário.

Resolução
9.

(7) Seja F → = 1 x 2 + z 2 , cos ⁡ x , sin ⁡ y e γ a curva definida como a intersecção do cilindro x 2 + z 2 = 4 com o plano y = 4 . Para calcular ∫ γ   F → ⋅ d s → , usando o teorema de Stokes, podemos considerar a seguinte superfície:

  1. A parte lateral do cilindro x 2 + z 2 = 4 , onde 0 ≤ y ≤ 4
  2. O disco x 2 + z 2 ≤ 4 no plano y = 4
  3. A parte do paraboloide y = x 2 + z 2 , onde 0 ≤ y ≤ 4
  4. A parte da esfera y = 4 + 4 - x 2 - z 2 , onde x 2 + z 2 ≤ 4
  5. A parte da esfera y = 4 - 4 - x 2 - z 2 , onde x 2 + z 2 ≤ 4
Resolução
10.

Seja γ a curva de interseção do cone z + 3 2 = y - 1 2 + x 2 com o plano z = 4 , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima do eixo O z . Usando o teorema de Stokes, calcular ∫ γ   F →   d r → se

F → = 1 - y y - 1 2 + x 2 + y ,   x y - 1 2 + x 2 ,   x - 2 z sin ⁡ 1 + z 8 .

Resolução
11.

Questão 4:

Sejam

F → x ,   y ,   z = - y x 2 + 4 y 2 , x x 2 + 4 y 2 , 1 + z 3 ln ⁡ 1 + z 2 ,

e γ a intersecção do paraboloide z = x 2 + 4 y 2 - 1 com a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 , orientada de forma que sua projeção no plano x y seja percorrida uma vez no sentido horário. Calcule ∫ γ   F → ⋅ d r → .

Resolução
12.

Questão 4: Utilize o teorema de Stokes para calcular

∫ C   F ⋅ d r →

Onde

F x ,   y ,   z = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 ,   x

E C é a intersecção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com o plano z - y = 1 orientada de modo que a projeção no plano x y é percorrida no sentido anti-horário.

Resolução
13.

Questão 2) Considere o campo vetorial

F → x ,   y ,   z = x x 2 + y 2 - e x cos ⁡ y ,   y x 2 + y 2 + e x sin ⁡ y ,   z 2

Mostre que

∮ C   F → ⋅ d r = 0 ,

Com C uma curva fechada dada pela interseção do cilindro x 2 + y 2 = 4 com um gráfico z = f x ,   y de uma função f x ,   y positiva e diferenciável sobre o plano x y .

(Dica: Use Stokes duas vezes com superfícies apropriadas.)

Resolução
14.

Calcular ∫ C F → d r → , onde C é a curva parametrizada t → 3 s e n t , t , 2 cos ⁡ t , para t ∈ 0,2 π e

F → x , y , z = - z x 2 + z 2 + x , y , x x 2 + z 2 + z

Resolução
15.

Calcule

∫ γ   x - y x 2 + y 2 d x + y + x x 2 + y 2 d y + z 2 d z

Sendo γ a intersecção de z + 1 2 = x 2 + y 2 com 2 z + y = 6 , orientada de modo que sua projeção no plano x y seja percorrida uma vez no sentido horário.

Resolução
16.

Calcule ∫ γ   F → . d r → sendo

F → x , y , z = y - 2 x 2 + ( y - 2 ) 2 + x z - 2 y , - x x 2 + y - 2 2 + y z + 2 x , cos ⁡ ( z 2 ) ln ⁡ ( 2 + z 6 )

E γ é curva dade pela intersecção de x 2 + y - 2 2 = 4 e z = 2 y + 1 orientada de modo que sua projeção em O x y é percorrida no sentido anti-horário.

Resolução
17.

Calcule ∫ γ   x z x 2 + y 2 + y d x + y z x 2 + y 2 d y + e z 4 d z , sendo γ a curva dada pela intersecção de x 2 + y 2 = 1 e z = a r c t g 5 + x 4 + y 8 orientada de modo que a sua projeção no plano x y é percorrida uma única vez no sentido anti-horário.

Resolução
18.

Calcule   ∫ γ   F → . d r → , onde F → x , y , z = x 2 y x 2 + y 2 2 , - x 3 x 2 + y 2 2 , 1 z 2 + 1 e γ é a curva dada pela intersecção de x 2 4 + y 2 4 = 1 com o plano z = y + 2 , orientada de modo que sua projeção no plano x y seja percorrida no sentido anti-horário.

Resolução

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