Cálculo de Áreas

Teoria Completa

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Expandir

Exercício Resolvido #1

Encontre a área da região limitada acima por f x = x + 6 , abaixo por g x = x 2 e nas laterais por x = 0 e x = 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O primeiro passo nesse caso é fazer um esboço de cada uma dessas equações no plano.

Começando pelo mais fácil: x = 0 e x = 2 são só duas retas verticais cruzando esses pontos.

Para fazer o esboço da f ( x ) de forma útil, é uma boa ideia calcular f 0 = 0 e f 2 = 8 , e traçar uma reta entre esses dois pontos.

E para a g ( x ) também, você sabe que é uma parábola por conta do x 2 , então calcule que g 0 = 0 e g 2 = 4 e faça uma parábola razoável que passe por esses dois pontos.

Você deve ficar com algum parecido com isso aqui:

E o nosso objetivo é calcular essa área que está em azul.

Passo 2

Percebe que essa região azul é simplesmente a área embaixo da reta vermelha menos a área em baixo da parábola azul? Tudo isso no intervalo 0 < x < 2 .

Mas “área embaixo da função” é exatamente o que a integral calcula, então escrevendo isso como integrais, vamos achar o seguinte:

A = ∫ 0 2 f x - g ( x )   d x

Ótimo, agora é só substituir:

A = ∫ 0 2 f x - g ( x )   d x

A = ∫ 0 2 x + 6 - x 2   d x

E agora ficamos com a integral de um polinômio. Lembra como integra uma função desse tipo? A lógica é essa aqui:

∫ x 2   d x = x 3 3 + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ d x = x + C

Passo 3

Ótimo, agora vamos aplicar essas técnicas para calcular a área:

A = ∫ 0 2 x + 6 - x 2   d x

A = ∫ 0 2 x   d x + 6 ∫ 0 2 d x - ∫ 0 2 x 2   d x

Como todas as integrais vão ser nulas quando x = 0 , fica fácil substituir os limites:

A = 2 2 2 + 6 2 - 2 3 3 = 14 - 8 3 = 34 3   u . a .

Pronto, essa é a área da nossa região.

Resposta

A área da região é 34 3 u . a .

Exercício Resolvido #2

Calcule a área determinada pela curva y = sen ⁡ ( x ) em [ - π , π ] .

(a) 4

(b) 6

(c) 3

(d) 2

(e) 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

“Área determinada pela curva” é simplesmente a integral da curva! Ou seja, temos que resolver o seguinte:

A = ∫ - π π sen ⁡ ( x )   d x

Lembrando que a integral do s e n ⁡ ( x ) é - c o s ⁡ ( x ) . E fica faltando só substituir os limites de integração.

A = - cos ⁡ π - ( - cos ⁡ - π )

A = - cos ⁡ π + cos ⁡ - π

Sabendo que cos ⁡ π = cos ⁡ - π = - 1 , ficamos com:

A = 0

Opa, mas isso não está nas opções. Pois é, é importante lembrar disso. A integral considera que quando a área está abaixo do eixo x , ela é uma “área negativa”. Mas quando a questão pede a área, nós não precisamos seguir essa convenção.

Passo 2

Como corrigir esse problema? Bom, a resposta está nessa imagem da nossa curva:

Temos a mesma área dos dois lados, o problema é que a integral “entende” que a área da esquerda é negativa. Uma solução pra isso é fazer o seguinte: achar a área em um dos lados e multiplicar por dois!

Ou seja:

A = 2 ∫ 0 π sen ⁡ ( x )   d x

E agora que já conhecemos a integral:

A 2 = - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 = 2

A = 4

Pronto! Agora sim temos uma resposta coerente.

Resposta

Letra (a).

Exercício Resolvido #3

Um fabricante de móveis em madeira produz pés de apoio para móveis a partir de blocos de madeira que serão torneados por uma serra de fita que segue o traçado de uma curva determinada por y = x , de x = 1 até x = 4 .

Os pés de apoio são obtidos quando a região sob a curva é girada em torno do eixo x . Encontre o volume V de cada pé de apoio produzido por este método.

(a) V = 152   u . v .

(b) V = 3 π 2   u . v .

(c) V = 21 π   u . v .

(d) V = 15   u . v .

(e) V = 15 π 2   u . v .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Estamos tomando essa área aqui:

E girando em torno do eixo x para formar um volume. Existe uma fórmula para esse caso:

V = π ∫ 1 4 f x 2   d x

Agora é só resolver essa integral:

V = π ∫ 1 4 x 2   d x

Passo 2

Como a integral de x 2 é x 3 / 3 , se substituirmos os limites de integração:

V = π ∫ 1 4 x 2   d x = π 4 3 3 - 1 3 3 = 63 3 π = 21 π   u . v .

Pronto!

Resposta

Letra (c).

Exercício Resolvido #4

Encontre a área da região sob a curva f x = x 2 - 5 x + 9 , no intervalo [ 1,4 ] . Interprete geometricamente o resultado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A área da região sob a curva é simplesmente a integral da função no intervalo que foi dado! Ou seja, precisamos calcular isso aqui:

A = ∫ 1 4 f x d x

A = ∫ 1 4 x 2 - 5 x + 9 d x

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos começar separando essa em outras três:

A = ∫ 1 4 x 2 - 5 x + 9 d x

A = ∫ 1 4 x 2 d x - 5 ∫ 1 4 x d x + 9 ∫ 1 4 d x

E todas essas integrais são de polinômios. De forma que a integral indefinida é:

A = x 3 3 - 5 x 2 2 + 9 x + C

E substituindo os limites de integração, achamos o seguinte:

A = 4 3 3 - 5 4 2 2 + 9 4 - 1 3 + 5 2 - 9

A = 64 3 - 40 + 36 - 1 3 + 5 2 - 9

A = 63 3 + 5 2 + 5 = 21 + 2,5 - 13 = 10,5

Passo 3

Como interpretação geométrica do problema, podemos esboçar a parábola dada pela função, e marcar a área que estamos integrando:

Resposta

A área da região sob a curva é 10,5   u . a .

Exercício Resolvido #5

Calcule a área determinada pela curva y = x 3 , entre x = 2 , x = 4 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Podemos usar uma integral para calcular essa área:

A = ∫ 2 4 x 3 d x

E como a integral de x 3 é simplesmente x 4 4 , vamos obter o seguinte resultado:

A = x 4 4 4 2 = 4 4 4 - 2 4 4 = 64 - 4 = 60   u . a .

Pronto!

Resposta

A área determinada pela curva é 60   u . a .

Exercício Resolvido #6

Encontre a área da região sombreada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, o exercício pede para acharmos a área da região sombreada! Note que a questão foi legal com a gente e já forneceu o esboço da região.

É importante lembrar que a área entre as curvas é dada pela integral da função que está em cima menos a função que está em baixo. A função que está em cima é y = 5 x - x 2 , enquanto que a função que está em baixo é y = x . Assim, a função que vc deve integrar é

5 x - x 2 - x = 4 x - x 2

Os limites de integração serão 0 e 4 pois este é intervalo no eixo x que delimita a região!!!

Passo 2

Assim, a área pedida será

A = ∫ 0 4 4 x - x 2   d x

Achando a primitiva:

A = 2 x 2 - x 3 3 0 4 = 2 ⋅ 16 - 64 3 - 0 = 32 - 64 3 = 96 - 64 3 = 32 3

Resposta

A = 32 3

Exercício Resolvido #7

Encontre a área da região sombreada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Precisamos calcular a área da região hachurada (ufa, o enunciado já nos forneceu pelo menos a figura!!!) usando integrais.

É importante lembrar que a área entre as curvas é dada pela integral da função que está em cima menos a função que está em baixo. A função de cima, neste caso, é y = x + 2 , enquanto que a função de baixo é y = 1 / ( x + 1 ) .

Como a região é limitada à esquerda pela eixo y (reta x = 0 ) e à direita pela reta x = 2 , os limites de integração serão 0 e 2 .

Passo 2

Assim, a área pedida será

A = ∫ 0 2 x + 2 - 1 x + 1   d x

Agora vamos achar a primitiva de cada parte:

Lembrando que x + 2 = x + 2 1 / 2 , temos que sua primitiva é

x + 2 3 / 2 3 / 2 = 2 3 x + 2 3

Por outro lado, a primitiva de 1 / ( x + 1 ) é

ln ⁡ | x + 1 |

Assim, a área é calculada por

A = 2 3 x + 2 3 - ln ⁡ x + 1 0 2 = 2 3 4 3 - ln ⁡ 3 - 2 3 2 3 - ln ⁡ 1