Integração por Partes

Teoria Completa

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Aplicando-se os conceitos da Integração por partes calcule:

∫ x 2 e x 3 d x

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Passo 1

O enunciado pede para usarmos “os conceitos” da Integração por partes. Nesse caso em particular, não é útil usar aquela fórmula famosa:

∫   u   d v = u v - ∫ v   d u

É mais interessante fazer uma substituição simples, que não deixa de aplicar alguns dos mesmos conceitos.

Passo 2

O nosso problema maior com certeza é aquele x 3 no expoente, então vamos chamar o seguinte:

u = x 3

d u d x = 3 x 2

d x = d u 3 x 2

Agora vamos substituir isso na integral:

∫ x 2 e x 3 d x = ∫ x 2   e u d u 3 x 2 = 1 3 ∫ e u   d u

Pronto, ficamos só com a integral da função exponencial e u , que é simplesmente e u ! Então:

1 3 ∫ e u   d u = 1 3 e u + C

(Não esqueça dessa constante!) Agora é só substituir o u de volta:

1 3 e u + C = 1 3 e x 3 + C

Resposta

A integral é igual a 1 3 e x 3 + C .

Exercício Resolvido #2

Calcule ∫ 1 3 l n ⁡ ( x )   d x pelo Método da Integração por Partes

(a) 3 ln ⁡ 3 - 5

(b) l n ⁡ ( 3 )

(c) 3 ln ⁡ 3 - 2

(d) 2 ln ⁡ 2 - 1

(e) 2

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Passo 1

Vamos lembrar da fómula para a integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Mas veja que esse é um caso incomum, porque não estamos integrando um produto de duas funções, e sim apenas uma.

Podemos aplicar o método mesmo assim, é só tratar a segunda função como se fosse uma constante igual a 1 !

Nesse caso, vamos fazer:

u = ln ⁡ x       ⇒           d u = 1 x d x

d v = 1   d x           ⇒   d v d x = 1         ⇒     v = x    

Passo 2

Agora podemos substituir tudo isso na fórmula para achar a integral indefinida.

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ ln ⁡ x   1   d x = x . ln ⁡ x - ∫ x 1 x d x

∫ l n ⁡ ( x ) = x l n x - x + C

Ótimo, agora é só substituir os limites de integração x = 1 e x = 3 :

3 ln ⁡ 3 - 3 - ln ⁡ 1 - 1 = 3 ln ⁡ 3 - 2

Pronto, esse é o valor da integral.

Resposta

Letra (c).

Exercício Resolvido #3

Calcule a integral abaixo

∫ x e x   d x

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Passo 1

Já que temos um produto de duas funções, vamos tentar usar a integração por partes. Lembra da fórmula para esse método?

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Temos que escolher alguém para chamar de u e alguém para chamar de d v . O melhor a fazer nesse caso é:

u = x         ⇒         d u d x = 1

d v = e x d x         ⇒           v = e x

Se o motivo dessa escolha não estiver claro para você ainda, não se preocupe, no final vamos ver que essa é a melhor opção mesmo.

Passo 2

Substituindo isso tudo na fórmula, chegamos na seguinte situação:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ x e x   d x = x e x -   ∫ e x 1 d x

∫ x e x   d x = x e x - ∫ e x d x

∫ x e x   d x = x e x - e x + C

Viu? Chamamos o x de u porque ele deixa a integral da fórmula bem fácil de resolver quando fazemos d u d x = 1 . Agora é só arrumar um pouco:

∫ x e x   d x = e x x - 1 + C

Pronto!

Resposta

A integral é e x x - 1 + C

Exercício Resolvido #4

Calcule a integral abaixo

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x

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Passo 1

Vamos usar Integração por Partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos fazer então u = x 2 e d v = cos ⁡ 3 x d x :

d u = 2 x d x e v = sen ⁡ 3 x 3

Vamos substituir agora:

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 - ∫ sen ⁡ 3 x 3 2 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 - 2 3 ∫ x sen ⁡ 3 x   d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos ter que usar Integração por Partes novamente:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos fazer então u = x e d v = sen ⁡ 3 x d x :

d u = d x e v = - cos ⁡ 3 x 3

Vamos substituir agora:

∫ x sen ⁡ 3 x   d x = x - cos ⁡ 3 x 3 - ∫ - cos ⁡ 3 x 3   d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ c x d x = sen ⁡ c x c + C

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Assim vamos ficar com:

∫ - cos ⁡ 3 x 3   d x = - 1 3 ∫ cos ⁡ 3 x   d x = - 1 3 sen ⁡ 3 x 3 + C = - sen ⁡ 3 x 9 + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 - 2 3 ∫ x sen ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 - 2 3 x - cos ⁡ 3 x 3 - ∫ - cos ⁡ 3 x 3   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 - 2 3 x - cos ⁡ 3 x 3 - - sen ⁡ 3 x 9 + C = x 2 sen ⁡ 3 x 3 + 2 x cos ⁡ 3 x 9 - 2 sen ⁡ 3 x 27 + C

Resposta

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 + 2 x cos ⁡ 3 x 9 - 2 sen ⁡ 3 x 27 + C

Exercício Resolvido #5

Calcule a integral abaixo

∫ x 2   s e n a x d x

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Passo 1

Vamos fazer por partes

u = x 2 → d u = 2 x d x

E

d v = s e n a x d x → v = - 1 a c o s ⁡ ( a x )

Assim

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 s e n a x d x = x 2 - 1 a cos ⁡ a x - ∫ - 1 a cos ⁡ a x 2 x d x

∫ x 2 s e n a x d x = - x 2 a cos ⁡ a x + 2 a ∫ x c o s a x d x

Passo 2

Agora sobrou uma outra integral que temos que fazer por partes de novo, que é essa aqui

∫ x c o s a x d x

Então as substituições são

p = x → d p = d x

d q = cos ⁡ a x d x → q = 1 a s e n a x

A integral vai ficar

∫ x c o s a x d x = x 1 a s e n a x - ∫ 1 a s e n a x d x

E a última integral dá pra fazer 😉

∫ x c o s a x d x = x 1 a s e n a x - 1 a - 1 a cos ⁡ a x

∫ x c o s a x d x = x a s e n a x + 1 a 2 cos ⁡ a x

Passo 3

Juntando tudo ficamos com

∫ x 2 s e n a x d x = - x 2 a cos ⁡ a x + 2 a ∫ x c o s a x d x

∫ x 2 s e n a x d x = - x 2 a cos ⁡ a x + 2 a x a s e n a x + 1 a 2 cos ⁡ a x

∫ x 2 s e n a x d x = - x 2 a cos ⁡ a x + 2 x a 2 s e n a x + 2 a 3 cos ⁡ a x

Não pode esquecer a constante de integral, hein!

∫ x 2 s e n a x d x = - x 2 a cos ⁡ a x + 2 x a 2 s e n a x + 2 a 3 cos ⁡ a x + C

Belezinha? 😉

Resposta

∫ x 2 s e n a x d x = - x 2 a cos ⁡ a x + 2 x a 2 s e n a x + 2 a 3 cos ⁡ a x + C