Integração por Partes

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Teoria

Quando integrar por partes?

Vimos como usar a substituição simples para resolver integrais, mas pra isso, precisávamos que um pedaço da nossa integral fosse igual a derivada de outro pedaço. Mas nem sempre isso vai acontecer.

Imagina que apareça a seguinte integral pra gente resolver:

∫ x cos ⁡ x d x

Nesse caso, não conseguiremos usar a substituição simples, pois não temos um pedaço que seja derivada de outro pedaço.

E aí que entra a Substituição por partes. E o importante é saber quando podemos usar esse métodos.

Nós poderemos usá-lo principalmente quando nossa integral for produto de funções de tipos diferentes (logarítmica, inversa, polinomial, trigonométrica, exponencial etc.).

∫ x ⏟ A l g é b r i c a cos ⁡ x ⏟ t r i g o n o m é t r i c a d x

No nosso caso temos o x , que é uma função algébrica, sendo multiplicando pelo cos ⁡ x , que é uma função trigonométrica.

Mas o que é a Integração por Partes?

É um método de integração que permite que a gente “separe” a nossa integral em duas partes para resolvê-la, sendo uma das partes mais fácil de integrar e a outra mais fácil de derivar.

Vamos separar nossa integral em duas partes: uma que vamos chamar de u e outra que vamos chamar de d v . E então aplicaremos a segunte fórmula:

Mas de onde surgiu esse d u e esse   v que também estão na fórmula? É ai que entra aquela história de uma função ser fácil de integrar e a outra fácil de derivar.

Na hora de escolher quem será o nosso u e quem será nosso d v , vamos escolher pra ser o u alguém que seja fácil de derivar, assim ao derivar vamos encontrar o d u . E o d v será alguém que a gente saiba integrar, pois integrando acharemos o v . Vamos resolver a integral do inicío que fica mais claro.

∫ x cos ⁡ x d x

Vamos chamar o u = x , e o d v = cos ⁡ x d x

∫ x ⏟ u cos ⁡ x d x ⏟ d v

Agora a gente deriva u :

u = x

d u d x = 1

Aqui sempre vamos passa o d x para o outro lado. Então a gente deriva e coloca o d x no final, ok? Então:

d u = d x

Agora a gente integra o d v :

d v = cos ⁡ x d x

∫ d v = ∫ cos ⁡ x d x

Integrando dos dois lados teremos:

v = sen ⁡ x

Show, é hora de substituírmos tudo na fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim teremos:

∫ x cos ⁡ x d x = x sen ⁡ x - ∫ sen ⁡ x d x

Só nos resta resolver aquela última integral do lado direito que é sem dúvidas muito mais fácil do que a que tínhamos antes.

Fazendo

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

Encaixando esse resultado teremos o resultado da nossa integral:

∫ x cos ⁡ x d x = x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C

Então o que fizemos foi transformar nossa integral complicada e uma expressão com uma inetral mais simples pra resolver.

Passo a Passo

Vamos fazer um passo a passo para a resolução de integrias desse tipo:

Passo 1: Precisamos olhar pra a nossa integral e escolher uma parte da funções que seja mais fácil de derivar chamando de u ,   e aí a que for mais fácil de integrar vamos chamar de d v . Mas como podemos escolher quem chamar de u ?

Tem uma regra que ajuda bastante nessa escolha. Vamos escolher o u na ordem: LIATE. Cada letra da palavra LIATE representa um tipo de função e a ordem será nossa preferência para a escolha do u .

Os tipo de funções são:

L logarítmica ( ln ⁡ x )

I inversa trigonométrica ( arcsen ⁡ x , arctg ⁡ x ,   … )

A algébrica (ou polinomial) ( x n )

T trigonométrica ( sen ⁡ x , cos ⁡ x , sec ⁡ x , ...)

E exponencial ( e x )

Vamos resolver essa integral aqui pra pegar bem essa ideia:

∫ x 2 ln ⁡ x d x

Nela temos o x 2 que é uma função algébrica e o ln ⁡ x que é uma função logarítmica. Seguindo a ordem LIATE, escolhemos o ln ⁡ x como u , enquanto o x 2 d x ficará como d v .

u = ln ⁡ x     ( l o g a r í t m i c a )

d v = x 2 d x     ( a l g é b r i c a )

Passo 2: Calcular o d u derivando u , no nosso exemplo:

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

Passo 3: Calcular v , e pra isso vamos integrar o d v , fica assim:

∫ d v = ∫ x 2 d x

v = x 3 3

Passo 4: Substituir na fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x . x 3 3 - ∫ x 3 3 1 x d x

Passo 5: Calcular a integral ∫ v d u que ainda ficou do lado direito. Se necessário, aplique a Integração por partes novamente nesse termo. Caso pareça que não vai dar em lugar nenhum, volte para o passo 1 e tente trocar u e d v .

No nosso caso dá pra calcular diretamente esse nova integral que apareceu!

Mas vamos antes dar uma ajeitadinha:

∫ x 3 3 1 x d x = 1 3 ∫ x 2 d x

Tiramos o 1 3 de dentro da integral, pois ele era uma constante e simplificamos o x .

Agora sim resolvemos:

1 3 ∫ x 2 d x = 1 3 x 3 3 = x 3 9

Passo 5: Encaixamos esse reultado na nossa integral original. Assim a integral original fica:

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9 + C

Sem esquecer da constante, hein?

E prontinho, integral resolvidíssima!

Com esse método a gente vai longe!!!

OBS: pode acontecer de nossa integral ∫ v d u também precisar de ser resolvida por outra integração por partes. Não há problemas, você separa ela em um cantinho e resolve com o mesmo métodos, depois trás o resultado de volta. Sem pânico. Lembre-se, tudo da certo no final.

Agora, é praticar bastante. Então, partiu exercícios!

Mas o que é a Integração por Partes?

Passo a Passo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule a integral abaixo

∫ x e x   d x

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, temos essa integral aí pra resolver e ela até não é tão feinha, mas mistrura duas funções de tipos bem diferentes. Temos ali o x , que é uma função algébrica, e temos também o e x , que é uma função exponencial.

Já que temos um produto de duas funções de tipos diferentes, vamos tentar usar a integração por partes. Lembra da fórmula para esse método?

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Nela a gente transforma essa integral que a gente não sabe resolver, em uma que a gente sabe.

E pra começar, temos que escolher alguém para chamar de u e alguém para chamar de d v . Pra saber quem a gente escolhe, seguimos a ordem LIATE para escolher u . Assim ó:

Olha pras funções que você tem na sua integral e veja qual o tipo que aparece primeiro.

  • Logaritmo
  • Inversa trigonométrica
  • Algébrica
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Vamos ver então na nossa integral...

Passo 2

Pela ordem de escolha vemos que nossa integral tem uma função algébrica que é a função x , ela será o nosso u .

u = x

E então o d v vai ser o que sobrou da nossa integral, no caso:

d v = e x d x

Beleza, a gente precisa agora de d u e v pra completar a fórmula. E pra isso vamos derivar u e integrar v :

d u = u '

d u = x ' = d x

v = ∫ d v

v = ∫ e x   d x = e x

Show! Agora temos os ingredientes pra jogar na nossa fórmula de integração por partes!

Passo 3

Substituindo na fórmula:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ x   e x   d x = x   e x - ∫ e x   d x

A resposta da integral já começou a aparecer, mas veja que ainda temos uma integral pra resolver ali no final. Essa integral aqui ∫ e x   d x   é daquelas basiquinhas, no caso a integral da exponencial é a própria exponencial. Ou seja:

∫ e x   d x = e x + C

Passo 4

E aí resolvendo a última integral temos:

∫ x   e x   d x = x   e x - ∫ e x   d x

∫ x   e x   d x = x e x - e x + C

E esse é nosso resultado! Ainda podemos colocar o e x em evidência pra deixar mais bonitinho...

= e x x - 1 + C

Prontinho! Integral resolv

Resposta

A integral é

∫ x e x   d x = e x x - 1 + C

Exercício Resolvido #2

Calcule ∫ 1 3 l n ⁡ ( x )   d x pelo Método da Integração por Partes

(a) 3 ln ⁡ 3 - 5

(b) l n ⁡ ( 3 )

(c) 3 ln ⁡ 3 - 2

(d) 2 ln ⁡ 2 - 1

(e) 2

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos lembrar da fómula para a integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Mas veja que esse é um caso incomum, porque não estamos integrando um produto de duas funções, e sim apenas uma, a ln ⁡ ( x ) .

Mas tranquilo! Podemos aplicar o método mesmo assim, é só tratar a segunda função como se fosse uma constante igual a 1 ! ∫ 1 3 l n ⁡ ( x ) . 1   d x

Nesse caso, vamos fazer:

u = ln ⁡ x      

d v = 1   d x          

Passo 2

Como a gente precisa de d u e v , vamos derivar u e integrar d v :

d u = ln ⁡ x ' = 1 x   d x

v = ∫ 1   d x = x

Agora podemos substituir tudo isso na fórmula para achar a integral indefinida.

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ ln ⁡ x . 1 d x = x . ln ⁡ x - ∫ x ⋅ 1 x d x

Simplificando o x ⋅ 1 x , temos 1, então na verdade temos:

∫ ln ⁡ x . 1 d x = x ln ⁡ x - ∫ 1   d x

Resolvendo essa última integral, teremos:

∫ ln ⁡ x . 1 d x = x ln ⁡ x - x + C

Então...

∫ l n ⁡ ( x ) = x   l n x - x + C

Passo 3

Beleza! Agora é só substituir os limites de integração x = 1 e x = 3 , lembrando que a gente substitui o valor maior e subtrai com o valor menor:

∫ 1 3 ln ⁡ x   d x

= x ln ⁡ x - x 1 3

= 3 ln ⁡ 3 - 3 - 1 ln ⁡ 1 - 1

= 3 ln ⁡ 3 - 3 - ln ⁡ 1 + 1

Temos que ln ⁡ 1 = 0 , e - 3 + 1 = - 2 , então...

= 3 ln ⁡ 3 - 2

Prontinho! Esse é o valor da integral.

Resposta

(c) 3 ln ⁡ 3 - 2

Exercício Resolvido #3

Calcule a integral abaixo

∫ sen - 1 ⁡ x d x

Passo 1

E aí, tudo joia?

Primeiramente a gente tem que entender esse - 1 no expoente do seno ali. Lembra o seguinte: sempre que temos - 1 num expoente, quer dizer que aquela função está ao inverso.

Então... s e n - 1 x na verdade é a inversa de s e n   x . Você lembra qual função é essa?

Essa aqui:

s e n - 1 x = a r c s e n   x

Então nossa integral na verdade é:

∫ a r c s e n   x   d x

Então vamos usá-la assim, pra poder resolver.

Passo 2

Vamos lá, a gente vai usar integração por Partes, que tem essa fórmula aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Parece estranho usar isso já que a gente não tem duas funções ali dentro, mas na verdade a gente pode colocar o 1 pra acompanha ela e fazer isso aqui:

∫ a r c s e n   x . 1 d x

E chamar:

u = a r c s e n   x

d v = 1 d x

Beleza? Vamos continuar...

Passo 3

Agora a gente precisa achar d u e v pra também usar na fórmula. Pra isso, vamos derivar u e integrar d v :

d u = a r c s e n   x ' = 1 1 - x 2

(essa derivada é tabelada😉)

e

v = ∫ d v = ∫ d x = x + C

Ótimo! Agora podemos substituir isso na fórmula de integração de partes...

Passo 4

Vamos substituir aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ a r c s e n   x   d x = x a r c s e n   x - ∫ x ⋅ 1 1 - x 2 d x

= x   a r s e n   x - ∫ x 1 - x 2 d x

Vamos resolver agora aquela integral que ficou ali no final...

Passo 5

Pra resolver essa:

∫ x 1 - x 2 d x

A gente pode usar uma substituição simples, chamando:

t = 1 - x 2

E fazendo:

d t =   - 2 x   d x →   - d t 2 = x   d x

E então teremos:

∫ - d t 2 t  

A gente pode retirar a constante:

= - 1 2 ∫ d t t

E escrever o 1 / t como t - 1 2 . Isso é o mesmo que:

= - 1 2 ∫ t - 1 2   d t

E aí a gente integra pela regra da potência que diz que

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Então

- 1 2 ∫ t - 1 2   d t = - 1 2 t - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

Passo 6

Pra somar aqueles expoentes ali, a gente pode escrever o 1 = 2 2 pra podermos somar as frações de boinhas:

= - 1 2 t - 1 2 + 2 2 - 1 2 + 2 2

= - 1 2 t 1 2 1 2

A gente pode simplificar os 1 2 ali ficando só com:

= - t 1 2

Que é o mesmo que:

=   - t  

Agora a gente tem que lembra que t = 1 - x 2 e voltar pra variável certa. Então:

∫ x 1 - x 2 d x =   - 1 - x 2

Ufaa! Integramos! Agora vamos voltar lá pra fórmula...

Passo 7

A gente parou aqui:

∫ a r c s e n   x   d x = x   a r s e n   x - ∫ x 1 - x 2 d x

Vamos substituir o valor da integral que a gente calculou:

= x   a r c s e n   x - - 1 - x 2

= x   a r c s e n   x + 1 - x 2

Só falta somar a constante agora, já que temos uma integral indefinida!

= x   a r c s e n   x + 1 - x 2 + C

Agora sim! Terminamos😉

Resposta

x   a r c s e n   x + 1 - x 2 + C

Exercício Resolvido #4

Calcule a integral abaixo

∫ p 5 ln ⁡ p d p

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes, temos um polinômio p 5 , que é uma função algébrica, e uma função logarítmica ln ⁡ p . Isso indica o uso da integração por partes, ok? Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v .

Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica.

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem:

  • Logarítmica
  • Inversa Trigonométrica
  • Algébrica ou (polinomial)
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Ao fazer a escolha, nós teremos que substituir todos os termos da fórmula, então precisaremos de u e d u , d v e v . Teremos então:

u = ln ⁡ p d u =   ? d v = p 5 d p v =   ?

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = p 5 d p v = ∫ p 5 d p = p 6 6 u = ln ⁡ p d u = 1 p d p

(A gente integrou pela regra da potência, e derivou pela tabelinha normal😊)

Vamos seguir agora...

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ ln ⁡ p ⏟ u p 5 d p ⏟ d v = ln ⁡ p ⏟ u p 6 6 ⏟ v - ∫ p 6 6 ⏟ v 1 p d p ⏟ d u

=   p 6 ln ⁡ p 6 - 1 6 ∫ p 5 d p

Resolvendo aquela integralzinha ali, pela regra da potência, temos:

= p 6 ln ⁡ p 6 - 1 6 p 6 6 + C

Ou seja:

∫ p 5 ln ⁡ p d p = p 6 ln ⁡ p 6 - p 6 36 + C

Não pode esquecer da constante, hein!

Prontinho! Já acabamos😉

Resposta

∫ p 5 ln ⁡ p d p = p 6 ln ⁡ p 6 - p 6 36 + C

Exercício Resolvido #5

Aplicando-se os conceitos da Integração por partes calcule:

∫ x 2 e x d x

Passo 1

E aí, tudo joia? Bora ver mais essa aqui?

Olha só, como o próprio problema sugere, vamos utilizar integração por partes, beleza? Isso porque temos um produto de duas funções de tipos diferente, tempos uma função algébrica x 2 , e uma função exponencial e x .

Lembra que a gente tem essa fórmula aqui pra calcular:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Temos que escolher alguém para chamar de u e alguém para chamar de d v . Pra saber quem a gente escolhe, seguimos a ordem LIATE para escolher u . Assim ó:

  • Logaritmo
  • Inversa trigonométrica
  • Algébrica
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Então a gente vai escolher u = x 2 e d v = e x .

Passo 2

Para aplicar na fórmula a gente ainda precisa de d u e v . Então vamos derivar u e integrar d v :

d u = x 2 ' = 2 x

v = ∫ e x   d x = e x

Agora que já temos tudo que precisávamos, a gente monta nossa integral por partes:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - ∫ e x 2 x d x

Ficamos com essa última integral pra resolver. Podemos retirar a constante 2 da integral:

= x 2 e x - 2 ∫ x e x  

Passo 3

Repara que essa última integral também é um produto de funções de tipos diferentes. Então nesse caso, a gente aplica integração por partes de novo. Mas fica tranquilo, vai ser de boa, a gente vai seguir os mesmos passos que a gente fez ali em cima...

Vamos escolher:

u = x

d v = e x

A gente precisa agora de d u e v , vamos derivar u e integrar v :

d u = x ' = d x

v = ∫ e x   d x = e x

Passo 4

E aí:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ x   e x   d x = x   e x - ∫ e x   d x

= x e x - e x + C

Show! Agora a gente vai substituir esse resultado lá na integral do passo anterior...

Passo 5

Vamos substituir aqui:

(pode deixar a constante pra colocar no final)

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - 2 ∫ x e x d x

= x 2 e x - 2 x e x - e x

= x 2 e x - 2 x e x + 2 e x

A gente ainda pode colocar o e x em evidência, já que ele está em todos os termos:

= e x ( x 2 - 2 x + 2 )

Agora somamos a constante e FIM!

∫ x 2 e x d x = e x x 2 - 2 x + 2 + C

Nessa a gente precisou fazer duas integrações por partes, uma dentro da outra, e isso é até bem comum, então o jeito e seguir com bastante atenção na hora da resolução.

Resposta

∫ x 2 e x d x = e x x 2 - 2 x + 2 + C

Exercício Resolvido #6

Calcule a integral abaixo

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x

Passo 1

Bora fazer mais essa?

Como a gente tem um produto entre duas funções, vamos usar Integração por Partes, que tem essa fórmula aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Agora vamos recorrer ao LIATE pra ver a ordem de escolha do u :

  • Logaritmo
  • Inversa trigonométrica
  • Algébrica
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Na nossa integral temos uma parte algébrica, que é o x 2 , e uma trigonométrica, o cos ⁡ 3 x , certo? Pela ordem então, a melhor escolha é:

u = x 2

d v = cos ⁡ 3 x   d x

Passo 2

Pra aplicar na fórmula, ainda precisamos de d u e v . Então vamos derivar u e integrar d v :

d u = x 2 ' = 2 x

v = ∫ d v = ∫ cos ⁡ 3 x   d x

Nessa integral de cos ⁡ 3 x , precisaremos fazer uma substituição simples. Vamos fazer t = 3 x     e d t = 3   d x → d t 3 = d x , aí teremos:

v = ∫ cos ⁡ t   d t 3   = 1 3 ∫ cos ⁡ t = 1 3 s e n   t