Substituição Simples
Teoria
Fala aí. Já vimos como calcular a integral de várias funções. Mas e se de repente aparece essa integral aqui pra resolver:
Eita! Agora misturou tudo não foi?
Mas Relaxa que pra tudo na vida dá-se um jeito.
Pra resolver essa integral aí nós vamos usar a substituição simples, que é um método de integração que vai servir pra integrar várias das funções que aparecem por aí. Mas, apesar de ser bastante usado, esse método não é universal, por isso é muito importante nós sabermos quando podemos e quando não podemos usar a substituição simples.
Vamos dar uma olhada melhor na integral que estamos querendo resolver:
Poxa, se fosse só o ali, seria bem simples de resolver, né?
Mas o que temos junto com ele? Dentro do há um e na frente multiplicando há um . E olha que interessante, quando a gente derivar o , irá aparecer justamente o . Então esse é o caminho! Nós vamos procurar dentro da nossa integral uma parte que seja a derivada da outra ou só se diferencie dela por constante.
Quando isso acontecer, poderemos usar a Substituição simples sem medo.
Depois que percebermos isso, partimos para a mudança de variável. Agora a gente vai chamar o pedaço da integral que podemos derivar, de . E vamos derivá-lo em relação a pra ver o que acontece.
Maravilha, agora a gente substitui o que acabamos de encontrar. Assim, onde tiver o , vamos escrever , e onde tiver o , vamos escrever . Vai ficar assim:
Trocando tudo, teremos:
Podemos “cortar” o de cima com o de baixo, ficando com:
Agora é só passar o para o final da integral.
E olha que maravilha, caímos em uma integral bem mais simples de resolver. A pergunta agora é: Qual a integral do cosseno de ? E a integral do cosseno é o seno! Assim:
E não esqueça a constante de integração .
Bom, resolvemos a integração, certo? Certo!
Só um último detalhe que precisaremos fazer, voltar pra variável certa. Nossa integral era em função de , então não podemos dar a nossa resposta em função de . Por isso vamos voltar lá onde a gente começou a fazer a mudança de variável e vamos lembrar quem era esse que a gente usou até aqui.
Show. Agora a gente troca o por na nossa resposta. Assim:
E nossa integral será:
Showww. Resolvemos nossa primeira integral usando a Substituição simples. Podemos até montar um passo a passo para gente não esquecer de nenhuma parte da resolução. Vamos nessa:
Passo 1. Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outra ou só se diferencia de sua derivada por constantes.
Passo 2. Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de .
Passo 3. Achar a derivada de que será o .
Passo 5. Substituir o que está em por suas correspondentes em .
Passo 6. Ver se podemos cortar tudo que estava com . Não pode sobrar nada em , hem!
Passo 7. Resolver a integral em normalmente.
Passo 8. Substituir por sua correspondente em (“DES-Substituir!”)
Prontinho! Integral resolvida!
O importante é identificar um termo que seja derivado de outro a menos de uma constante!
Vejamos outro exemplo:
Passo 1. Veja que quando derivado resulta em
Passo 2. Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de .
Assim, fazemos:
Passo 3. Derivamos para encontrar
Passo 5. Agora vamos substituir na integral. Mas há um pequeno detalhe, lá na nossa integral não temos , temos apenas o , então vamos deixar ele sozinho na derivada, passando o para o lado esquerdo dividindo. Vai ficar assim:
Agora sim, vamos substituir na integral:
Passo 6. Podemos cortar o , ficando com:
Vamos ajeitar tudo colocando o para fora da integral, pois ele é uma constante, e também vamos colocar o no final. Então nossa integral se transforma em:
Passo 7. Então, resolvemos a integral normalmente. Qual a integral de ? O próprio !
Assim:
Show. Integral resolvida, mas a resposta está em ! Então fazemos o último passo.
Passo 8. Substituir por sua correspondente em . Lembra que ? Então, a gente volta para , ressubstituindo.
Beleza, nossa integral é:
Prontinho, respondido!
Como calcular Integrais Definidas pelo método da substituição?
Vimos como calcular a integral usando a substituição simples, mas e quando for uma integral definida, o que acontecerá com os limites de integração?
Nesse caso, podemos resolver de duas maneiras diferentes. Veja:
Jeito 1: Calcular a integral sem os limites de integração, fazendo toda a substituição para , e depois que voltarmos para aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Dessa forma:
Fazemos:
Substituímos na integral:
Ficando com:
Ajeitamos tudo e cortamos o :
Agora é só integrar:
Prontinho. Integral resolvida. Então a gente volta pra variável original fazendo o e aí sim aplicamos os limites de integração
E essa é nossa resposta.
Podemos também fazer de um segundo jeito:
Jeito 2: Já calcular direto em função do , sem voltar pro .
Só temos que adaptar os limites de integração, de acordo com a nossa substituição!
Os limites de integração eram e quando estavam em , vamos descobrir quais serão os novos limites agora em . Para isso a gente substitui o valor de cada limite de na expressão do .
Temos :
Daí a integral fica:
Fizemos toda a substituição e não precisamos voltar pra , podemos substituir direto no , pois os limites já estão adaptados.
Assim:
Viu, o mesmo resultado de antes. Então você pode escolher a melhor maneira pra você
E pra praticar bastante, bora fazer exercícios.
Como calcular Integrais Definidas pelo método da substituição?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Calcule a integral fazendo a substituição dada.
,
Passo 1
Bem, esse é um exercício para integrar a função . Essa função é muito parecida com uma função que já sabemos integrar, que é a função !
Se lembra qual é o resultado da integral de ? É uma daquelas integrais tabeladas que a gente precisa ter em mente.
Reconhecer que a função que queremos integrar é muito parecida com uma função que já sabemos integrar, é muito importante! Isso vai ajudar a gente a resolver o exercício pelo método da substituição simples!
E como seria esse método?
Nesse método, a gente cria uma nova variável para transformar a função complicada em uma função mais simples que sabemos integrar! No nosso caso, o enunciado já informou o valor de :
O primeiro passo desse método é modificar o que está em e em na nossa integral, para relações equivalentes em e em . Dessa forma, nossa integral que era toda em , passará a ser em .
Para fazer isso, substituímos o pelo .
Agora precisamos mudar esse pra alguma coisa em . Mas o que precisamos fazer para substituir o pelo ?
No próximo passo isso vai ficar claro!
Passo 2
Para substituir o pelo , nós vamos derivar o ! Isso mesmo!
Vamos fazer:
Como a constante não interfere na derivada, podemos colocar ela pra fora.
Agora precisamos só fazer a derivada do . Você se lembra como se faz essa derivada?
Para ficar mais claro como se deriva o , vamos fazer aparecer o expoente dele que vale . Ou seja, .
Então:
Agora fica mais claro que vamos derivar uma potência de . Com isso, vamos usar a regra do “peteleco”!
Nessa regra, o expoente do leva um “peteleco” e cai na frente do multiplicando. Além disso, quando caí ele perde uma unidade no expoente. O novo expoente será igual ao antigo menos ! Olha só como fica:
Só lembrando que todo número elevado a zero dá um:
Resumindo, a derivada de vale:
Mas o que a gente precisa lá na nossa integral é substituir aquele , pra isso temos que deixar ele, que está ali embaixo do , sozinho. Começamos jogamos ele para o outro lado pra junto do 3, assim:
Mas ele ainda não está sozinho, então passamos o pro lado esquerdo dividindo.
Agora sim, nós sabemos quanto vale e podemos substituir isso na integral!
Lembrando:
Prontinho! Achamos agora uma integral toda em
Agora vamos resolver.
Passo 3
Esse ali, é uma constante e por isso pode sair da integral, mas como ele está na parte de baixo, vamos jogar ele pra frente na sua forma de fração que é .
Finalmente achamos a integral de cosseno que já sabemos calcular!
Antes de calcular, precisamos saber de uma coisa: integrar é diferente de integrar ?
Não! O passo a passo que usamos para integrar a variável é igual ao passo a passo que usamos para integrar . Isso significa que, se a integral de vale , a integral de vale !
Ahhh, não esqueça da constante , já que é uma integral indefinida.
No entanto, nós não podemos deixar o nosso resultado assim. Temos que lembrar que a integral pedida não estava em , mas sim em . Então nossa resposta final precisa estar na variável
Você lembra que ? Então é isso, vamos colocar o no lugar do nosso .
Agora sim, tá tudo nos conformes, então:
Esse passo a passo te ajudou? Responde aí!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule a integral fazendo a substituição dada.
,
Passo 1
Você pode estar pensando: eeeita, que integral enorme! Como posso integrar isso?
Se acalme, porque a própria questão já nos dá uma dica muito importante de como resolver tudo! Nessa integral nós temos o e a derivada do , que é o !
Dizemos que é a derivada do em relação a !
Tá mas de que forma isso ajuda a resolver essa questão?
Quando temos uma função e a sua derivada na mesma integral, podemos usar a substituição simples para resolvê-la! E o que é essa substituição simples?
Nesse método, a gente cria uma nova variável para transformar a função complicada, em uma função mais simples que sabemos integrar! No nosso caso, o enunciado já informou o valor de :
Então, vamos usar para transformar a integral que estava em e em , em outra integral agora escrita em e .
Como o enunciado já disse quem é o , vamos encaixar ele na integral:
Nossa integral ainda possui um e um , isso significa que ainda não terminamos nossa substituição. Para fazer os dois sumirem, temos que calcular quanto vale no próximo passo.
Passo 2
Vamos atrás agora do , pra isso derivamos o em relação a ! Isso mesmo, olha como o tal vai surgir fazendo assim:
A derivada de em relação a é:
No entanto, sabemos que a derivada do seno é tabelada e vale cosseno!
Veja o que a gente estava procurando ali embaixo do .
Podemos passar o para o outro lado direito da equação, fazendo ele multiplicar o .
Mas espera aí, é exatamente o que temos na nossa integral! Então, a gente pode substituir por !
Veja, nós mudamos aquela integral esquisita para essa mais simples, agora vamos integrar.
Nós sabemos integrar a exponencial . Será que integrar é diferente?
No próximo passo responderemos isso!
Passo 3
Integrar em NÃO é diferente de integrar em ! O passo a passo que usamos para integrar a variável é igual ao que usamos para integrar . Isso significa que, se a integral de vale , a integral de vale !
Então o resultado da nossa integral será:
Pronto! Integrado! Não esquece da constante , hem!
Mas nós não podemos deixar o nosso resultado assim. Temos que lembrar que a integral pedida não estava em , mas sim em . Então, nossa resposta final precisa estar na variável
Você lembra que ? Então é isso, vamos colocar o no lugar do nosso .
Agora está tudo certo! E esse é o resultado da integral do enunciado!
Espero que o passo a passo tenha de ajudado bastante!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador e no numerador, como a derivada de é , podemos então usar a mudança de variável:
Vamos agora derivar :
e fazer a substituição:
Agora fica simples de resolver, vamos lá.
Passo 2
Pra achar a primitiva da função, usamos uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi :
Como , podemos tirar o módulo:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Calcule a integral
Passo 1
Vamos lá pra mais uma resolução... Temos a seguinte integral para resolver
Beleza, mas como resolver essa parada?
Precisamos transformar nossa integral complicada, em uma integral mais simples. Resolvendo pelo método da substituição simples, podemos reescrever esse integral de , em uma nova variável que fará ela ficar mais tranquila de resolver. Pra isso vamos fazer as seguintes substituições...
Encaixando isso na integral:
Ela se torna:
Mas ainda temos o e o na integral, então vamos atrás de substituir eles também. Pra isso vamos derivar o , e teremos:
Vamos passar o para o outro lado:
Repare que quando fizemos isso, encontramos um outro pedaço que também está na nossa integral:
Vamos trocar o de lugar com o , pra isso ficar mais claro:
Para substituir o precisamos deixar ele sozinho na derivada de . Então vamos jogar o que está multiplicando, para o outro lado dividindo:
Então nossa integral fica assim ó
Prontinho, ela está toda escrita em função de Agora vamos resolver. Colocamos a constante para fora
E lembramos que a integral do seno é igual a menos cosseno:
Resolvido. Mas temos que “Re-substituir” o valor de porque a pergunta era em e não em , e vamos ter o seguinte
Agora sim! Tudo pronto. Mas uma resolvida!
Resposta
Exercício Resolvido #5
Calcule a integral indefinida
Passo 1
Vamos lá. Vamos direto ao ponto...
Temos a seguinte integral para resolver
Mas agora temos um problema... Como resolver essa parada?
Resolvendo pelo método da substituição simples, vamos pegar a parte que parece ser mais complicada, no caso, o que pode enrolar a gente ali, e vamos fazer as seguintes substituições...
Agora vamos derivar esse :
Repara que aparece na derivada, justamente um pedaço da nossa integral.
Vamos só trocar de lugar o com o , que isso vai ficar mais claro:
Para substituir o precisamos deixar ele sozinho em