Substituição Simples

Teoria Completa

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x

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Passo 1

Bem, esse é um exercício para integrar a função cos ⁡ 3 x . Essa função é muito parecida com uma função que já sabemos integrar, que é a função cos ⁡ x !

Se lembra qual é o resultado da integral de cos ⁡ x ?

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x

Reconhecer que a função que queremos integrar é muito parecida com uma função que já sabemos integrar, é muito importante! Isso indica que precisamos resolver o exercício pelo método da substituição simples!

E como seria esse método?

Nesse método, a gente cria uma nova variável u para transformar a função complicada que não sabemos integrar, em uma função que sabemos integrar! No nosso caso, o enunciado já informou o valor de u :

u = 3 x

O primeiro passo desse método é substituir o x e o d x presentes na integral. Dessa forma, x e d x vão sumir da integral e vão dar lugar ao u e ao d u .

Para fazer o x sumir, substituímos o 3 x pelo u .

∫ cos ⁡ 3 x d x = ∫ cos ⁡ u d x

Mas o que precisamos fazer para substituir o d x pelo d u ?

No próximo passo isso vai ficar claro!

Passo 2

Para substituir o d x pelo d u , nós vamos derivar o u ! Isso mesmo!

A derivada de u vale:

d u d x = d d x 3 x

Como a constante 3 não interfere na derivada, podemos colocar ela pra fora.

d u d x = 3 ⋅ d d x x

Você se lembra como se faz essa derivada?

Para ficar mais claro como se deriva o x , temos que lembrar que o expoente do x vale 1 . Ou seja, precisamos lembrar que x = x 1 .

d u d x = 3 ⋅ d d x x = d u d x = 3 ⋅ d d x x 1

Agora fica mais claro que precisamos derivar uma potência de x . Perceber isso é muito importante, porque existe uma regrinha que deriva potências de x ! É a regra do peteleco!

Nessa regra, o expoente do x leva um peteleco e cai na frente do x . Além disso, ele deixa pra trás um expoente que é igual ao antigo menos 1 ! Olha só como fica:

3 ⋅ d d x x 1 = 3 ⋅ 1 ⋅ x 1 - 1 = 3 ⋅ x 0 = 3 ⋅ 1 = 3

Resumindo, a derivada vale:

d u d x = 3

Agora, passamos o d x para o outro lado fazendo ele multiplicar e passamos o 3 pro lado esquerdo fazendo ele dividir.

d u 3 = d x

Então, nós sabemos quanto d x vale e podemos substituir isso na integral!

∫ cos ⁡ u d x = ∫ cos ⁡ u d u 3

Dividir por 3 é a mesma coisa que multiplicar por 1 / 3 . Logo:

∫ cos ⁡ u d u 3 = ∫ 1 3 cos ⁡ u d u

No entanto, constantes não interferem na integral. Por isso, nós podemos tirar as constante de dentro da integral. Como 1 3 é uma constante, podemos fazer isso com ela!

∫ 1 3 cos ⁡ u d u = 1 3 ⋅ ∫ cos ⁡ u d u

Finalmente achamos a integral de cosseno que sabemos calcular!

Deixaremos a integração para o próximo passo!

Passo 3

Antes de calcular, precisamos saber de uma coisa: integrar u é diferente de integrar x ?

Não! O passo a passo que usamos para integrar a variável u é igual ao passo a passo que usamos para integrar x . Isso significa que, se a integral de cos ⁡ x vale sen ⁡ x , a integral de cos ⁡ u vale sen ⁡ u !

1 3 ⋅ ∫ cos ⁡ u d u = 1 3 ⋅ sen ⁡ u = sen ⁡ u 3

No entanto, nós não podemos deixar o nosso resultado assim. Estamos esquecendo de cumprir dois passos. Primeiro, temos depois que fazer o inverso e sumir com o u e fazer o x aparecer de novo. Como o u vale 3 x :

sen ⁡ u 3 = sen ⁡ 3 x 3

Depois, temos que nos lembrar de somar uma constante de integração C ! Não podemos bobear com isso!

sen ⁡ 3 x 3 + C

Aí sim está tudo certo! A integral do enunciado vale tudo isso!

∫ cos ⁡ 3 x d x = sen ⁡ 3 x 3 + C

Esse passo a passo te ajudou? Responde aí!

Resposta

∫ cos ⁡ 3 x d x = sen ⁡ 3 x 3 + C

Exercício Resolvido #2

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

∫ e sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ , u = sen ⁡ θ

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Passo 1

Você pode estar pensando: eeeita, que integral enorme! Como posso integrar isso?

Se acalme, porque a própria questão já nos dá uma dica muito importante de como resolver tudo! Nessa integral nós temos o sen ⁡ θ e a derivada do sen ⁡ θ , que é o cos ⁡ θ !

d sen ⁡ θ d θ = cos ⁡ θ

d sen ⁡ θ d θ é a derivada do sen ⁡ θ em relação a θ !

Tá mas de que forma isso ajuda a resolver essa questão?

Quando temos uma função e a sua derivada na integral, já sabemos que temos que usar a substituição simples para resolver a questão! E o que é essa substituição simples?

Nesse método, a gente cria uma nova variável u para transformar a função complicada que não sabemos integrar, em uma função que sabemos integrar! No nosso caso, o enunciado já informou o valor de u :

u = sen ⁡ θ

Com essa nova variável u para substituir o θ e o d θ da integral!

Desse jeito, θ e d θ vão sumir da integral para darem lugar ao u e ao d u .

Substituindo u na integral, ela vira:

∫ e sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ e u cos ⁡ θ d θ

Mesmo com essa substituição o θ e o d θ permanecem na integral. Para fazer os dois sumirem, temos que calcular quanto vale d θ no próximo passo.

Passo 2

Para substituir o θ restante por u e o d θ por d u , precisamos derivar o u em relação a θ !

A derivada de u em relação a θ é:

d u d θ   = d d θ sen ⁡ θ

No entanto, sabemos que a derivada do seno é o cosseno!

d u d θ   = cos ⁡ θ

Podemos passar o d θ para o outro lado direito da equação, fazendo ele multiplicar o cos ⁡ θ .

d u = cos ⁡ θ d θ

A equação acima mostra que a gente pode substituir cos ⁡ θ d θ por d u !

∫ e u cos ⁡ θ d θ = ∫ e u d u

Nós sabemos integrar a exponencial e x . Será que integrar e u   é diferente?

No próximo passo responderemos isso!

Passo 3

Integrar u NÃO é diferente de integrar x ! O passo a passo que usamos para integrar a variável u é igual ao passo a passo que usamos para integrar x . Isso significa que, se a integral de e x vale e x , a integral de e u vale e u !

∫ e u d u = e u

No entanto, nós não podemos deixar o nosso resultado assim. Estamos esquecendo de cumprir dois passos.

Primeiro, temos depois que fazer o inverso e sumir com o u e fazer o θ aparecer de novo. Como o u vale sen ⁡ θ :

e u = e sen ⁡ θ

Em segundo lugar, precisamos nos lembrar de somar uma constante de integração C ! Não podemos dar mole com isso!

e sen ⁡ θ + C

Agora está tudo certo! Essa é o resultado da integral do enunciado!

∫ e sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = e sen ⁡ θ + C

Espero que o passo a passo tenha de ajudado bastante!

Resposta

∫ e sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = e sen ⁡ θ + C

Exercício Resolvido #3

Calcule a integral definida

∫ 0 4 x x 2 + 9 d x

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Passo 1

Você pode estar pensando: meu Deus! Eu nunca vi tanto x assim em uma integral...

Primeiro de tudo, o que são esses numerozinhos em cima e em baixo da integral?

∫ 0 = ? 4 = ? x x 2 + 9 d x

Esses numerozinhos são chamados de limites de integração.

Quando uma integral tem esses limites de integração, ela é chamada de integral definida!

Mas relaxa, porque nesse início de resolução a gente não vai usar os limites de integração!

Mas essa integral provavelmente te assusta por causa do x 2 + 9 dentro da raiz quadrada, estou certo?

Digo isso, porque sei que seria mais tranquilo se, dentro da raiz quadrada tivesse apenas um x . Olha só:

∫ 0 4 x x d x

Se o que atrapalha a gente é esse x 2 + 9   , porque não tentamos nos livrar dele?

Podemos fazer isso, criando uma nova variável u que deve ficar no lugar de x 2 + 9 .

u = x 2 + 9

Chamamos essa técnica de criar uma nova variável para substituir um termo complexo da integral de substituição simples! Ela é uma das técnicas de integração mais importantes!

Sempre que a gente ver uma integral difícil, a gente pode tentar simplificar com essa técnica!

Se a gente substituir x 2 + 9 por esse u , a integral vai ficar:

∫ 0 4 x u d x

A cara dela já está melhorzinha, né? Mas ainda não resolvemos nosso problema! Agora temos duas variáveis na integral! Para a gente conseguir integrar, a integral só pode ter uma variável!

No próximo passo a gente vai descobrir como substituir x e d x por u e d u .

Passo 2

Para nos livrar do x da integral, temos que substituir o x pelo u e o d x pelo d u . Mas quanto vale o d u ?

Para descobrir quanto vale d u , a gente precisa derivar o u !

d u d x = d d x x 2 + 9

O primeiro passo para derivar esse cara é lembrar que podemos separar a derivada grande em derivadas menores:

d u d x = d d x x 2 + d d x 9

Em segundo lugar, temos que nos lembrar que a derivada de uma constante vale zero. Logo, a derivada de 9 vale zero!

d u d x = d d x x 2 + d d x 9 = d u d x = d d x x 2 + 0

Em último lugar, derivamos x 2 usando a regra do peteleco! Nessa regra, o expoente 2 cai na frente de x e deixa pra trás um expoente menor que vale 2 - 1 .

d u d x = d d x x 2 + 0 = 2 ⋅ x 2 - 1 = 2 x 1 = 2 x

Resumindo, a derivada de u vale:

d u d x = 2 x

Se a gente passar o d x para o lado direito e o número 2 para o lado esquerdo da equação, ela fica:

d u 2 = x d x