Substituição Simples

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Teoria

Fala aí. Já vimos como calcular a integral de várias funções. Mas e se de repente aparece essa integral aqui pra resolver:

∫ 2 x cos ⁡ x 2 d x

Eita! Agora misturou tudo não foi?

Mas Relaxa que pra tudo na vida dá-se um jeito.

Pra resolver essa integral aí nós vamos usar a substituição simples, que é um método de integração que vai servir pra integrar várias das funções que aparecem por aí. Mas, apesar de ser bastante usado, esse método não é universal, por isso é muito importante nós sabermos quando podemos e quando não podemos usar a substituição simples.

Vamos dar uma olhada melhor na integral que estamos querendo resolver:

∫ 2 x cos ⁡ x 2 d x

Poxa, se fosse só o cos ⁡ x ali, seria bem simples de resolver, né?

Mas o que temos junto com ele? Dentro do c o s s e n o há um x 2 e na frente multiplicando há um 2 x . E olha que interessante, quando a gente derivar o x 2 , irá aparecer justamente o 2 x . Então esse é o caminho! Nós vamos procurar dentro da nossa integral uma parte que seja a derivada da outra ou só se diferencie dela por constante.

Quando isso acontecer, poderemos usar a Substituição simples sem medo.

Depois que percebermos isso, partimos para a mudança de variável. Agora a gente vai chamar o pedaço da integral que podemos derivar, de u . E vamos derivá-lo em relação a x pra ver o que acontece.

u = x 2

d u d x = 2 x

Maravilha, agora a gente substitui o que acabamos de encontrar. Assim, onde tiver o x 2 , vamos escrever u , e onde tiver o 2 x , vamos escrever d u d x . Vai ficar assim:

∫ 2 x ⏟ d u d x cos ⁡ x 2 ⏟ u d x

Trocando tudo, teremos:

∫ d u d x cos ⁡ u d x

Podemos “cortar” o d x de cima com o de baixo, ficando com:

∫ d u cos ⁡ u

Agora é só passar o d u para o final da integral.

∫ cos ⁡ u d u

E olha que maravilha, caímos em uma integral bem mais simples de resolver. A pergunta agora é: Qual a integral do cosseno de u ? E a integral do cosseno é o seno! Assim:

∫ cos ⁡ u d u = sen ⁡ u + C

E não esqueça a constante de integração C .

Bom, resolvemos a integração, certo? Certo!

Só um último detalhe que precisaremos fazer, voltar pra variável certa. Nossa integral era em função de x , então não podemos dar a nossa resposta em função de u . Por isso vamos voltar lá onde a gente começou a fazer a mudança de variável e vamos lembrar quem era esse u que a gente usou até aqui.

u = x 2

Show. Agora a gente troca o u por x 2 na nossa resposta. Assim:

sen ⁡ u + C = sen ⁡ x 2 + C

E nossa integral será:

∫ 2 x cos ⁡ x 2 d x = sen ⁡ x 2 + C

Showww. Resolvemos nossa primeira integral usando a Substituição simples. Podemos até montar um passo a passo para gente não esquecer de nenhuma parte da resolução. Vamos nessa:

Passo 1. Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outra ou só se diferencia de sua derivada por constantes.

Passo 2. Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u .

Passo 3. Achar a derivada de u que será o d u d x .

Passo 5. Substituir o que está em x por suas correspondentes em u .

Passo 6. Ver se podemos cortar tudo que estava com x . Não pode sobrar nada em x , hem!

Passo 7. Resolver a integral em u normalmente.

Passo 8. Substituir u por sua correspondente em x (“DES-Substituir!”)

Prontinho! Integral resolvida!

O importante é identificar um termo que seja derivado de outro a menos de uma constante!

Vejamos outro exemplo:

∫ x 4 e x 5 d x

Passo 1. Veja que x 5 quando derivado resulta em 5   x 4

Passo 2. Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u .

Assim, fazemos:

u = x 5

Passo 3. Derivamos u para encontrar d u d x

d u d x = 5   x 4

Passo 5. Agora vamos substituir na integral. Mas há um pequeno detalhe, lá na nossa integral não temos 5   x 4 , temos apenas o x 4 , então vamos deixar ele sozinho na derivada, passando o 5 para o lado esquerdo dividindo. Vai ficar assim:

d u 5   d x = x 4

Agora sim, vamos substituir na integral:

∫ x 4 ⏟ d u 5 d x e x 5 ⏟ u d x

∫ d u 5 d x   e u d x

Passo 6. Podemos cortar o d x , ficando com:

∫ d u 5   e u

Vamos ajeitar tudo colocando o 1 5 para fora da integral, pois ele é uma constante, e também vamos colocar o d u no final. Então nossa integral se transforma em:

1 5 ∫ e u d u

Passo 7. Então, resolvemos a integral normalmente. Qual a integral de e u ? O próprio e u !

Assim:

1 5 ∫ e u d u = 1 5 e u + C

Show. Integral resolvida, mas a resposta está em u ! Então fazemos o último passo.

Passo 8. Substituir u por sua correspondente em x . Lembra que u = x 5 ? Então, a gente volta para x , ressubstituindo.

1 5 e u + C = 1 5 e x 5 + C

Beleza, nossa integral é:

∫ x 4 e x 5 d x = 1 5 e x 5 + C

Prontinho, respondido!

Como calcular Integrais Definidas pelo método da substituição?

Vimos como calcular a integral usando a substituição simples, mas e quando for uma integral definida, o que acontecerá com os limites de integração?

∫ 0 1 3 x 2 e x 3 + 5 d x

Nesse caso, podemos resolver de duas maneiras diferentes. Veja:

Jeito 1: Calcular a integral sem os limites de integração, fazendo toda a substituição para u , e depois que voltarmos para x aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Dessa forma:

∫ 3 x 2 e x 3 + 5 d x

Fazemos:

u = x 3 + 5  

d u d x = 3 x 2

Substituímos na integral:

∫ 3 x 2 ⏟ d u d x e x 3 + 5 ⏞ u d x

Ficando com:

∫ d u d x e u d x

Ajeitamos tudo e cortamos o d x :

∫ e u d u

Agora é só integrar:

∫ e u d u = e u + C

Prontinho. Integral resolvida. Então a gente volta pra variável original fazendo o u = x 3 + 5 e aí sim aplicamos os limites de integração

∫ 0 1 3 x 2 e x 3 + 5 d x

= e x 3 + 5 0 1

e 1 3 + 5 - e 0 3 + 5

= e 6 - e 5

E essa é nossa resposta.

Podemos também fazer de um segundo jeito:

Jeito 2: Já calcular direto em função do u , sem voltar pro x .

Só temos que adaptar os limites de integração, de acordo com a nossa substituição!

Os limites de integração eram 0 e 1 quando estavam em x , vamos descobrir quais serão os novos limites agora em u . Para isso a gente substitui o valor de cada limite de x   na expressão do u .

Temos u = x 3 + 5 :

x = 0 → u = 5 + 0 3 = 5

x = 1 → u = 5 + 1 3 = 6

Daí a integral fica:

∫ 0 1 3 x 2 e x 3 + 5 d x = ∫ 5 6 e u d u

Fizemos toda a substituição e não precisamos voltar pra x , podemos substituir direto no u , pois os limites já estão adaptados.

Assim:

∫ 5 6 e u d u = e u 5 6

= e 6 - e 5

Viu, o mesmo resultado de antes. Então você pode escolher a melhor maneira pra você

E pra praticar bastante, bora fazer exercícios.

Como calcular Integrais Definidas pelo método da substituição?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x

Passo 1

Bem, esse é um exercício para integrar a função cos ⁡ 3 x . Essa função é muito parecida com uma função que já sabemos integrar, que é a função cos ⁡ x !

Se lembra qual é o resultado da integral de cos ⁡ x ? É uma daquelas integrais tabeladas que a gente precisa ter em mente.

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x

Reconhecer que a função que queremos integrar é muito parecida com uma função que já sabemos integrar, é muito importante! Isso vai ajudar a gente a resolver o exercício pelo método da substituição simples!

E como seria esse método?

Nesse método, a gente cria uma nova variável u para transformar a função complicada em uma função mais simples que sabemos integrar! No nosso caso, o enunciado já informou o valor de u :

u = 3 x

O primeiro passo desse método é modificar o que está em x e em d x na nossa integral, para relações equivalentes em u e em d u . Dessa forma, nossa integral que era toda em x , passará a ser em u .

Para fazer isso, substituímos o 3 x pelo u .

∫ cos ⁡ 3 x ⏟ u d x = ∫ cos ⁡ u d x

Agora precisamos mudar esse d x pra alguma coisa em d u . Mas o que precisamos fazer para substituir o d x pelo d u ?

No próximo passo isso vai ficar claro!

Passo 2

Para substituir o d x pelo d u , nós vamos derivar o u ! Isso mesmo!

u = 3 x

Vamos fazer:

d u d x = d d x 3 x

Como a constante 3 não interfere na derivada, podemos colocar ela pra fora.

d u d x = 3 ⋅ d d x x

Agora precisamos só fazer a derivada do ( x ) . Você se lembra como se faz essa derivada?

Para ficar mais claro como se deriva o x , vamos fazer aparecer o expoente dele que vale 1 . Ou seja, x = x 1 .

Então:

d u d x = 3 ⋅ d d x x 1

Agora fica mais claro que vamos derivar uma potência de x . Com isso, vamos usar a regra do “peteleco”!

Nessa regra, o expoente do x leva um “peteleco” e cai na frente do x multiplicando. Além disso, quando caí ele perde uma unidade no expoente. O novo expoente será igual ao antigo menos 1 ! Olha só como fica:

d d x x n = n . x n - 1

3 ⋅ d d x x 1

3 ⋅ 1 ⋅ x 1 - 1

= 3 ⋅ x 0

Só lembrando que todo número elevado a zero dá um:

3 ⋅ 1 = 3

Resumindo, a derivada de u vale:

d u d x = 3

Mas o que a gente precisa lá na nossa integral é substituir aquele d x , pra isso temos que deixar ele, que está ali embaixo do d u , sozinho. Começamos jogamos ele para o outro lado pra junto do 3, assim:

d u = 3 d x

Mas ele ainda não está sozinho, então passamos o 3 pro lado esquerdo dividindo.

d u 3 = d x

Agora sim, nós sabemos quanto d x vale e podemos substituir isso na integral!

Lembrando:

∫ cos ⁡ 3 x ⏟ u d x ⏟ d u 3

= ∫ cos ⁡ u d u 3

Prontinho! Achamos agora uma integral toda em u

Agora vamos resolver.

Passo 3

∫ cos ⁡ u d u 3

Esse 3 ali, é uma constante e por isso pode sair da integral, mas como ele está na parte de baixo, vamos jogar ele pra frente na sua forma de fração que é 1 3 .

∫ cos ⁡ u d u 3

1 3 ⋅ ∫ cos ⁡ u d u

Finalmente achamos a integral de cosseno que já sabemos calcular!

Antes de calcular, precisamos saber de uma coisa: integrar u é diferente de integrar x ?

Não! O passo a passo que usamos para integrar a variável u é igual ao passo a passo que usamos para integrar x . Isso significa que, se a integral de cos ⁡ x vale sen ⁡ x , a integral de cos ⁡ u vale sen ⁡ u !

1 3 ⋅ ∫ cos ⁡ u d u

= 1 3 ⋅ sen ⁡ u + C

Ahhh, não esqueça da constante C , já que é uma integral indefinida.

No entanto, nós não podemos deixar o nosso resultado assim. Temos que lembrar que a integral pedida não estava em u , mas sim em x . Então nossa resposta final precisa estar na variável x

Você lembra que u = 3 x ? Então é isso, vamos colocar o 3 x no lugar do nosso u .

sen ⁡ u 3 + C = sen ⁡ ( 3 x ) 3 + C

Agora sim, tá tudo nos conformes, então:

∫ cos ⁡ 3 x d x = sen ⁡ 3 x 3 + C

Esse passo a passo te ajudou? Responde aí!

Resposta

∫ cos ⁡ 3 x d x = sen ⁡ 3 x 3 + C

Exercício Resolvido #2

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

∫ e sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ , u = sen ⁡ θ

Passo 1

Você pode estar pensando: eeeita, que integral enorme! Como posso integrar isso?

Se acalme, porque a própria questão já nos dá uma dica muito importante de como resolver tudo! Nessa integral nós temos o sen ⁡ θ e a derivada do sen ⁡ θ , que é o cos ⁡ θ !

d sen ⁡ θ d θ = cos ⁡ θ

Dizemos que d sen ⁡ θ d θ é a derivada do sen ⁡ θ em relação a θ !

Tá mas de que forma isso ajuda a resolver essa questão?

Quando temos uma função e a sua derivada na mesma integral, podemos usar a substituição simples para resolvê-la! E o que é essa substituição simples?

Nesse método, a gente cria uma nova variável u para transformar a função complicada, em uma função mais simples que sabemos integrar! No nosso caso, o enunciado já informou o valor de u :

u = sen ⁡ θ

Então, vamos usar u para transformar a integral que estava em θ e em d θ , em outra integral agora escrita em u e d u .

Como o enunciado já disse quem é o u , vamos encaixar ele na integral:

∫ e sen ⁡ θ ⏞ u cos ⁡ θ d θ

= ∫ e u cos ⁡ θ d θ

Nossa integral ainda possui um cos ⁡ θ e um d θ , isso significa que ainda não terminamos nossa substituição. Para fazer os dois sumirem, temos que calcular quanto vale d θ no próximo passo.

Passo 2

Vamos atrás agora do d θ , pra isso derivamos o u em relação a θ ! Isso mesmo, olha como o tal d θ vai surgir fazendo assim:

u = sen ⁡ θ  

A derivada de u em relação a θ é:

d u d θ   = d d θ sen ⁡ θ

No entanto, sabemos que a derivada do seno é tabelada e vale cosseno!

d u d θ   = cos ⁡ θ

Veja o d θ que a gente estava procurando ali embaixo do d u .

Podemos passar o d θ para o outro lado direito da equação, fazendo ele multiplicar o cos ⁡ θ .

d u = cos ⁡ θ d θ

Mas espera aí, cos ⁡ θ d θ é exatamente o que temos na nossa integral! Então, a gente pode substituir cos ⁡ θ d θ por d u !

∫ e s e n θ ⏞ u cos ⁡ θ d θ ⏞ d u

= ∫ e u d u

Veja, nós mudamos aquela integral esquisita para essa mais simples, agora vamos integrar.

Nós sabemos integrar a exponencial e x . Será que integrar e u   é diferente?

No próximo passo responderemos isso!

Passo 3

Integrar em u NÃO é diferente de integrar em x ! O passo a passo que usamos para integrar a variável u é igual ao que usamos para integrar x . Isso significa que, se a integral de e x vale e x , a integral de e u vale e u !

Então o resultado da nossa integral será:

∫ e u d u = e u + C

Pronto! Integrado! Não esquece da constante C , hem!

Mas nós não podemos deixar o nosso resultado assim. Temos que lembrar que a integral pedida não estava em u , mas sim em θ . Então, nossa resposta final precisa estar na variável θ .

Você lembra que u = sen ⁡ θ ? Então é isso, vamos colocar o sen ⁡ θ no lugar do nosso u .

e u + C

= e sen ⁡ θ + C

Agora está tudo certo! E esse é o resultado da integral do enunciado!

∫ e sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = e sen ⁡ θ + C

Espero que o passo a passo tenha de ajudado bastante!

Resposta

∫ e sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = e sen ⁡ θ + C

Exercício Resolvido #3

Calcule a integral indefinida.

∫ e x e x + 1 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um e x no denominador e no numerador, como a derivada de e x é e x , podemos então usar a mudança de variável:

u = e x + 1

Vamos agora derivar u :

d u = e x + 0 → d x = e x d x

e fazer a substituição:

∫ e x e x + 1 ⏟ u d x ⏞ d u

= ∫ 1 u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Pra achar a primitiva da função, usamos uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = e x + 1 :

ln ⁡ u + C

ln ⁡ e x + 1 + C

Como e x + 1 > 0 , podemos tirar o módulo:

ln ⁡ e x + 1 + C = ln ⁡ e x + 1 + C

Resposta

∫ e x e x + 1 d x = ln ⁡ e x + 1 + C

Exercício Resolvido #4

Calcule a integral

∫ x sen ⁡ 1 + x 2 d x

Passo 1

Vamos lá pra mais uma resolução... Temos a seguinte integral para resolver

∫ x sen ⁡ 1 + x 2 d x

Beleza, mas como resolver essa parada?

Precisamos transformar nossa integral complicada, em uma integral mais simples. Resolvendo pelo método da substituição simples, podemos reescrever esse integral de x , em uma nova variável u que fará ela ficar mais tranquila de resolver. Pra isso vamos fazer as seguintes substituições...

u = 1 + x 2

Encaixando isso na integral:

∫ x sen ⁡ 1 + x 2 ⏟ u d x

Ela se torna:

∫ x sen ⁡ u   d x

Mas ainda temos o x e o d x na integral, então vamos atrás de substituir eles também. Pra isso vamos derivar o u , e teremos:

d u d x =   2 x

Vamos passar o d x   para o outro lado:

d u =   2 x   d x

Repare que quando fizemos isso, encontramos um outro pedaço que também está na nossa integral:

Vamos trocar o x de lugar com o sen ⁡ u , pra isso ficar mais claro:

Para substituir o x   d x precisamos deixar ele sozinho na derivada de u ( d u = 2   x   d x ) . Então vamos jogar o 2 que está multiplicando, para o outro lado dividindo:

x   d x = d u 2

Então nossa integral fica assim ó

∫ sen ⁡ u   x   d x ⏟ d u 2

∫ sen ⁡ u d u 2

Prontinho, ela está toda escrita em função de u   . Agora vamos resolver. Colocamos a constante para fora

1 2 ∫ sen ⁡ u   d u  

E lembramos que a integral do seno é igual a menos cosseno:

1 2 - cos ⁡ u + C

Resolvido. Mas temos que “Re-substituir” o valor de x porque a pergunta era em x e não em u , e vamos ter o seguinte

1 2 - cos ⁡ 1 + x 2 + C

- cos ⁡ ( 1 + x 2 ) 2 + C

Agora sim! Tudo pronto. Mas uma resolvida!

Resposta

- cos ⁡ ( 1 + x 2 ) 2 + C

Exercício Resolvido #5

Calcule a integral indefinida ∫ x + 1 s e n   ( x + 1 ) ² d x

Passo 1

Vamos lá. Vamos direto ao ponto...

Temos a seguinte integral para resolver

∫ x + 1 s e n   x + 1 2 d x

Mas agora temos um problema... Como resolver essa parada?

Resolvendo pelo método da substituição simples, vamos pegar a parte que parece ser mais complicada, no caso, o x + 1 2 que pode enrolar a gente ali, e vamos fazer as seguintes substituições...

u = x + 1 2

∫ x + 1 sen ⁡ x + 1 2 ⏟ u d x

∫ x + 1 s e n   u   d x

Agora vamos derivar esse u :

d u =   2 x + 1   d x

Repara que aparece na derivada, justamente um pedaço da nossa integral.

Vamos só trocar de lugar o ( x + 1 ) com o sen ⁡ u , que isso vai ficar mais claro:

Para substituir o x + 1 d x precisamos deixar ele sozinho em d u = 2 x + 1 d x