Introdução e Propriedades

Teoria Completa

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Expandir

Exercício Resolvido #1

Origem do Exercício

Resolva a integral:

∫ 2 x + x 2 - 7 x + 12   d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Beleza. Nossa primeira integral!! Vamos lá!

A primeira coisa que precisamos entender é que a integral é a operação inversa da derivada. Então, no fundo, essa integral só está fazendo uma pergunta pra gente:

“Qual é a função, que quando derivada, dá “ 2 x + x 2 - 7 x + 12 ”?

Antes de começar a integrar, vamos ver se essa função aí dentro pode ser simplificada. Vamos dar uma reorganizada nos termos.

∫ x 2 + 2 x - 7 x + 12   d x

Olha só. Podemos substrair o 2x e o 7 x e nossa integral vai ficar um pouco menor.

∫ x 2 - 5 x + 12 d x

Agora podemos começar a integrar.

Passo 2

Beleza. Pra resolver essa integral, a primeira coisa que precisamos entender é que podemos separar aquelas somas e subtrações em integrais menores. Assim, uma integral grande pode se tornar várias integrais pequenininhas.

Ficaria assim:

∫ x 2 d x -   ∫ 5 x d x + ∫ 12 d x

Por enquanto vamos olhar aquele ‘ d x ’ ali só como uma notação. É como se ele estivesse “fechando” cada integral.

Além disso, também é importante sabermos que as constantes não vai interferir na integral. Então podemos colocar essas contantes fora da integral.

∫ x 2 d x -   5 ∫ x d x + 12 ∫ d x

Passo 3

Ok. Vamos começar a nossa integral olhando ali pro último termo.

Aquela integral parece vazia, né? Pois é. Mas, na verdade, tem um número 1 , escondido ali dentro. Então podemos escrever assim:

∫ x 2 d x -   5 ∫ x d x + 12 ∫ 1 d x

Então vamos pensar na pergunta que a integral faz pra gente. Qual função, que quando derivada, dá 1 ? Nesse caso, seria a função x , certo? Quando derivamos x , encontramos 1 .

Então, por enquanto, nossa integral vai ficar assim:

∫ x 2 d x -   5 ∫ x d x + 12 x

Passo 4

Beleza. Agora, nas integrais restantes, temos potências de x . E, pra nossa sorte, existe uma regrinha bem simples que vai ajudar a encontrar rapidinho a integral de qualquer potência de x .

A regrinha é: soma 1 no expoente e divide por esse resultado. Ou seja, a regrinha geral, ficaria assim:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Então a nossa integral vai ficar assim:

x 3 3 -   5 x 2 2 + 12 x

Passo 5

Mas peeeraí que a gente ainda não acabou. Falta só uma coisinha e prometo que é bem simples.

Lembra que a derivada de qualquer contante é igual a 0 ? Pois é. Por isso, sempre que terminarmos de calcular uma integral, temos que colocar uma constante genérica no final. Chamamos esse cara de Constante de Integração. Fica assim, olha:

x 3 3 -   5 x 2 2 + 12 x + K

Os símbolos mais comuns pra Constante de Integração são K ou C , mas independente do que escolher, não pode esquecer, combinado??

Prontinho! Fechamos!

Resposta

A integral indefinida é x 3 3 - 5 x 2 2 + 12 x + K , onde K é a Constante de Integração.

Exercício Resolvido #2

Seja m um número positivo. Considere a integral definida dada a seguir

∫ 1 m x   d x = 3 2

Pode-se afirmar que o valor da integral está correto se m for igual a:

(a) 1 / 2

(b) 4

(c) 2

(d) 1

(e) 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como vocês estão, pessoal? Prontos para um exercício de integral cheio de novidades?

Esse exercício quer que a gente calcule quanto vale aquele m pequenininho na integral.

Mas o que é exatamente esse m e esse 1 que estão na integral?

∫ 1 = ? m = ? x d x = 3 2

Eles são chamados de limites de integração.

Quando eles aparecem na integral, ela é chamada de integral definida!

Mas relaxa, porque não vamos nos preocupar com eles nessa etapa da solução.

Por isso, no próximo passo nós vamos começar integrando normalmente.

Passo 2

Só temos o x dentro da integral. Para integrar o x , precisamos lembrar que ele é igual a x 1 . Ou seja, precisamos lembrar que o expoente de x vale 1 .

∫ 1 m x   d x = ∫ 1 m x 1   d x

Para integrar o x elevado a algum número, usamos a regra abaixo.

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

O n dessa regra é o expoente do x na integral. No nosso caso n vale 1 , porque o expoente do x é 1 . Aplicando a nossa regrinha na nossa integral, encontramos:

∫ 1 m x   d x = x 1 + 1 1 + 1 1 m = x 2 2 1 m

Os números pequenos permanecem para mostrar os limites de integração.

No próximo passo nós vamos aprender o que fazer com eles!

Passo 3

Finalmente vamos usar os limites de integração!

Fazemos isso, substituindo o x pelos dois limites! Em outras palavras nós vamos trocar o x por um limite de cada vez. Primeiro nós vamos trocar o x pelo limite de cima (pelo m ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo 1 ). A regra de troca do x é mostrada abaixo.

l i m i t e   d e   c i m a - l i m i t e   d e b a i x o

Vai ficar assim:

x 2 2 1 m = m 2 2 - 1 2 2 = m 2 2 - 1 2

Substituindo isso na fórmula do enunciado, achamos:

∫ 1 m x   d x = 3 2

m 2 2 - 1 2 = 3 2

Jogando o 1 2 para o outro lado da equação e fazendo ele somar com 3 2 , achamos:

m 2 2 = 1 2 + 3 2

m 2 2 = 4 2

Passando o número 2 do lado esquer para o lado direito:

m 2 = 4 2 ⋅ 2

m 2 = 4

Aplicando a raiz quadrada nos dois lados da equação, ela vira:

m 2 = 4

m = 2

Como m vale 2 , a resposta certa é a letra (c).

Parabéns, pessoal! Mais um exercício pra conta.

Resposta

Letra (c).

Exercício Resolvido #3

O custo unitário (C), em dólares, para produção de um artigo científico em um periódico de circulação na Europa é modelado por

C t = ∫ 0 24 0,004 t 2 + 0,02 t + 13   d t

Sendo t o tempo da circulação da revista. Calcule a integral dada para a verificação do custo unitário de cada artigo durante o período de 24 meses.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, pessoal, esse exercício quer que a gente calcule uma integral cheia de t dentro. Será que integrar t é diferente de integrar x ?

A resposta é não! O passo a passo para integrar t é igual ao passo a passo para integrar x .

Além disso, essa integral tem uns números pequenos em cima e embaixo. O que eles são?

∫ 0 = ? 24 = ? 0,004 t 2 + 0,02 t + 13   d t

Esses pequenos números da integral são chamados de limites de integração.

Quando eles aparecem na integral, ela é chamada de integral definida!

Mas fica tranquilo, porque não vamos nos preocupar com eles nessa etapa da solução.

Por isso, no próximo passo a gente vai começar integrando normalmente.

Passo 2

Vamos iniciar as contas, lembrando que podemos separar uma integral grande cheia de somas em várias integrais menores.

∫ 0 24 0,004 t 2 + 0,02 t + 13   d t = ∫ 0 24 0,004 t 2   d t + ∫ 0 24 0,02 t   d t + ∫ 0 24 13   d t

Além disso, temos que lembrar que as constantes não interferem na integral. Logo, podemos tirar elas de dentro da integral.

0,004 ⋅ ∫ 0 24 t 2   d t + 0,02 ⋅ ∫ 0 24 t   d t + ∫ 0 24 13   d t

Beleza, para começar, vamos integrar a constante 13 que é mais fácil. Como essa constante está sozinha dentro da integral, a gente deve dar um t para fazer companhia para ela!

0,004 ⋅ ∫ 0 24 t 2   d t + 0,02 ⋅ ∫ 0 24 t   d t + 13 ⋅ t 0 24

Você pode notar que os números pequenos permanecem na integração. Isso serve para lembrar que mais pra frente vamos precisar usar esses limites de integração.

Mas agora ainda não é a hora! Primeiro, ainda vamos integrar as outras duas potências de t no próximo passo.

Passo 3

Para integrar o t elevado a algum número, usamos a regra abaixo.

∫ t n d x = t n + 1 n + 1

O n dessa regra é o expoente do t na integral. Quando só temos um t dentro da integral sem nenhum expoente a mostra, o expoente vale 1 ! Então, nesse caso, n vale 1 .

Aplicando a nossa regrinha na nossa integral de t 2 e na integral de t , encontramos:

0,004 ⋅ t 3 3 0 24 + 0,02 ⋅ t 2 2 0 24 + 13 ⋅ t 0 24

Finalmente vamos usar os limites de integração!

Fazemos isso, substituindo o t pelos dois limites! Em outras palavras, nós vamos trocar os t ' s por um limite de cada vez. Primeiro nós vamos trocar o t pelo limite de cima (pelo 24 ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo 0 ). A regra de troca do t é mostrada abaixo.

l i m i t e   d e   c i m a - l i m i t e   d e b a i x o

Usando isso, a expressão vira:

0,004 ⋅ 24 3 3 - 0 3 3 + 0,02 ⋅ 24 2 2 - 0 2 2 + 13 ⋅ 24 - 13 ⋅ 0

Excluindo os termos com zero, fica:

0,004 ⋅ 24 3 3 + 0,02 ⋅ 24 2 2 + 13 ⋅ 24

Substituindo as potências de 24 e multiplicando 24 ⋅ 13 , achamos:

0,004 ⋅ 13824 3 + 0,02 ⋅ 576 2 + 312

Agora, podemos calcular o valor das frações, dividindo 13824 por 3 e 576 por 2 .

0,004 ⋅ 4608 + 0,02 ⋅ 288 + 312 = 336,192

O resultado deu 336,192 . Logo, o custo em dólares $ de cada artigo durante o período de 24 meses vale:

C 24 = $ 336,19

Foi! Chegamos ao final de mais um exercício!

Resposta

O custo unitário é $ 336,19 .

Exercício Resolvido #4

Se

F x = ∫ 1 x f t d t

Onde

f t = ∫ 1 t 2 1 + u 4 u   d u

Determine F ' ' ( 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Quando batemos o olho fica um pouco assustador né?! Mas vamos lembrar da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte

Se

F ( x ) = ∫ a x f t d t

Então

F ' ( x ) = f ( x )

Basta trocarmos t por x na expressão de f ( t ) , então

F ' x = ∫ 1 x 2 1 + u 4 u   d u

Passo 2

Agora que encontramos F ' ( x ) precisamos encontrar F ' ' ( x ) , para isso, basta usarmos mais uma vez o Teorema Fundamental do Cálculo. Então, para resolver, vamos dizer o seguinte, seja

w = x 2

Temos que

d w d x = 2 x

Então, se substituirmos em F ' ficamos com

F ' = ∫ 1 w 1 + u 4 u   d u

Passo 3

Agora, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Calculo, mas note que o limite superiore não é x , mas sim w , então precisamos usar a regra da cadeia para encontrarmos F ' ' ( x ) .

F ' ' x = 1 + w 4 w d w d x = 1 + x 2 4 x 2 ⋅ 2 x = 2 1 + x 8 x

Passo 4

Agora que já encontramos F ' ' ( x ) basta fazermos x = 2 para encontrar F ' ' ( 2 )

F ' ' 2 = 2 1 + 2 8 2 = 1 + 256 = 257