Teoria

O que é uma assíntota?

Fala aí, vamos conversar um pouquinho sobre assíntotas. E esse assunto pode ficar mais claro quando olhamos para o gráfico de algumas funções.

Dá só uma olhadinha aqui no gráfico da função f x = e - x + 2

O que será que acontece se a gente colocar um valor de x muuuuito grande?

Pelo gráfico parece que a nossa função vai ficando cada vez mais perto da reta y = 2 , né?

Na realidade, o que acontece é que a nossa função fica muito perto do y = 2 , mas nunca chega a encostar nessa reta. Quando isso acontece dizemos que a reta y = 2 é uma assíntota de y = e - x + 2 , porque a função chega pertinho do dela, mas nunca encosta ou a atravessa.

Ou seja, podemos dizer que uma assíntota horizontal ou vertical nada mais é do que uma reta imaginária que delimita a aproximação de uma função no gráfico à medida que ele cresce ou decresce.

Assíntotas Horizontais

No exemplo aí de cima a gente chegou à conclusão de que a reta y = 2 era um assíntota, mas ele é uma reta horizontal correto? Então, ela será uma assíntota horizontal.

Olhando o gráfico fica fácil de ver se a função se aproxima de algum valor, mas nem sempre teremos o gráfico pra ver. Então como poderemos descobrir se a função possui alguma assíntota horizontal?

Fica tranquilo que vamos achar um jeitinho.

Você percebeu que para achar nossa assíntota a gente pensou em pegar um x   muuuuito grande? Para representar esse x muuuuuuito grande podemos usar o limite da função quando x tende ao infinito. Assim:

lim x → ∞ ⁡ f x

lim x → ∞ ⁡ e - x + 2

Resolvendo esse limite encontramos:

1 e ∞ + 2 = 2

Maneiro! Chegamos que o nosso limite é igual a 2 e essa é justamente nossa assíntota horizontal.

Beleza, mas esse não é o único caso. Veja essa outra função:

f x = e x + 4

Essa reta vermelha em y = 4 também é uma assíntota horizontal, mas ela acontece quando x vai para menos infinito.

lim x → - ∞ ⁡ e x + 4 = 4

Então, quando a gente não tem o gráfico e queremos encontrar as assíntotas de uma função, nós pegamos um x muuuuito grande nas duas direções, ou seja, x   tendendo ao infinito positivo e negativo.

Então, quer dizer que para acharmos uma assíntota horizontal basta a gente resolver dois limites, quando x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = b

Onde b ∈ R e que será o valor da assíntota.

E quando x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = b

Onde b ∈ R .

Se um ou os dois limites resultarem em um valor finito, ou seja, não explodirem pra mais ou menos infinito, quer dizer que encontramos uma assíntota horizontal.

Só fica atento que não é necessário que os dois limites sejam iguais a uma constante para ser uma assíntota, mas apenas um deles. Caso os dois limites resultem em constantes diferentes, teremos duas assíntotas, uma em cada constante.

Assíntotas Verticais

A ideia das assíntotas verticais é super parecida com a das horizontais, olha só o seguinte gráfico da função y = 1 x   -   1 :

Se a gente olhar com calma quando temos um y muuuito grande (tanto positivo quanto negativo) parece que a nossa função praticamente encosta na reta x = 1 .

Então dizemos que essa reta é uma assíntota vertical.

Mas parece que de novo a gente resolveu só olhando pro gráfico, como faz pra resolver se não tivermos ele?

Para isso vamos procurar o valor de x que faz a nossa função ir para mais ou menos infinito. No nosso caso temos um denominador que quando vai a zero, faz nossa função explodir.

Assim, procuramos qual o valor que faz isso acontecer. Como a função é f x = 1 x - 1 . Assim o denominador vai a zero quando x tende a 1 pela esquerda ou pela direita. Então fazemos:

lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 = - ∞

lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 = + ∞

Então, para achar as assíntotas verticais, vamos basicamente procurar valores de x que podem dar problema no nosso domínio. Devemos ficar ligados principalmente em casos em que o denominador resulta em 0 ou quando dentro de um logaritmo a expressão assume valor zero.

Sendo assim, depois de achar esses valores que dão problema na função, a gente resolve o limite com x   tendendo pra eles tanto pela direita quanto pela esquerda:

lim x → a - ⁡ f ( x )

lim x → a + ⁡ f ( x )

Se um desses dois limites explodirem para mais ou para menos infinito, ou seja, se o limite tendendo a a pela esquerda ou o limite tendendo a a pela direita resultarem em + ∞ ou - ∞ , é só partir para o abraço, porque você terá encontrado uma assíntota vertical naquele sentido 😉.

Passo a passo

Para a gente achar possíveis assíntotas horizontais nós temos que:

  1. Fazer os limites da nossa função com x tendendo a mais e menos infinito;
  2. Se pelo menos um desses limites resultar em uma constante c , onde c ∈ R . Teremos que a reta y = c é uma assíntota horizontal;
  3. Se os limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas;
  4. Se os dois limites explodirem para mais ou pra menos infinito, não temos assíntotas horizontais.

Para a gente achar possíveis assíntotas verticais nós temos que:

  1. Achar valores de x   que dão problema na nossa função, ou seja, que não estão no domínio dela (lembrar dos principais casos);
  2. Fazer os limites laterais da função com x tendendo aos valores problemáticos;
  3. Se um desses limites laterais explodirem para mais ou menos infinito, quer dizer que temos uma assíntota vertical;
  4. Se os dois limites resultarem em constantes, não temos assíntotas verticais.

Com esse passo a passo a gente acha qualquer assíntota que a função possa ter. Então, pra ficar fera, vamos partir para os exercícios!!!

Assíntotas Verticais

Passo a passo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Encontre as assíntotas horizontais e verticais da função f x = 6 x + 1 x - 1 .

Passo 1

Opa, tudo bom? Vamos ver quem são essas assíntotas!

Beleza pessoal, pra começar essa questão a gente tem que lembrar das definições de assíntotas horizontais e verticais.

Primeiro vamos lembrar da aparência de cada uma delas com um exemplinho:

A imagem já ajuda bastante a entender as definições:

  • A assíntota horizontal acontece nesse caso aqui:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = A l g u m   v a l o r   f i n i t o

lim x → ± ∞ ⁡ f x =   ?

Repare que o gráfico da função quase toca na reta horinizal, mas isso nunca acontece, mas quanto maior for o nosso valor de x , mais próxima dessa reta nossa função estará. Então, quando queremos descobrir qual a assíntota horizontal, o que queremos na verdade é saber qual o valor dessa reta, que é o limite da função quando x → ± ∞ .

  • E a assíntota vertical acontece nesse aqui:

lim x → Valor Finito ⁡ f x = ± ∞

lim x → ? ⁡ f x = ± ∞

Agora a pergunta já será diferente, o que queremos saber é, para que valor o x tende quando nossa função vai para ± ∞ . Esse valor de x será a reta vertical, que quase encosta no gráfico da nossa função.

Passo 2

Vamos começar calculando as assíntotas horizontais, que geralmente são mais fáceis de encontrar.

É só calcular o limite quando x tende a mais/menos infinito. Começamos com + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ 6 x + 1 x - 1

Isso é o limite da divisão de dois polinômios. O que a gente pode fazer nesses casos? Uma boa tentativa é dividir tudo pela maior potência.

Nesse caso a maior potência é x 1 = x , então vamos dividir por x em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ 6 x x + 1 x x x - 1 x

l i m x → + ∞ = 6 + 1 x 1 - 1 x

Agora o que acontece quando x tende ao infinito?

lim x → + ∞ ⁡ 6 + 1 x 1 - 1 x

Quando x fica muito grande, aquelas duas frações vão tender a zero! Então:

lim x → + ∞ ⁡ 6 + 1 x 1 - 1 x = 6 + 0 1 - 0 = 6

E o resultado vai ser exatamente o mesmo com - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ 6 + 1 x 1 - 1 x = 6 + 0 1 - 0 = 6

Então a função tem duas assíntotas horizontais em y = 6 :

Passo 3

Agora vamos procurar as assíntotas verticais. Esse tipo de assíntota aparece quando a função “explode” para cima ou para baixo perto de algum ponto:

f x ⁡ = 6 x + 1 x - 1

Como que uma função pode explodir desse jeito? Bom, ou o numerador fica muito grande, ou o denominador fica muito pequeno.

O numerador só fica muito grande quando x tende ao infinito, mas a gente já viu que isso caiu numa assíntota horizontal.

Então como a gente pode fazer pro denominador ficar muito pequeno? Pra isso, é só ver qual valor de x faz ele se aproximar de zero!

x - 1 = 0

x = 1

Passo 4

Mas pra provar mesmo que a gente tem uma assíntota nesse ponto, temos que calcular o limite de x tendendo a ele:

lim x → 1 ⁡ 6 x + 1 x - 1

E para esse limite a gente vai ter que analisar os limites laterais, ou seja l i m x → 1 - e l i m x → 1 +

Quando o x se aproxima do 1 pela esquerda, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 -         ⇒           x = 0,9       ,       0,99       ,       0,99999       ,     …

Ou seja, ele sempre fica abaixo do 1 , e por isso x - 1 fica sempre negativo. Por isso, quando a função explode, ela explode pra baixo.

lim x → 1 - ⁡ 6 x + 1 x - 1 = - ∞

Quando o x se aproxima do 1 pela direita, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 +         ⇒           x = 1,1       ,       1,001       ,       1,0000001       ,     …

Então ele sempre fica acima do 1 , e o x - 1 vai ficar sempre positivo, e aí a função vai explodir pra cima:

lim x → 1 + ⁡ 6 x + 1 x - 1 = + ∞

Assim, provamos que a função tem duas assíntotas verticais em x = 1 .

Passo 5

Pra garantir que não vai sobrar dúvida, vamos fazer o gráfico da função, mostrando as assíntotas verticais em x = 1 e as horizontais em y = 6 :

Resposta

A função tem assíntotas horizontais em y = 6 , e assíntotas verticais em x = 1 .

Exercício Resolvido #2

Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.

f x = 3 x x - 1

Passo 1

Opaa! Vamos continuar com nossos exercícios de assíntotas!

Lembrando que a gente acha as assíntotas fazendo isso aqui

  • A assíntota horizontal acontece nesse caso aqui:
  • lim x → ± ∞ ⁡ f x = A l g u m   v a l o r   f i n i t o

    A pergunta é: Pra que valor a função vai quando x tende a ± ∞ ?

    lim x → ± ∞ ⁡ f x =   ?

  • A assíntota vertical acontece nesse aqui:

lim x → Valor Finito ⁡ f x = ± ∞

E a pergunta é: x tende pra que valor quando a função vai pra ± ∞ ?

lim x → ? ⁡ f x = ± ∞

Passo 2

As assíntotas verticais são aquelas que ocorrem perto de pontos “problemáticos” da função. Esses pontos problemáticos são justamente os pontos de descontinuidade, que podem ser denominadores dando zero, raiz negativa, ...

No caso da função dada,

f x = 3 x x - 1

A única restrição que temos que analisar é quando o denominador da fração é zero. Isso ocorre quando:

x - 1 = 0

x = 1

Então, como queremos achar as assíntotas verticais da função, precisaremos ver os limites laterais quando x tende a 1 , ou seja, l i m x → 1 - e l i m x → 1 +

Quando o x se aproxima do 1 pela esquerda, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 -         ⇒           x = 0,9       ,       0,99       ,       0,99999       ,     …

Ou seja, ele sempre fica cada vez mais próximo, porém sempre abaixo do 1 , e por isso x - 1 fica sempre negativo. Por isso, quando a função explode, ela explode pra baixo.

lim x → 1 - 3 x x - 1 ⁡ = 3 0 -   = - ∞

Quando o x se aproxima do 1 pela direita, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 +         ⇒           x = 1,1       ,       1,001       ,       1,0000001       ,     …

Então ele sempre fica cada vez mais próximo, porém sempre acima do 1 , e o x - 1 vai ficar sempre positivo, e aí a função vai explodir pra cima:

l i m x → 1 + 3 x x - 1 = 3 0 + = + ∞

Portanto, x = 1 é assíntota vertical tanto pela esquerda quanto pela direita.

Passo 3

Agora vamos ver as assíntotas horizontais, aquelas que ocorrem com x tendendo a ± ∞ .

Primeiro para x → - ∞

l i m x → - ∞ 3 x x - 1 =

Vamos apenas resolver esse limite dividindo em cima e embaixo por x

l i m x → - ∞ 3 x x x x - 1 x

= l i m x → - ∞ 3 1 - 1 x

= 3 1 - 0 = 3

Show, agora vamos fazer o limite de x → + ∞

l i m x → + ∞ 3 x x - 1

l i m x → + ∞ 3 x x x x - 1 x

l i m x → + ∞ 3 1 - 1 x

3 1 - 0 = 3

Portanto, há uma assíntota horizontal em y = 3 .

Resposta

Verticais:

x = 1

Horizontais:

y = 3

Exercício Resolvido #3

Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função

f x = x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

Passo 1

Opaa, fala aí! Vamo que vamo fazer mais uma questão de assíntotas!

Antes de qualquer coisa, vamos analisar o numerador e denominador de f ( x ) e tentar abrir em um produto de polinômios irredutíveis. Isso vai facilitar os cálculos mais a frente, então vamos simplificar um pouco.

Começando com o numerador:

x 2 - 5 x

Podemos colocar x em evidencia, assim:

x ( x - 5 )

Agora para o denominador, vamos fazer Baskhara

x 2 - 6 x + 5

Sendo a = 1 , b = - 6 e c = 5

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r = - - 6 ± - 6 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 5 2 ⋅ 1

Isso fica

6 ± 16 2

Que nos dá duas raízes

r 1 = 5     e     r 2 = 1

Com as raízes em mãos, podemos reescrever nosso polinômio usando a x - r 1 ( x - r 2 )

Então nosso denominador se transforma em:

x 2 - 6 x + 5 = x - 1 x - 5

Com isso, podemos reescrever f ( x ) , dessa forma:

f x = x x - 5 x - 1 x - 5

Então, simplificando, temos:

f x = x x - 1

Bem mais de boinhas, né??

Maaas, mesmo cortando o x - 5 em cima e embaixo, x = 5 está fora do domínio, por zerar o denominador original.

Ok, vamos procurar as assíntotas agora.

Passo 2

Seguinte, Assíntotas verticais aparecem onde o domínio não está definido e as horizontais aparecem quando calculamos o limite de x → ± ∞ .

Começando com as verticais, o domínio não está definido em x = 1

Quando o x se aproxima do 1 pela esquerda, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 -         ⇒           x = 0,9       ,       0,99       ,       0,99999       ,     …

Ou seja, ele sempre fica abaixo do 1 , e por isso x - 1 fica sempre negativo. Por isso, quando a função explode, ela explode pra baixo.

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x x - 1 = - 1 0

= - ∞

Quando o x se aproxima do 1 pela direita, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 +         ⇒           x = 1,1       ,       1,001       ,       1,0000001       ,     …

Então ele sempre fica acima do 1 , e o x - 1 vai ficar sempre positivo, e aí a função vai explodir pra cima:

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x x - 1 = 1 0

= + ∞

Assíntota vertical em x = 1 .

Mas você deve tá se perguntando “e que raios aconteceu com o 5 que também ta fora do domínio??”

É normal ficar nessa dúvida, então vou te mostrar o que aconteceu com o 5 , a gente viu que x = 5 também não está no domínio da função original, já que aparece um x - 5 no denominador de f . Porém, o que acontece é que, ao calcularmos seu limite quando x → 5 veremos que ele converge para um valor, e não para ± ∞ , não consistindo em uma assíntota vertical!

lim x → 5 - ⁡ f x = lim x → 5 - ⁡ x x - 1 = 5 4

lim x → 5 + ⁡ f x = lim x → 5 + ⁡ x x - 1 = 5 4

Passo 3

Agora para as assíntotas horizontais

Vamos usar o limite de f ( x ) em x → + ∞ e em x → - ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x x - 1

= lim x → + ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

= 1

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x x - 1

= lim x → - ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

= 1

Achamos uma mesma assíntota horizontal, y = 1 .

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : x = 1

A s s .   h o r i z o n t a l : y = 1

Exercício Resolvido #4

Considerando a função g x = 1 x - 1 2

Determine todas as assíntotas verticais e horizontais ao seu gráfico.

Passo 1

E aiii! Vamos continuar com nossos exercícios para ficar fera em assíntotas!

Para descobrir as assíntotas verticais devemos pensar em descontinuidades no domínio. Já para as assíntotas horizontais devemos procurar os limites de g ( x ) com x → ± ∞ .

Passo 2

Começando com as assíntotas verticais, notamos que o domínio não está definido em x = 1 , valor que zeraria o denominador de g ( x ) .

g x = 1 x - 1 2

Vamos ver então os limites laterais quando x se aproxima de 1 pra ver o que acontece!

Quando o x se aproxima do 1 pela esquerda, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 -         ⇒           x = 0,9       ,       0,99       ,       0,99999       ,     …

Ou seja, ele sempre fica abaixo do 1 , e por isso x - 1 fica sempre negativo. Por isso, quando a função explode, ela explode pra baixo.

Quando o x se aproxima do 1 pela direita, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 +         ⇒           x = 1,1       ,       1,001       ,       1,0000001       ,     …

lim x → 1 + ⁡ g x = lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 2

Então a gente tem

1 0 2

= + ∞

lim x → 1 - ⁡ g x = lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 2

1 - 0 2

Como qualquer número elevado ao quadrado é positivo, ficamos com

1 0 = + ∞

Assim, vemos que para x = 1 nossa função explode para ± ∞ . Então o 1 é uma assíntota vertical.

Passo 3

Vamos pensar agora nas assíntotas horizontais usando o limite para em + ∞ e em - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ 1 x - 1 2 = 1 ∞

= 0

lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 1 2 = 1 - ∞ 2 = 1 ∞

= 0

Achamos a mesma assíntota nos dois limites, y = 0 .

Resposta

A s s í n t o t a     v e r t i c a l : x = 1

A s s í n t o t a     h o r i z o n t a l : y = 0

Exercício Resolvido #5

Calcule as assíntotas horizontais e verticais da função

f x = x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Passo 1

Opa, tudo certinho? Espero que sim! Vamos seguir com nossos estudos!

Bora lá começar então pelas assíntotas horizontais. Pra encontra-las, basta fazer os limites:

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Pra que a assíntota exista, o limite deverá ser igual à um valor finito e esse valor será nossa assíntota.

Para calcular esses limites, podemos organizar melhor a função fatorando no numerador e o denominador:

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Pra isso, vamos colocar x 2 em evidencia em cima e embaixo:

= lim x → ± ∞ ⁡ x 2 1 + 4 x + 2 x 2 x 2 1 - 1 x 2

Assim, podemos cortando os x 2 , e teremos:

= lim x → ± ∞ ⁡ 1 + 4 x + 2 x 2 1 - 1 x 2

Agora podemos aplicar o limite de x → ± ∞

1 + 4 ± ∞ + 2 ± ∞ 2 1 - 1 ± ∞ 2

Substituindo x → ± ∞ nas frações, teremos n ú m e r o ∞ = 0 . Assim:

= 1 + 0 + 0 1 - 0 = 1

Perfeito! Chegamos à conclusão então que y = 1 é uma assíntota vertical

Passo 2

Agora pra fechar a questão a gente parte para as assíntotas verticais.

Aqui vamos fazer os limites laterais e descobrir para que valores x teremos o limite da função indo para ± ∞ .

Mas para achar quais valores de x vamos usar, olha bem a função:

f x = x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Como ela é uma fração, podemos desconfiar que o limite irá para ± ∞ quando o denominador for para zero.

Então vamos fazer os limites laterais exatamente pros pontos que zeram o denominador de f x , isto é, x = ± 1 .

Então x = 1 e   x = - 1 são possíveis pontos de assíntotas verticais!

Passo 3

Vamos testar. Para x = - 1

lim x → - 1 - ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

= - 1 0 + = - ∞

lim x → - 1 + ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

= - 1 0 - = + ∞

Show, deu infinito, então x = - 1 é assíntota vertical!!

Passo 4

E pra x = 1 :

lim x → 1 - ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

= 7 0 - = - ∞

lim x → 1 + ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1