Assíntotas

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Unicamp, Cálculo 1, 2019.2, P1, Questão 5.

Encontre as assíntotas horizontais e verticais da função f x = 6 x + 1 x - 1 .

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Passo 1

Beleza pessoal, pra terminar essa prova a gente tem que lembrar das definições de assíntotas horizontais e verticais.

Primeiro vamos lembrar da aparência de cada uma delas:

A imagem já ajuda bastante a entender as definições: a assíntota horizontal acontece nesse caso aqui:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = A l g u m   v a l o r   f i n i t o

E a assíntota vertical acontece nesse aqui:

lim x → Valor Finito ⁡ f x = ± ∞

Passo 2

Vamos começar calculando as assíntotas horizontais, que geralmente são mais fáceis de encontrar.

É só calcular o limite quando x tende a mais/menos infinito. Começamos com + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ 6 x + 1 x - 1

Isso é o limite da divisão de dois polinômios. O que a gente pode fazer nesses casos? Uma boa tentativa é dividir tudo pela maior potência.

Nesse caso a maior potência é x 1 = x , então vamos dividir por x em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ 6 x x + 1 x x x - 1 x = 6 + 1 x 1 - 1 x

Agora o que acontece quando x tende ao infinito?

lim x → + ∞ ⁡ 6 + 1 x 1 - 1 x

Quando x fica muito grande, aquelas duas frações vão tender a zero! Então:

lim x → + ∞ ⁡ 6 + 1 x 1 - 1 x = 6 + 0 1 - 0 = 6

E o resultado vai ser exatamente o mesmo com - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ 6 + 1 x 1 - 1 x = 6 + 0 1 - 0 = 6

Então a função tem assíntotas horizontais em y = 6 :

Passo 3

Agora vamos procurar as assíntotas verticais. Esse tipo de assíntota aparece quando a função “explode” para cima ou para baixo perto de algum ponto:

f x ⁡ = 6 x + 1 x - 1

Como que uma função pode explodir desse jeito? Bom, ou o numerador fica muito grande, ou o denominador fica muito pequeno.

O numerador só fica muito grande quando x tende ao infinito, mas a gente já viu que isso caiu numa assíntota horizontal.

Então como a gente pode fazer pro denominador ficar muito pequeno? Fácil! É só ver qual valor de x faz ele se aproximar de zero!

x - 1 = 0

x = 1

Passo 4

Mas pra provar mesmo que a gente tem uma assíntota nesse ponto, temos que calcular o limite:

lim x → 1 ⁡ 6 x + 1 x - 1

Quando o x se aproxima do 1 pela esquerda, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 -         ⇒           x = 0,9       ,       0,99       ,       0,99999       ,     …

Ou seja, ele sempre fica abaixo do 1 , e por isso x - 1 fica sempre negativo. Por isso, quando a função explode, ela explode pra baixo.

lim x → 1 - ⁡ 6 x + 1 x - 1 = - ∞

Quando o x se aproxima do 1 pela direita, ele se comporta mais ou menos assim:

x → 1 +         ⇒           x = 1,1       ,       1,001       ,       1,0000001       ,     …

Então ele sempre fica acima do 1 , e o x - 1 vai ficar sempre positivo, e aí a função vai explodir pra cima:

lim x → 1 + ⁡ 6 x + 1 x - 1 = + ∞

Beleza, provamos que a função tem assíntotas verticais em x = 1 .

Passo 5

Pra garantir que não vai sobrar dúvida, vamos fazer o gráfico da função, mostrando as assíntotas verticais em x = 1 e as horizontais em y = 6 :

Resposta

A função tem assíntotas horizontais em y = 6 , e assíntotas verticais em x = 1 .

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo IA-Lista 4, GMA, 2008-1, Questão 12

Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.

f x = 3 x x - 1

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Passo 1

As assíntotas verticais são aquelas que ocorrem perto de pontos “problemáticos” da função. Esses pontos problemáticos são justamente os pontos de descontinuidade. No caso da função dada, a única restrição que temos que analisar é quando o denominador da fração é zero. Isso ocorre quando:

x - 1 = 0

x = 1

Passo 2

Então, como queremos achar as assíntotas verticais da função, vamos ver os limites laterais quando x tende a 1 .

lim x → 1 - 3 x x - 1 ⁡ = 3 0 -   = - ∞

l i m x → 1 + 3 x x - 1 = 3 0 + = + ∞

Portanto, x = 1 é assíntota vertical tanto pela esquerda quanto pela direita.

Passo 3

Agora vamos ver as assíntotas horizontais, aquelas que ocorrem com x tendendo a ± ∞ .

l i m x → - ∞ 3 x x - 1 = l i m x → - ∞ 3 x x x x - 1 x = l i m x → - ∞ 3 1 - 1 x = 3 1 - 0 = 3

l i m x → + ∞ 3 x x - 1 = l i m x → + ∞ 3 x x x x - 1 x = l i m x → + ∞ 3 1 - 1 x = 3 1 - 0 = 3

Portanto, há uma assíntota horizontal em y = 3 .

Resposta

Verticais:

x = 1

Horizontais:

y = 3

Exercício Resolvido #3

UNICAMP - Cálculo 1 - P1 2015 Noturno – 3

Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função

f x = x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

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Passo 1

Antes de qualquer coisa vou analisar os dois termos (numerador e denominador) de f ( x ) e tentar abrir em um produto de polinômios irredutíveis.

x 2 - 5 x = x ( x - 5 )

x 2 - 6 x + 5 = x - 1 x - 5

Podemos simplificar f ( x ) , dessa forma:

f x = x x - 5 x - 1 x - 5 = x x - 1

Mesmo cortando o x - 5 em cima e embaixo, x = 5 está fora do domínio, por zerar o denominador original.

Ok, vamos procurar as assíntotas agora.

Passo 2

Seguinte, Assíntotas verticais aparecem onde o domínio não está definido e as horizontais aparecem quando usamos o limite em ± ∞ .

Começando com as verticais, o domínio não está definido em x = 1

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x x - 1 = 1 0

= - ∞

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x x - 1 = 1 0

= + ∞

Assíntota vertical em x = 1 .

OBS: Repara que x = 5 também não está no domínio da função original, já que aparece um x - 5 no denominador de f . Porém, o que acontece é que, ao calcularmos seu limite quando x → 5 veremos que ele converge para um valor, e não para ± ∞ , não consistindo em uma assíntota vertical!

lim x → 5 - ⁡ f x = lim x → 5 - ⁡ x x - 1 = 5 4

lim x → 5 + ⁡ f x = lim x → 5 + ⁡ x x - 1 = 5 4

Passo 3

Vamos usar o limite de f ( x ) em x → + ∞ e em x → - ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x x - 1

= lim x → + ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

= 1

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x x - 1

= lim x → - ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

= 1

Achamos uma mesma assíntota horizontal, y = 1 .

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : x = 1

A s s .   h o r i z o n t a l : y = 1

Exercício Resolvido #4

Esboço de Curvas

Considere a função

( b ) Determine todas as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de

g x = 1 x - 1 2

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Passo 1

Para descobrir as assíntotas verticais devemos pensar em descontinuidades no domínio. Já para as horizontais devemos procurar os limites de g ( x ) em ± ∞ .

Começando com as assíntotas verticais, notamos que o domínio não está definido em x = 1 , valor que zeraria o denominador de g ( x ) .

lim x → 1 + ⁡ g x = lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 2

= + ∞

lim x → 1 - ⁡ g x = lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 2

= + ∞

Passo 2

Vamso pensar nas assíntotas horizontais usando o limite em + ∞ e em - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ 1 x - 1 2 = 1 ∞

= 0

lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 1 2 = 1 ∞

= 0

Achamos a mesma assíntota nos dois limites, y = 0 .

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : x = 1

A s s .   h o r i z o n t a l : y = 0

Exercício Resolvido #5

Calcule as assíntotas horizontais e verticais da função

f x = x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

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Passo 1

Bora lá começar então pelas assíntotas horizontais. Pra gente achar elas, basta fazer os limites:

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x