Indeterminações com x Constante

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Resolva o limite:

lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x - 5

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Passo 1

E aí! Pronto para mais uma etapa nessa missão de entender tudo de limite?

Primeiro, precisamos lembrar do primeiro passo que sempre precisamos seguir para resolver qualquer questão de limite!

Relaxa, porque é normal não lembrar de tudo no início!

O primeiro passo é substituir x pelo valor para onde x está indo. Nessa questão, x está caminhando em direção a 5 . Logo, precisamos substituir o x por 5 .

lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x - 5   =   5 2 - 25 5 - 5   = 25 - 25 0 = 0 0

O resultado deu 0 0 (zero dividido por zero). No entanto, não é possível calcular quanto vale zero dividido por zero 0 0 . Não dá pra dividir um número por zero! Por exemplo, podemos dividir 10 balas por 2 pessoas (cada pessoa fica com 5 balas). Podemos dividir 10 balas por 1 pessoa (a pessoa fica com as 10 balas). Mas como vamos dividir 10 balas por 0 pessoas?

Como vemos pela figura acima, é impossível dividir por 0! Não temos pessoa para fazer essa divisão! Por isso, o resultado dessa divisão fica indeterminado e chamamos a divisão 0 0 de indeterminação. Ou seja, não podemos responder a questão com 0 0 !

Passo 2

O primeiro passo mostrou que ainda não podemos substituir x por 5 , porque isso faz a parte de baixo da fração x - 5 valer zero 5 - 5 = 0 . Ou seja, essa isso gera uma indeterminação 0 0 ! Logo, antes de substituir x por 5 , temos que nos livrar do x - 5 presente na parte de baixo da fração! Dessa forma, o resultado final não será uma divisão por zero!

Para o x - 5 desaparecer da parte de baixo da fração, temos que fazer x - 5 aparecer na parte de cima da equação! Assim, vamos poder cortar o x - 5 de baixo com o x - 5 de cima!

Para isso, vou te lembrar de um negócio chamado produto notável conjugado!

a 2 - b 2   = ( a + b ) ( a - b )

Esse produto notável é uma fórmula que faz números elevados ao quadrado ( a 2 e b 2 ) virarem somas e subtrações simples ( a + b ) e ( a - b ) . Usar esse produto notável pode funcionar para o nosso caso, porque o termo x 2 - 25 se parece muito com o termo a 2 - b 2 do produto notável.

x 2 - 25 = a 2 - b 2

A primeira vista você pode não concordar com isso, porque em a 2 - b 2 existem dois números elevados ao quadrado ( a 2 e b 2 ) e em x 2 - 25 apenas o x está elevado ao quadrado. No entanto, se a gente se lembrar que 25 = 5 2 , a semelhança vai ficar mais clara.

x 2 - 25 = x 2 - 5 2

Com essa sacada conseguimos perceber quanto valem a e b para o nosso caso.

x 2 ⏟ a 2 - 5 2 ⏟ b 2       ⟹       a = x b = 5

Usando esse produto notável, a gente consegue reescrever x 2 - 25 e de quebra fazer o termo x - 5 aparecer na parte de cima da fração!

x 2 - 25 = ( x + 5 ) ( x - 5 )

Agora vamos reescrever o limite e ver o que sai.

Passo 3

Reescrevendo, ficamos com isso aqui:

lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x - 5 = lim x → 5 ⁡ ( x + 5 ) ( x - 5 ) x - 5

Vou cortar o x - 5 , ok?

lim x → 5 ⁡ ( x + 5 ) ( x - 5 ) x - 5 =   lim x → 5 ⁡ x + 5 = 5 + 5 = 10

Substituindo novamente x por 5 :

lim x → 5 ⁡ x + 5 = 5 + 5 = 10

Uhuuulll! Resultado em mãos, acabou a questão.

Resposta

lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x - 5 = 10

Exercício Resolvido #2

Calcule o limite abaixo usando as propriedades operatórias:

lim y → - 2 ⁡ y 3 + 8 y + 2

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Passo 1

Faaala! Como estão os estudos? Decolando?!

Se liga! Esse é um exercício de limite. Qual é o primeiro passo de todo exercício de limite?

Substituir a variável pela tendência da variável! Nesse caso, a variável é o y . A tendência da variável y é valer - 2 y → - 2 . Logo, temos que substituir y por - 2 :

lim y → - 2 ⁡ y 3 + 8 y + 2 = ( - 2 ) 3 + 8 ( - 2 ) + 2 = 0 0

É, deu ruim! O resultado dessa substituição foi uma divisão por zero 0 0 . Não é possível dividir um número por zero! Essa divisão é uma indeterminação. Vamos ter que encontrar um outro método de solução!

Passo 2

Se tentarmos descobrir o que deu errado nessa substituição de y por - 2 , veremos que a culpa de tudo é da parte de baixo da fração y + 2 ! Como y + 2 = 0 , quando y = - 2 , o resultado vira uma divisão por zero impossível de ser calculada! Logo, antes de substituir y por - 2 , temos que nos livrar do y + 2 que fica embaixo da fração!

Para o y + 2 desaparecer da parte de baixo da fração, temos que fazer y + 2 aparecer na parte de cima y 3 + 8 ! Se fizermos isso, vamos poder cortar o y + 2 debaixo com o y + 2 de cima! Em outras palavras, temos que reescrever a parte de cima da equação y 3 + 8 de forma que apareça y + 2 .

Fazemos isso através de um produto notável que não é muito comum.

a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - a b + b 2 )

Isso pode funcionar para o nosso caso, porque o termo y 3 + 8 do limite se parece muito com o termo a 3 + b 3 do produto notável! Olhando rápido você pode achar que os dois não se parecem, porque em a 3 - b 3 existem dois números elevados ao cubo ( a 3 e b 3 ) e em y 3 + 8 apenas o y está elevado ao cubo. No entanto, se a gente se lembrar que 8 = 2 3 :

y 3 + 8 = y 3 + 2 3

Usando essa informação, fica mais fácil de ver quanto a e b valem no nosso caso.

y 3 ⏟ a 3 + 2 3 ⏟ b 3       ⟹       a = y b = 2

Usando esse produto notável, a gente consegue reescrever y 3 + 8 e, de quebra, fazer o termo y + 2 aparecer na parte de cima da fração!

y 3 + 8 = ( y + 2 ) ( y 2 - 2 y + 4 )

Agora vamos reescrever o limite e substituir y por - 2 novamente.

Passo 3

Reescrevendo, ficamos com isso aqui:

lim y → - 2 ⁡ y 3 + 8 y + 2 = lim y → - 2 ⁡ y + 2 y 2 - 2 y + 4 y + 2 = lim y → - 2 ⁡ y 2 - 2 y + 4

Agora somos capazes de cortar o y + 2 !

lim y → - 2 ⁡ y + 2 y 2 - 2 y + 4 y + 2 = lim y → - 2 ⁡ y 2 - 2 y + 4

Substituindo novamente y por 2 , achamos o valor certo do limite!

lim y → - 2 ⁡ y 2 - 2 y + 4 = - 2 2 - 2 - 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Parabéééns! Mais um exercício concluído! Vamos que vamos!

Resposta

lim y → - 2 ⁡ y 3 + 8 y + 2 = 12

Exercício Resolvido #3

Calcule o limite:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 8 x + 16 x + 4

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Passo 1

Tudo certinho? Tá arrebentando nos exercícios? Então bora partir para um novo desafio!

Como em todo exercício de limite, o nosso primeiro passo deve ser substituir x pela tendência de x . A tendência de x é valer - 4 x → - 4 . Logo, temos que substituir x por - 4 . Mas espera aí! O que aquelas barras que aparecem na parte de baixo do limite x + 4 significam?

Essas barras são o módulo. O termo x + 4 da equação é lido como: “o módulo de x + 4 ”.

E o que o módulo faz de diferente?

O módulo é o seguinte: se o termo que estiver dentro do módulo for negativo, multiplicamos esse termo por - 1