Limites no Infinito

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Encontre o limite

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1

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Passo 1

E aí, tudo beleza?

Vamos ver esse limite aí!

Pensa o seguinte: quanto maior o número que tá dentro da raiz, maior vai ser o resultado da raiz né? Então vamos dar uma olhada no que tá dentro da nossa raiz aqui!

Passo 2

O nosso radicando aqui é:

x 2 + 1

Quanto maior for o valor de x , maior vai ser o valor de x 2 + 1 !

Então a medida que o nosso x aumenta, indo pro infinito, x 2 + 1 também vai pro infinito!

Passo 3

Consequentemente a nossa raiz x 2 + 1 também vai pro infinito😉

Ou seja...

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 = ∞ = ∞

E prontinho! Limite calculado! Uhuul!

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 = ∞

Exercício Resolvido #2

Encontre o limite

lim x → ∞ ⁡ x - x

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Passo 1

Olá! Tudo joia? Vamos ver mais esse limite no inifinito aqui? Bora!

Olha só, se a gente substituir aqui, vamos ter:

= ∞ - ∞

Isso aqui é uma indeterminação! Então a gente não pode ir por esse caminho...

E agora?

Calma, vem comigo!

Passo 2

Vamos dividir todos os termos por x . Vai ficr assim:

lim x → ∞ ⁡ x - x = l i m x → ∞ x x - x x

Lembra que x = x 1 2 , então a gente tem:

= l i m x → ∞   1 - x 1 2 x  

Passo 3

Nessa parte do x 1 2 x , a gente vai relembrar da propriedade de potenciação que diz que na divisão de potências de bases iguais, a gente repete a base e diminui os expoentes!

Então aqui vai ser:

x 1 2 x = x 1 2 - 1 = x 1 2 - 2 2 = x - 1 2

O que pode ser escrito como:

x - 1 2 = 1 x

Beleza! Vamos voltar isso pro limite agora😉

Passo 4

l i m x → ∞   1 - x 1 2 x =   l i m x → ∞   1 - 1 x

A gente pode separar assim:

l i m x → ∞   1 -   l i m x → ∞ 1 x

E aí a gente resolve os dois:

= 1 - 0

1

Prontinho! Calculamos o limite😉

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x - x = 1

Exercício Resolvido #3

Encontre o limite

lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ x

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Passo 1

E aí, tudo joinha?

Vamos ver esse aqui que é um caso um pouquinho especial!

Essa função cos ⁡ x é uma velha conhecida nossa né? Vamos lembrar um detalhezinho dela...

Lembra da imagem dessa função? Vem comigo...

Passo 2

Vamos dar uma olhada no gráfico dessa função pra a gente entender melhor o comportamento dela:

Pelo gráfico a gente consegue ver que a função é periódica, variando de - 1   a 1 . Tranquilo?

Passo 3

Beleza, que conclusão a gente chegou então?

Conforme x aumenta, a função cosseno não se aproxima de nenhum valor específico, mas oscila entre - 1 e 1 . Ou seja, esse limite aqui:

lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ x

Não existe! 😉

Resposta

lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ x = ∄

Exercício Resolvido #4

Encontre o limite lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x

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Passo 1

Para inciar a resolução usaremos a propriedade do produto, daí ficamos com

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x ⋅ lim x → ∞ cos ⁡ x

Resolveremos separadamente cada um dos limites

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x = 0

Como é uma multiplicação, não necessita resolver o outro limite, pois o primeiro deu zero e qualquer coisa que multiplicar zero, dará zero, então

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x = 0

Resposta

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x = 0

Exercício Resolvido #5

Determine o limite abaixo

lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 2 + 2 x + 5 + x 5 + 3 x 2 - x 2 x 5 - 4 x 3 + 1

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Passo 1

Substituindo, temos uma indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 2 + 2 x + 5 + x 5 + 3 x 2 - x 2 x 5 - 4 x 3 + 1 = ∞ ∞ + ∞ ∞

Vamos resolvê-las separadamente.

Passo 2

Para a primeira fração, o maior grau de cima é 3 e de baixo é 2 . Colocando-os em evidência fica assim:

lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 2 + 2 x + 5 = lim x → ∞ ⁡ x 3 1 - 1 x + 1 x 2 - 1 x 3 x 2 1 + 2 x + 5 x 2

= lim x → ∞ ⁡ ( x ) 1 - 1 x + 1 x 2 - 1 x 3 1 + 2 x + 5 x 2

Então, os termos com x no denominador zeram. Com x no numerador, explodem para infinito. Dessa maneira, ficamos assim:

lim x → ∞ ⁡ x 1 - 1 x + 1 x 2 - 1 x 3 1 + 2 x + 5 x 2 = ∞ 1 - 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0

Vemos, portanto, que este cara explode para ,

lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 2 + 2 x + 5 = ∞

Passo 3

Para o outro quociente, o maior grau é 5 , tanto no numerador quanto no denominador. Colocando-os em evidência fica assim:

lim x → ∞ ⁡ x 5 + 3 x 2 - x 2 x 5 - 4 x 3 + 1 = lim x → ∞ ⁡ x 5 1 + 3 x 3 - 1 x 4 x 5 2 - 4 x 2 + 1 x 5

= lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x 3 - 1 x 4 2 - 4 x 2 + 1 x 5

Então, os termos com x no denominador zeram. Dessa maneira, ficamos assim:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x 3 - 1 x 4 2 - 4 x 2 + 1 x 5 = 1 + 0 - 0 2 - 0 + 0

Passo 4

O primeiro cara explode para e o outro converge para 1 2 . Então,

lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 2 + 2 x + 5 + x 5 + 3 x 2 - x 2 x 5 - 4 x 3 + 1 = ∞

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 2 + 2 x + 5 + x 5 + 3 x 2 - x 2 x 5 - 4 x 3 + 1 = ∞

Exercício Resolvido #6

Calcule o limite:

lim x → ∞ ⁡ 2 x 5 3 - x 1 3 + 7 x 8 5 + 3 x + x

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Passo 1

Substituindo, nós caímos em indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ 2 x 5 3 - x 1 3 + 7 x 8 5 + 3 x + x = ∞ ∞

Passo 2

Para essa fração, o maior grau de cima é 5 3 e de baixo é 8 5 . Colocando-os em evidência fica (dica: colocando o termo em evidência em relação a outras potências de x basta subtrair o grau que se quer tirar, 5 3 ou 8 5 ):

lim x → ∞ ⁡ 2 x 5 3 - x 1 3 + 7 x 8 5 + 3 x + x = lim x → ∞ ⁡ x 5 3 2 - x - 4 3 + 7 x - 5 3 x 8 5 1 + 3 x - 3 5 + x - 11 10

= lim x → ∞ ⁡ x 5 3 2 - 1 x 4 3 + 7 x 5 3 x 8 5 1 + 3 x 3 5 + 1 x 11 10

Temos que juntar essa potência de x em evidência em cima com a de baixo.

x 5 3 x 8 5 = x 5 3 - 8 5 = x 25 - 24 15 = x 1 15

Passo 3

Então, os termos com x no denominador zeram. Já esse x 1 15 no numerador explodirá para infinito. Dessa maneira, ficamos assim:

lim x → ∞ ⁡ x 1 15 2 - 1 x 4 3 + 7 x 5 3 1 + 3 x 3 5 + 1 x 11 10 = ∞ 2 - 0 + 0 1 + 0 + 0

= ∞

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 2 x 5 3 - x 1 3 + 7 x 8 5 + 3 x + x = ∞

Exercício Resolvido #7

Determine ou calcule os limites abaixo:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1

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Passo 1

Se começamos substituindo o valor do limite, encontraremos problema, vai ficar infinito sobre infinito:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

Passo 2

A saída melhor para essa situação é, reparando que o x de maior grau da função de cima é x 3 3 = x 1 e o de baixo é x 2 = x , botar a maior potência de x de cima e de baixo para fora. Lembrando, que ao tirar em evidência o x de uma raiz par (raiz quadrada, quarta, sexta, e assim por diante) temos que coloca-lo em módulo:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 1 + 2 x 2 - 1 x 3 3 x 2 1 + 1 x + 1 x 2