Limites Laterais e Continuidade

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Calcule os seguintes limites laterais:

lim x → 6 + ⁡ 3 x - 6                                         lim x → 6 - ⁡ 3 x - 6

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Passo 1

Faaala aii, tudo show de bola?! Nós vimos que na hora de resolver um limite, normalmente,

substituímos o x na função do limite, para termos uma ideia do que acontece. Fazendo isso aqui, ficamos com:

3 6 - 6 = 3 0 = ± ∞

Putz, e agora? No caso dos limites laterais o buraco é mais em baixo, porque aqui quando o denominador se aproxima de zero, a fração tende para o infinito.

Mas afinal, qual é a resposta? Precisamos analisar o limite para os dois casos, tanto quando x → 6 + quanto quando x → 6 - .

Passo 2

No caso dos limites laterais, vamos analisar o comportamento pelos dois lados do 6 . Ou seja, vamos ver como a função se comporta quando for um número próximo ao 6   pelo lado direito, tipo 6,01 , ou próximo pelo lado esquerdo, tipo 5,99 .

Isso faz com que x - 6 resulte em algo um pouquinho maior ou um pouquinho menor que 0 . Vamos olhar para cada lado de uma vez.

Passo 3

Se a gente começar olhando para o lado esquerdo ( x → 6 - ), substituindo o 5,99 ,   temos:

    3 5,99 - 6 = 3 - 0,01 = - 300

E quanto mais eu me aproximar do 6 menor esse número vai ficar:

Até ele se torne um infinito negativo!

Passo 4

Substituindo pelo lado direito ( x → 6 + ) ou seja com 6,01 na função, ficamos com:

    3 6,01-6 = 3 0,01 = + 300

Repara que aqui quanto mais perto do 6   eu chegar, menor vai ser o valor, até ele, também, se tornar infinito, mas positivo.

Logo, a diferença vai ser apenas no sinal.

Passo 5

Então, do lado direito tendemos para + ∞ e do esquerdo - ∞ . Ou seja,

lim x → 6 + ⁡ 3 x - 6 = + ∞                                       lim x → 6 - ⁡ 3 x - 6 = - ∞

Ainda não acredita? Então dá uma olhada no gráfico:

Resposta

lim x → 6 + ⁡ 3 x - 6 = + ∞                                       lim x → 6 - ⁡ 3 x - 6 = - ∞

Exercício Resolvido #2

Resolva o seguinte limite:

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x  

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Passo 1

Já entrou uma secante aqui no meio, ai ai ai ai... Mas relaxa que, antes de tudo, vamos lembrar o que é sec ⁡ x . A secante é basicamente dada por:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x    

Tá, mas e esse cos ⁡ x ai? Aqui a gente vai usar o circulo trigonométrico, que tem a seguinte carinha:

O círculo trigonométrico é basicamente um círculo de raio 1 , e a partir dele vamos ter diferentes valores para as funções de sen ⁡ x ou cos ⁡ x dependendo do valor de x ,   beleza?

Aqui tem alguns principais valores de x , nos quais começamos marcando em 0 e vamos somando π 2 no senido anti-horário. Esses, são os valores de quando eles cruzam os eixos do seno e do cosseno. Vamos ficar com isso em mente!

Passo 2

Agora voltando para o enunciado da questão, queremos encontrar:

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x  

Uma informação importante a ser dita, é que cada volta no círculo trigonométrico representa 2 π . Então alguns valores de x , apesar de serem diferentes vão representar a mesma coisa, como é o caso do - π 2 . Saca só:

- π 2 + 2 π   ( u m a   v o l t a )   = - π + 4 π 2 = 3 π 2

Assim, o valor do seno e do cosseno de - π 2 vai ser o mesmo que o de 3 π 2 .

Então, vamos substituir o - π 2   na equação, ficando com:

sec ⁡ - π 2 = 1 cos ⁡ - π 2 = 1 0

Beleza, a gente já tem noção que isso vai dar ± ∞ . Resta saber como estamos nos aproximando de - π 2 .

Passo 3

Pensando nessa análise do sinal, você percebe que a aproximação é feita por trás, ou seja, para valores menores que - π 2 .

Bom, podemos ver que, quando x está vindo por trás de - π 2 = 3 π 2 , temos cosseno negativo, pois ele está no eixo negativo do cos ⁡ x .   Dessa forma, podemos dizer que a aproximação se dará para - ∞ . Portanto,

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x   = - ∞

Resposta

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x   = - ∞

Exercício Resolvido #3

Calcule os limites laterais de f x = g x s e n ( x ) em x = 0 , se g x = c o s x + 3   ,       x < 0 x ² - 9                       ,           x ≥ 0 .

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Passo 1

Fala aii, nessa questão nós temos uma função com dois intervalos, beleza? Então vamos começar escrevendo como fica a definição de f x :

f x = g x sen ⁡ x = c o s x + 3 sen ⁡ x ,     x < 0 x 2 - 9 sen ⁡ x ,     x ≥ 0

Agora, vamos calcular os limites laterais que ele pediu fazendo as respectivas substituições e analisando os sinais.

Passo 2

Mas fica ligado numa coisa: quando x < 0 , ou seja, 0 - , usaremos a primeira expressão para f ( x ) . Quando x ≥ 0 , ou seja, 0 + , usaremos a segunda expressão para f x ,   beleza?

Show! Então no primeiro limite:

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 sen ⁡ x = 0 2 - 9 sen ⁡ 0 = - 9 0 = ± ∞

Da mesma forma que o primeiro, vamos substituir esse segundo limite lateral:

lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 sen ⁡ x = c o s 0 + 3 sen ⁡ 0 = 1 + 3 0 = 4 0 = ± ∞

Substituições feitas! Agora só precisamos fazer a análise dos sinais.

Passo 3

Vamos começar no primeiro limite. Nesse caso, vou trazer o círculo trigonométrico para pensarmos sobre o sinal desse “infinito”, se é positivo ou negativo:

Repara que, para valores logo acima de 0 (valores um pouquinho maiores que 0 ), o seno é positivo. Com isso:

lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x = + ∞

Portanto,

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x = 0 2 - 9 + ∞ = - 9 + ∞ = - ∞

Aqui nós não vamos escrever o 9 no final porque ele vai ser um número muuuito pequeno quando comparado ao + ∞ , então podemos simplesmente desprezar. A única coisa que vai fazer diferença mesmo é o sinal.

Passo 4

Olhando para o mesmo desenho de antes, vamos reparar que o seno é negativo para valores logo antes de 0 (valores pouco menores que 0 ). Logo,

lim x → 0 - ⁡ 1 sen ⁡ x = - ∞

Portanto,

lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 sen ⁡ x = lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 lim x → 0 - ⁡ 1 sen ⁡ x = 1 + 3 - ∞ = ( 4 ) ( - ∞ )

= - ∞

Repara que aqui também desprezamos o 4 por ele ser desprezível ao comparado com o infinito.

Resposta

lim x → 0 + ⁡ f x = - ∞

lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞

Exercício Resolvido #4

Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.

Determine o lim x → a ⁡ f x para a = 0 , 1,2 , 3,4 se existir

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Passo 1

Vamos lembrar um pouco da teoria. Dizemos que um limite tem um certo valor L , se

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x = L

Então, o que teremos que fazer aqui é verificar os limites laterais em cada ponto.

Passo 2

Vamos começar com o ponto a = 0 . Vemos pelo gráfico que:

lim x → 0 - ⁡ f x = 2

lim x → 0 + ⁡ f x = 2

Assim,

lim x → 0 ⁡ f x = 2

Passo 3

Vamos repetir para a = 1 . Mas a função não está definida ali!! Isso não importa, o limite só está interessado na tendência da função e não no valor no ponto. Então, pelo gráfico

lim x → 1 - ⁡ f x = 8

lim x → 1 + ⁡ f x = 8