Introdução e Propriedades dos Limites

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Avalie o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 e x

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Passo 1

Fala aiiii, tudo na paz? Para resolver essa questão nós vamos precisar usar a propriedade do limite de um produto. Onde nós, basicamente, vamos dividir esse limite em dois blocos (sem ser o de carnaval rs), saca só:

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 e x = lim x → 1 ⁡ 2 x 2 × lim x → 1 ⁡ e x

Aqui lim x → 1 ⁡ 2 x 2   vai ser o nosso BLOCO 1 e lim x → 1 ⁡ e x o BLOCO 2. Agora vamos resolver esses blocos!

Passo 2

Analisando primeiro o BLOCO 1, nós vemos que temos uma constante multiplicando o x 2 , então podemos jogar ela para fora do limite da seguinte forma:

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 = 2 × lim x → 1 ⁡ x 2

Agora, vamos resolver esse limite lindão ficando com o seguinte:

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 = 2 × 1 2 = 2

Show! BLOCO 1 foi, agora partiu BLOCO 2.

Passo 3

No BLOCO 2 nós temos um número de Euler querendo dificultar a nossa vida, mas não vamos nos abalar! Como a função é contínua, nós podemos jogar o limite lá na raiz e ficamos com o seguinte:

lim x → 1 ⁡ e x = e lim x → 1 ⁡ x

Então nosso real problema é na verdade:

lim x → 1 ⁡ x = 1

Tá, mas e agora, o que faço com aquele e chatão? Nada! Você simplesmente substitui o limite na raiz e fica com:

lim x → 1 ⁡ e x = e lim x → 1 ⁡ x = e 1 = e 1 = e

Fim do BLOCO 2, agora vamos juntar tudo?

Passo 4

Juntando os nossos dois blocos tinhámos:

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 e x = lim x → 1 ⁡ 2 x 2 × lim x → 1 ⁡ e x

E agora substituindo os valores ficamos com:

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 e x = 2 × e

Feshow! 😊

Resposta

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 e x = 2 e

Exercício Resolvido #2

Suponha lim x → - 2 ⁡ p x = 4   ,   lim x → - 2 ⁡ r x = 0   e   lim x → - 2 ⁡ s x = - 3   . Determine:

a lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x

b lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x

c lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x

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Passo 1

Oi oi oiee, turubom? Nessa questão nós temos três limites de funções diferentes já com seus respectivos valores, e nos foi dado diferentes junções para eles formando outros limites.

Mas, em todos esses limites vamos poder usar a mesma propriedade, pois tanto limite com soma, multiplicação ou divisão podem ser separados. Com isso, vamos simplesmente aplicar as propriedades e substituir os valores dados (uhuul \o/). Se liga como vai ser isso!

Passo 2

a Nesse primeiro limite temos a soma das funções. Então, dividindo em blocos, pelas propriedades, ficamos com:

lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x = lim x → - 2 ⁡ p x + lim x → - 2 ⁡ r x + lim x → - 2 ⁡ s x

Substituindo as funções:

lim x → - 2 ⁡ p x + lim x → - 2 ⁡ r x + lim x → - 2 ⁡ s x = 4 + 0 + - 3

= 4 - 3 = 1

Ou seja,

lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x = 1

Passo 3

b Nesse segundo limite temos uma multiplicação de funções. Onde, usando as propriedades para separar em blocos ficamos com:

lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x = lim x → - 2 ⁡ p x lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x

E substituindo os valores agora:

lim x → - 2 ⁡ p x lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x = 4 × 0 × - 3

= 0

Ou seja,

lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x = 0

É uma sensação boa quando você encontra uma multiplicação com 0 , né? Eu amo!

Passo 4

c Nesse nosso último item temos a soma e divisão de funções, mas também podemos separar em bloco. Vamos começar separando a soma:

lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x = lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + lim x → - 2 ⁡ 5 r x s x

Repara que agora temos dois blocos que ainda precisamos destrinchar mais um pouco. Começando com o primeiro que tem uma constante sendo multiplicada pela função:

lim x → - 2 ⁡ - 4 p x = - 4 lim x → - 2 ⁡ p x

Substituindo o valor:

lim x → - 2 ⁡ - 4 p x = 4 lim x → - 2 ⁡ p x = - 4 × 4 = - 16

Passo 5

Agora analisando o nosso segundo bloco da letra (c) temos,

lim x → - 2 ⁡ 5 r x s x = lim x → - 2 ⁡ 5 r x lim x → - 2 ⁡ s x

Repara que aqui também temos a multiplicação com uma constante, então:

lim x → - 2 ⁡ 5 r x s x = 5 lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x

Substituindo os valores:

lim x → - 2 ⁡ 5 r x s x = 5 lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x = 5 0 - 3 = 0

Olha o 0   ai de novo

Passo 6

Por fim, vamos juntar os blocos para voltar ao enunciado original, beleza? Ou seja,

lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x = lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + lim x → - 2 ⁡ 5 r x s x

Substituindo os valores:

lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x = - 16 + 0 = - 16

Fim! 😊

Resposta

a lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x = 1

b   lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x = 0

c   lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x = - 16

Exercício Resolvido #3

Calcule o limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

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Passo 1

Fala aiii, aqui a gente vai precisar usar todas as propriedades básicas de limites que vimos, ta bem? Mas vamos com calma, relaxa!

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

Primeiro, a propriedade da soma:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x

Beleza?

Vamos nos concentrar no limite mais a esquerda primeiro, por ele ser o mais difícil.

Passo 2

Então:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2

Usando a propriedade do quociente:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . e x 2

Agora, vamos usar a propriedade do produto no denominador e no numerador:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . e x 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 × lim x → 1 ⁡ x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x × lim x → 1 ⁡ e x 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 × lim x → 1 ⁡ x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x × lim x → 1 ⁡ e x 2

Show! Daqui a gente já pode usar a substituição em algumas partes. Mas vamos antes colocar o limite pra dentro das funções do segundo bloco de equação. Ou seja, dentro da raiz , da exponencial e da função cosseno, usando a propriedade das funções contínuas.

Passo 3

Colocando os limites ficamos no segundo bloco, temos:

lim x → 1 ⁡ x 3 × lim x → 1 ⁡ x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x × lim x → 1 ⁡ e x 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 × lim x → 1 ⁡ x + x 2 cos ( lim x → 1 ⁡ πx )   × ⁡ e lim x → 1 ⁡ x 2  

Show? Agora substituindo o valor 1 em cada expressão, chegamos a:

lim x → 1 ⁡ x 3 × lim x → 1 ⁡ x + x 2 cos ( lim x → 1 ⁡ πx )   × ⁡ e lim x → 1 ⁡ x 2   = ( 1 3 ) × 1 + 1 2 cos ⁡ π . 1 × e 1 2 = ( 1 ) ×   2 - 1 × e = - 2 e