Assíntota Oblíqua

Teoria Completa

Assíntotas oblíquas

Observe esse gráfico:

Veja que quando x → ∞ , g x se aproxima de uma reta inclinada. Chamamos essa reta inclinada de assíntota oblíqua.

Assim como nas assíntotas horizontais, uma função só pode ter, no máximo, duas assíntotas oblíquas: uma para - ∞ e outra para + ∞ . Mas como achamos?

Se chamarmos a equação da reta dessa assíntota de y = m x + n , teríamos:

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x       ;       n = lim x → ± ∞ ⁡ ( f x - m x )

Como podemos ver, precisamos de m para calcular o n , então você deve sempre começar calculando o m .

Importante: Não tem como ter assíntota horizontal e oblíqua para o mesmo lado. Então, se achar uma assíntota horizontal num extremo, não haverá obliqua ali e vice-versa. Como assíntota horizontal é fácil de calcular, sempre comece por ela se a questão pedir todas!

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2014.1 – 1

Seja f x = arctg ⁡ x 4 - 3 x . Determine todas as assíntotas de f x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro, vamos analisar o domínio. O numerador é constituído por arctg ⁡ ( x ) que é contínuo para todo x . Já no denominador temos uma equação que tem que ser diferente de 0 . Calculando, achamos um valor de x que a função não pode assumir:

4 - 3 x ≠ 0

3 x ≠ 4

x ≠ log 3 ⁡ 4

Ou seja, o domínio da função é o conjunto dos reais menos esse ponto: R - log 3 ⁡ 4 .

Passo 2

Para determinar assíntotas verticais nós temos que procurar aonde a função não está definida, descontinuidades do domínio. O único ponto onde isso pode acontecer é justamente onde temos x = log 3 ⁡ 4 :

lim x → log 3 ⁡ 4 + ⁡ arctg ⁡ x 4 - 3 x = arctg ⁡ log 3 ⁡ 4 4 - 3 log 3 ⁡ 4

= arctg ⁡ log 3 ⁡ 4 0

= - ∞

lim x → log 3 ⁡ 4 - ⁡ arctg ⁡ x 4 - 3 x = arctg ⁡ log 3 ⁡ 4 4 - 3 log 3 ⁡ 4

= arctg ⁡ log 3 ⁡ 4 0

= ∞

Passo 3

Procuramos agora assíntotas horizontais. Para isso, vamos jogar nosso limite para + ∞ e - ∞ .

Ora, arco tangente é uma função que tem a imagem definida entre – π 2 , π 2 . No caso, assim como lim x → π 2 ⁡ tg ⁡ ( x ) = ∞ temos:

lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ ( x ) = π 2

Da mesma forma, pelo mesmo raciocínio, acharemos:

lim x → - ∞ ⁡ arctg ⁡ ( x ) = - π 2

Assim, calculando os limites de f ( x ) quando x → ∞ e quando x → - ∞ temos:

lim x → + ∞ ⁡ arctg ⁡ x 4 - 3 x = π 2 - ∞

= 0

lim x → - ∞ ⁡ arctg ⁡ x 4 - 3 x = - π 2 4 - 0

= - π 8

Concluímos, temos duas assíntotas horizontais, uma em y = 0 e outra em y = - π 8 .

Passo 4

Como temos assíntotas horizontais para x → + ∞ e para x → - ∞ , percebemos que não existem assíntotas oblíquas.

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : x = log 3 ⁡ 4

A s s .   h o r i z o n t a l : y = 0   ; y = - π 8

A s s .   o b l í q u a :   -

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo B - P4 2014.1 – 2

Seja f x = x + arctg ⁡ e x . Determine todas as assíntotas da curva y = f x . Calcule cuidadosamente todos os limites necessários. Apresente as equações das assíntotas encontradas e justifique caso não haja algum tipo de assíntota horizontal, vertical e obliqua (inclinada).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, já vemos que, dada a função, não há nenhum impeditivo para o domínio de f . Vemos que o domínio dessa função é dado pelos números reais, não havendo descontinuidade. Com isso, não teremos assíntotas verticais!

Passo 2

Procurando agora assíntotas horizontais, fazemos o limite para x → - ∞ e x → ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ x + arctg ⁡ e x = - ∞ + arctg ⁡ 0

= - ∞

lim x → ∞ ⁡ x + arctg ⁡ e x = ∞ + arctg ⁡ ∞

= ∞

Bom, se os dois limites explodiram é por que não temos assíntotas horizontais.

Passo 3

Resta só procurar assíntotas oblíquas. Para x → - ∞ , modelamos uma assíntota oblíqua por y = m x + n . Por definição, os coeficientes serão:

m = lim x → - ∞ ⁡ x + arctg ⁡ e x x = lim x → - ∞ ⁡ 1 + arctg ⁡ e x x

= 1 + arctg ⁡ 0 - ∞ = 1

n = lim x → - ∞ ⁡ x + arctg ⁡ e x - m x = lim x → - ∞ ⁡ arctg ⁡ e x

= arctg ⁡ 0 = 0

Ou seja, uma assíntota oblíqua será y = x .

Passo 4

Agora para x → ∞ , modelamos a assíntota como y = m * x + n * , por definição os coeficientes serão:

m = lim x → ∞ ⁡ x + arctg ⁡ e x x = lim x → ∞ ⁡ 1 + arctg ⁡ e x x

= 1 + arctg ⁡ ∞ ∞ = 1

n = lim x → ∞ ⁡ x + arctg ⁡ e x - m x = lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ e x

= arctg ⁡ ∞ = π 2

A outra assíntota oblíqua será y = x + π 2 .

Resposta

f x   n ã o   t e m   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s   e   v e r t i c a i s .  

T e m   d u a s   a s s í n t o t a s   o b l í q u a s ,   y = x   e   y = x + π 2

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Seja f x = x 2 + 1 . Determine todas as assíntotas de f x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro, vamos analisar o domínio. Nesse caso, não vamos ter nenhum problema porque não há nenhum valor de x que nossa função não aceite, beleza? Em matematiquês, é o mesmo que dizer que não temos indeterminações.

E olha só! Se não temos indeterminações, não vamos ter candidatos à assíntotas verticais!

Passo 2

Vamos procurar agora assíntotas horizontais. Para isso, vamos jogar nosso limite para + ∞ e - ∞ , tranquilo?

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 1

E saca só, o x está ao quadrado! Então já sabemos que não tem como o interior dessa raiz ser um número negativo! Não importa se x → + ∞ ou x → - ∞ o limite vai ser sempre:

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 1 = + ∞

Então descartamos também a possibilidade de termos assíntotas horizontais!

Passo 3

Quando temos assíntotas horizontais para x → + ∞ e/ou para x → - ∞ , temos a certeza que não existem assíntotas oblíquas. Como nesse caso não temos nem assíntotas verticais nem horizontais, vamos checar pra ver se a gente acha oblíquas? Simbora:

y = m x + n

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x           ;           n = lim x → ± ∞ ⁡ f x - m x

Seja f x = x 2 + 1 , é só calcular agora. Pro coeficiente angular primeiro, ficamos com:

m = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 1 x  

Pra resolver esse limite, saca só esse conceito importante aqui:

x 2 = x =   x ,     s e   x > 0 - x ,     s e   x < 0

Pra x → + ∞ , temos que x > 0 , então x 2 = x = x . Sendo assim:

m = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 =

= lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 +   1 x 2  

= 1 +   0 = 1

Pra x → - ∞ , temos que s e   x < 0 , então x 2 = x = - x . Sendo assim:

m = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 =

= lim x → - ∞ ⁡ - x 2 + 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ - 1 +   1 x 2  

= - 1 +   0 = - 1

Opa, se temos dois valores de m diferentes então temos duas assíntotas oblíquas diferentes! Já que é assim, vamos usar valores diferentes de m no cálculo de n . Para m = 1 , usamos x → + ∞ . Logo, calculamos n :

n = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x

Multiplicando pelo conjugado:

n = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x x 2 + 1 + x x 2 + 1 + x

n = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 + x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 + 1 + x = 1 + ∞ = 0

E, pra fechar com chave de ouro, usando m - 1 , temos que x → - ∞ . Logo, calculamos n :

n = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 + x

Multiplicando pelo conjugado: n = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 + x x 2 + 1 - x x 2 + 1 - x

n = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 - x = lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 + 1 - x = 1 + ∞ = 0

Opa, se o n = 0 tanto pra m = 1 quanto pra m = - 1 , nossas duas assíntotas oblíquas vão ser:

y = x

y = - x

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : -

A s s .   h o r i z o n t a l : -

A s s .   o b l í q u a :   y = x y = - x

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Seja x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 . Determine a(s) assíntota(s) oblíqua(s) de y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa questão já ta nos dizendo que tem pelo menos uma assíntota oblíqua, então já nem precisamos nos preocupar em achar outras assíntotas. Então nesse passo, vamos desenrolar esse enunciado e escrever y = f x . Saca só:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

x b 2 - y a 2 a b 2 = 1

x b 2 - y a 2 = a b 2

y a 2 = x b 2 - a b 2

y a 2 = b 2 x 2 - a 2

y a = ± b 2 x 2 - a 2

y = f x = ± b a x 2 - a 2

Eita, então teremos duas funções diferentes pra analisar nesse caso! Vamos com calma que chegamos lá:

Passo 2

Vamos lembrar que as assíntotas oblíquas são definidas por:

y = m x + n

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x           ;           n = lim x → ± ∞ ⁡ f x - m x

Então, uma coisa de cada vez se não a gente se afoba. Primeiro achamos m , depois n . Para a função f x = b a x 2 - a 2 , o cálculo de m vai ficar:

m = lim x → ± ∞ ⁡ b a x 2 - a 2 x

Colocando x 2 em evidência:

m = lim x → ± ∞ ⁡ b a x 2 1 - a 2 x 2 x = lim x → ± ∞ ⁡ b a x 1 - a 2 x 2 x =   lim x → ± ∞ ⁡ b a 1 - a 2 x 2

Aplicando o limite:

m = b a 1 - 0 = b a

Agora vamos calcular o valor de n . Felizmente só vamos ter 1 n pra nos preocuparmos já que também só achamos 1 m . Como m = b a , calculamos o n da seguinte forma:

n = lim x → ± ∞ ⁡ b a x 2 - a 2 - b a x = b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x

Multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:

n = b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x x 2 - a 2 + x x 2 - a 2 + x = b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x 2 x 2 - a 2 + x

n = b a lim x → ± ∞ ⁡ - a 2 x 2 - a 2 + x

Agora que não tem nenhum termo com x em cima, vemos que independente de se x → + ∞ ou se x → - ∞ , todo o denominador tende a números infinitamente grandes e, sendo a uma constante, esse limite vai a 0 . Logo:

n = 0

E a assíntota oblíqua de f x = b a x 2 - a 2 vai ser:

y = b a x

Passo 3

Agora, para a função f x = - b a x 2 - a 2 , o cálculo de m e n vai ficar bem parecido, quase igual na verdade! Mas pra não deixarmos de fazer, vamos seguir os mesmos passos. Começando por m então, temos:

m = lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 2 - a 2 x

m = lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 2 1 - a 2 x 2 x = lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 1 - a 2 x 2 x =   lim x → ± ∞ ⁡ - b a 1 - a 2 x 2

Aplicando o limite:

m = - b a 1 - 0 = - b a

Para o cálculo de n então vamos ter:

n = lim x → ± ∞ ⁡ - b a x 2 - a 2 + b a x = - b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x

n = - b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x x 2 - a 2 + x x 2 - a 2 + x = - b a lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x 2 x 2 - a 2 + x

n = - b a lim x → ± ∞ ⁡ - a 2 x 2 - a 2 + x

E aplicando o limite, chegamos também à n = 0 . Por fim, obtemos que a assíntota obl��qua de f x = - b a x 2 - a 2 vai ser:

y = - b a x

Passo 4

Agora é só juntar tudo bonitinho. A curva:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Terá duas assíntotas oblíquas:

A s s .   o b l í q u a :   y = b a x y = - b a x

Graficamente, vemos:

Resposta

A s s .   o b l í q u a :   y = b a x y = - b a x

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Seja y 3 - x 2 6 - x = 0 . Determine a(s) assíntota(s) oblíqua(s) de y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa questão já ta nos dizendo que tem pelo menos uma assíntota oblíqua, então já nem precisamos nos preocupar em achar outras assíntotas. Então nesse passo, vamos desenrolar esse enunciado e escrever y = f x