Teoria Completa
Assíntotas oblíquas
Observe esse gráfico:
Veja que quando , se aproxima de uma reta inclinada. Chamamos essa reta inclinada de assíntota oblíqua.
Assim como nas assíntotas horizontais, uma função só pode ter, no máximo, duas assíntotas oblíquas: uma para e outra para . Mas como achamos?
Se chamarmos a equação da reta dessa assíntota de , teríamos:
Como podemos ver, precisamos de para calcular o , então você deve sempre começar calculando o .
Importante: Não tem como ter assíntota horizontal e oblíqua para o mesmo lado. Então, se achar uma assíntota horizontal num extremo, não haverá obliqua ali e vice-versa. Como assíntota horizontal é fácil de calcular, sempre comece por ela se a questão pedir todas!
Exercício Resolvido #1
Seja . Determine todas as assíntotas de .
Passo 1
Primeiro, vamos analisar o domínio. O numerador é constituído por que é contínuo para todo . Já no denominador temos uma equação que tem que ser diferente de . Calculando, achamos um valor de que a função não pode assumir:
Ou seja, o domínio da função é o conjunto dos reais menos esse ponto: .
Passo 2
Para determinar assíntotas verticais nós temos que procurar aonde a função não está definida, descontinuidades do domínio. O único ponto onde isso pode acontecer é justamente onde temos :
Passo 3
Procuramos agora assíntotas horizontais. Para isso, vamos jogar nosso limite para e .
Ora, arco tangente é uma função que tem a imagem definida entre . No caso, assim como temos:
Da mesma forma, pelo mesmo raciocínio, acharemos:
Assim, calculando os limites de quando e quando temos:
Concluímos, temos duas assíntotas horizontais, uma em e outra em .
Passo 4
Como temos assíntotas horizontais para e para , percebemos que não existem assíntotas oblíquas.
Resposta
Exercício Resolvido #2
Seja . Determine todas as assíntotas da curva . Calcule cuidadosamente todos os limites necessários. Apresente as equações das assíntotas encontradas e justifique caso não haja algum tipo de assíntota horizontal, vertical e obliqua (inclinada).
Passo 1
Bom, já vemos que, dada a função, não há nenhum impeditivo para o domínio de . Vemos que o domínio dessa função é dado pelos números reais, não havendo descontinuidade. Com isso, não teremos assíntotas verticais!
Passo 2
Procurando agora assíntotas horizontais, fazemos o limite para e :
Bom, se os dois limites explodiram é por que não temos assíntotas horizontais.
Passo 3
Resta só procurar assíntotas oblíquas. Para , modelamos uma assíntota oblíqua por . Por definição, os coeficientes serão:
Ou seja, uma assíntota oblíqua será .
Passo 4
Agora para , modelamos a assíntota como , por definição os coeficientes serão:
A outra assíntota oblíqua será .
Resposta
Exercício Resolvido #3
Seja . Determine todas as assíntotas de .
Passo 1
Primeiro, vamos analisar o domínio. Nesse caso, não vamos ter nenhum problema porque não há nenhum valor de que nossa função não aceite, beleza? Em matematiquês, é o mesmo que dizer que não temos indeterminações.
E olha só! Se não temos indeterminações, não vamos ter candidatos à assíntotas verticais!
Passo 2
Vamos procurar agora assíntotas horizontais. Para isso, vamos jogar nosso limite para e , tranquilo?
E saca só, o está ao quadrado! Então já sabemos que não tem como o interior dessa raiz ser um número negativo! Não importa se ou o limite vai ser sempre:
Então descartamos também a possibilidade de termos assíntotas horizontais!
Passo 3
Quando temos assíntotas horizontais para e/ou para , temos a certeza que não existem assíntotas oblíquas. Como nesse caso não temos nem assíntotas verticais nem horizontais, vamos checar pra ver se a gente acha oblíquas? Simbora:
Seja , é só calcular agora. Pro coeficiente angular primeiro, ficamos com:
Pra resolver esse limite, saca só esse conceito importante aqui:
Pra , temos que , então . Sendo assim:
Pra , temos que , então . Sendo assim:
Opa, se temos dois valores de diferentes então temos duas assíntotas oblíquas diferentes! Já que é assim, vamos usar valores diferentes de no cálculo de . Para , usamos . Logo, calculamos :
Multiplicando pelo conjugado:
E, pra fechar com chave de ouro, usando , temos que . Logo, calculamos :
Multiplicando pelo conjugado:
Opa, se o tanto pra quanto pra , nossas duas assíntotas oblíquas vão ser:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Seja . Determine a(s) assíntota(s) oblíqua(s) de .
Passo 1
Essa questão já ta nos dizendo que tem pelo menos uma assíntota oblíqua, então já nem precisamos nos preocupar em achar outras assíntotas. Então nesse passo, vamos desenrolar esse enunciado e escrever . Saca só:
Eita, então teremos duas funções diferentes pra analisar nesse caso! Vamos com calma que chegamos lá:
Passo 2
Vamos lembrar que as assíntotas oblíquas são definidas por:
Então, uma coisa de cada vez se não a gente se afoba. Primeiro achamos , depois . Para a função , o cálculo de vai ficar:
Colocando em evidência:
Aplicando o limite:
Agora vamos calcular o valor de . Felizmente só vamos ter pra nos preocuparmos já que também só achamos . Como , calculamos o da seguinte forma:
Multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:
Agora que não tem nenhum termo com em cima, vemos que independente de se ou se , todo o denominador tende a números infinitamente grandes e, sendo uma constante, esse limite vai a . Logo:
E a assíntota oblíqua de vai ser:
Passo 3
Agora, para a função , o cálculo de e vai ficar bem parecido, quase igual na verdade! Mas pra não deixarmos de fazer, vamos seguir os mesmos passos. Começando por então, temos:
Aplicando o limite:
Para o cálculo de então vamos ter:
E aplicando o limite, chegamos também à . Por fim, obtemos que a assíntota obl��qua de vai ser:
Passo 4
Agora é só juntar tudo bonitinho. A curva:
Terá duas assíntotas oblíquas:
Graficamente, vemos:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Seja